北京东城区2016-2017高二数学上学期期末试题(理附答案)
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资料简介
www.ks5u.com 东城区2016—2017学年度第一学期期末教学统一检测 ‎ 高二数学(理科) 2017.1‎ 本试卷共4页,共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题 共24分)‎ 一、选择题: (共大题共8小题,每小题3分,共24分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.直线的倾斜角为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知,命题“等式成立”的否定形式是 ‎ A.等式不成立 B.等式不成立 C.等式不成立 D.等式不成立 ‎3.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎4.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的正方形,俯视图是正三角形,则这个几何体的体积是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,且,,下列命题中正确的是 ‎ A.若⊥,则⊥ B.若∥,则∥‎ C.若⊥,则⊥ D.若⊥,则⊥‎ ‎6.如图,长方体中,,为 的中点,则异面直线 与所成角的正切值为   ‎ A.2 B. ‎ C. D.‎ ‎7.已知,,点为直线上一点,过三点的圆记作圆,则“点为原点”是“圆的半径取得最小值”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.右图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食 ‎ 者和被捕食者数量随时间的变化规律.对捕食 者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是 第二部分(非选择题 共76分)‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上)‎ ‎9.点到直线的距离为 .‎ ‎10.双曲线的渐近线方程为 . ‎ ‎11.若,满足约束条件 则的最小值为 . ‎ ‎12.已知一个球的体积为π,则该球的表面积为 . ‎ ‎13.已知点,点为抛物线的焦点,点是该抛物线上的一个动点.若的最小值为5,则的值为 .‎ ‎14.已知直线:,下列说法中正确的是__________ .(注:把你认为所有正确选项的序号均填上)‎ ① 与抛物线均相切; ② 与圆均无交点;‎ ③ 存在直线,使得与均不相交; ④ 对任意的,直线相交.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本题满分9分)‎ 已知△的顶点,边上的中线所在的直线方程为,‎ 边上的高所在的直线方程为.求 ‎(Ⅰ)所在的直线方程; ‎ ‎(Ⅱ)点的坐标.‎ ‎16.(本题满分8分)‎ 三棱柱中,,侧棱平面,分别为,的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证: 面;‎ ‎(Ⅱ)过点存在一条直线与平面垂直,请你 在图中画出这条直线(保留作图痕迹,不必说明理由).‎ ‎17.(本题满分9分)‎ 已知圆的圆心在直线上,且与轴相切于点.‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ)若圆与直线交于两点,分别连接圆心与两点,若,求的值. ‎ ‎18.(本题满分9分)‎ 如图1,在等边中,分别为,,的中点.将沿折起,得到如图2所示的三棱锥.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,在线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎19.(本题满分9分)‎ 已知动点到点与点 的斜率之积为,点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,连接,分别与直线交于两点.若△和△的面积相等,求直线的方程. ‎ ‎20.(本题满分8分) ‎ 在平面直角坐标系中,设,.定义:,其中(表示正实数). ‎ ‎(Ⅰ)设,,求和的值; ‎ ‎(Ⅱ) 求证:对平面中任意两点和都有;‎ ‎(Ⅲ)设,为原点,记.若,试写出与的关系(只需写出结论,不必证明).‎ 东城区2016—2017学年度第一学期期末教学统一检测 高二数学(理科)答案 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B C C ‎ A D C A B 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在答题卡中相应题目的横线上.)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎3‎ π ‎2或6‎ 三 三、解答题(本大题共6个小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本题满分9分)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以设所在的直线方程为.‎ 把代入直线方程为,解得.‎ 所以所在的直线方程为. …………………… 5分 ‎(Ⅱ)设,则的中点为. ‎ 联立方程组化简得 解得即. …………………… 9分 ‎16.(本题满分8分)‎ 证明:(Ⅰ) 分别为,的中点,‎ ‎.‎ 又面,面,‎ 面. ………………………………………… 5分 ‎(Ⅱ)‎ ‎………………………………………… 8分 ‎17.(本题满分9分)‎ 解:(Ⅰ)设圆心坐标为,圆的圆心在直线上,所以.‎ ‎ 因为圆与轴相切于点,则,.‎ ‎ 所以圆的圆心坐标为,.‎ 则圆的方程为. ……………………………… 5分 ‎(Ⅱ)因为,,所以△为等腰直角三角形.‎ ‎ 因为,则圆心到直线的距离.‎ ‎ 则,求得或. ……………………………… 9分 ‎18.(本题满分9分)‎ 证明:(Ⅰ)等边,为的中点,‎ ‎.‎ 即,.‎ 又,‎ 面.‎ 又面,‎ ‎. ………………………… 3分 ‎(II) 如图,以点为原点,在平面内过点作的垂线作为轴, 为轴,为轴,建立空间直角坐标系.‎ 设,则有,,,,‎ ‎,.‎ ‎,,‎ ‎,.‎ 设平面的法向量为,因此有 即 令,则.‎ 设平面的法向量为,因此有 即 令,则.‎ ‎.‎ 二面角的余弦值为. ………………………… 6分 ‎ (III)在线段上存在一点,满足面面,且 .证明如下:‎ 在平面内,过作交于,‎ 面,面,.‎ 又, ,‎ 面.‎ 又面,面面.‎ 设,‎ ‎, , ‎ ‎ .‎ 又 , .‎ ‎,‎ ‎. .‎ ‎. ………………………… 9分 ‎19.(本题满分9分)‎ 解:(Ⅰ)设点的坐标为,‎ 则, .‎ ‎∵,∴.‎ 化简得曲线的轨迹方程为. ……………………… 4分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,则 ‎ ‎ .‎ 直线的方程为,解得.‎ 直线的方程为,解得.‎ 则,.‎ 此时△和△的面积相等 ……… 6分 当直线的斜率存在时,‎ 法1:设直线的方程为,,.‎ ‎ 由得.‎ ‎,.‎ 直线的方程为,求得.‎ 直线的方程为,求得. ‎ ‎,‎ ‎.‎ 若,则,即.‎ ‎∴,化简得.‎ 此式不成立.所以△和△的面积不相等 综上,直线的方程为. ………………………… 9分 法2:设直线的方程为,,.‎ ‎ 由得.‎ ‎,.‎ ‎,,‎ 因为,,‎ ‎ 所以,即.‎ ‎ 则有,化简得.‎ ‎∴,化简得.‎ 此式不成立.所以△和△的面积不相等 综上,直线的方程为. ………………………… 9分 ‎20.(本题满分8分)‎ 解(Ⅰ),. ………………………… 2分 ‎(Ⅱ)设,,则,‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以成立.‎ 因为,‎ ‎ 所以 ‎.‎ 所以成立. ………………………… 6分 ‎(Ⅲ) 真子集 ………………………… 8分 证明如下:‎ 任取, .‎ 当时, , ,此时.‎ 当时, , .‎ 此时. ‎ 同理可得,当时,.‎ 当时,因为,所以 .‎ 又因为,所以.此时.‎ 反之不成立.‎ 所以.‎

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