扬州市2016—2017学年度第一学期期末调研测试试题
高 二 数 学
2017．1
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“，”的否定为 ▲ ．
2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 ▲ ．
(第2题) (第3题) (第5题)
3．如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ ．
4．抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为_____▲____．
5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为 ▲ ．
6．函数的图象在处的切线方程为 ▲ ．
7．若双曲线的一条渐近线方程为，则 ▲ ．
8．“”是“直线和直线平行”的 ▲ 条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）
9．已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围
是 ▲ ．
10．圆心在x轴上且与直线l：y = 2x+1切于点的圆C的标准方程为 ▲ ．
11．函数的定义域为R，且，，则不等式的解集
为 ▲ ．
12．若直线与圆没有公共点，则此直线倾斜角的取值范围
是 ▲ ．
13．已知函数（）. 若存在，使得成立，则a的最小值为 ▲ ．
14．如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于两点，点是点A关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知命题：；命题：方程表示双曲线.
(1) 若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2) 若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数情况如下表：
年 级
性 别
高一年级
高二年级
高三年级
男
520
y
400
女
x
610
600
(1) 若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x、y的值.
(2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率.
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，左顶点为，上、下顶点分别为.
(1) 若直线经过中点M，求椭圆E的标准方程；
(2) 若直线的斜率为1，与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离.
18．（本小题满分16分）
某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．
(1) 设（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；
(2) 当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．
C
A
O
B
（第18题）
D
19．（本小题满分16分）
若圆：的半径为r，圆心到直线：的距离为，其中，且．
(1) 求的取值范围；
(2) 求的值；
(3) 是否存在定圆既与直线相切又与圆相离？若存在，请写出定圆的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1) 当时，求函数的单调区间；
(2) 求函数在区间上的值域；
(3) 若，过原点分别作曲线、的切线、，且两切线的斜率互为倒数，求证：．
2016—2017学年度第一学期高二数学期末试卷
参 考 答 案 2017．1
一、填空题
1.， 2．15 3. 4. 4
5. 0.028 6. 7. 8. 充分不必要
9. (-,0) 10. 11. 12.13. 16 14.
二、解答题
15⑴对于任意，
若命题为真命题，则，所以； ……5分
⑵若命题为真命题，则，所以， ……8分
因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，
则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一个为假命题. ……10分
当命题为真命题，命题为假命题时，，则，
当命题为假命题，命题为真命题时，，则，
综上，. ……14分
16⑴依题意得：，解得. ……2分
所以高一年级被抽取的人数为66-22-20 = 24.
所以，解得，. ……6分
⑵若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，
设抽取男生的人数为m，则，解得，
所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作、；、、. ……8分
方法一：记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A.
从中任取2人的所有基本事件共10个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）.
其中至少有1人为男生的基本事件有7个：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）.
所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为. ……13分
方法二：记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A，则表示“从中任取2人，
全是女生”，全是女生的基本事件有3个：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）.
所以.
答：至少有1人是男生的概率. ……14分
17⑴由题意，，
又，所以，直线：. ……2分
M为的中点，所以，
代入直线，则，. ……4分
由，所以，
所以椭圆E的标准方程是. ……6分
⑵因为直线的斜率为，则，所以椭圆， ……8分
又直线，则，
解得（舍），或， ……11分
因为右准线的方程为，
所以点到右准线的距离为. ……14分
18⑴因为扇形AOC的半径为10 m，()，
所以扇形AOC的面积，． ……3分
在Rt△COD中，OC＝10，CD＝10，
所以△COD 的面积S△COD＝·OC·CD＝． ……5分
从而＝100S△COD＋200S扇形AOC＝，． ……8分
（注：没有x的范围，扣1分）
⑵设，则，
，令，解得， ……11分
从而当时，；当，．
因此 在区间上单调递减；在区间上单调递增．
当时，取得最小值，． ……14分
所以的最小值为元． ……15分
答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为元． ……16分
19⑴因为，又，且，
所以且，解得； ……3分
⑵易得圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以； ……8分
⑶存在定圆：满足题意，下证之： ……10分
1°因为M(0，0)到直线的距离为，所以圆与直线相切；
2°因为，且，
而，
故，所以圆与圆相离．
由1°、2°得，存在定圆：满足题意． ……16分
20⑴当时，，定义域为，．
令，得增区间为；令，得减区间为． ……2分
⑵．
当时，，在上为增函数，故，
从而的值域为；
当时，，在上为减函数，故，
从而的值域为；
当时，时,递增；时,递减
故的最大值为；最小值为与中更小的一个，
当时，最小值为；
当时，，最小值为．
综上所述，当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为． ……8分
⑶设切线对应切点为，切线方程为，
将代入，解得，，从而．
设与曲线的切点为，，得①
切线方程为，将代入，得②
将①代入②，得．
令，则，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
若，由，，则．
而在上单调递减，故；
若，因在 区间上单调增，且，
所以，与题设矛盾，故不可能．
综上所述，． ……16分
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