www.ks5u.com
东城区2016—2017学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学(理科) 2017.1
本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题: （共大题共8小题，每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．已知，命题“等式成立”的否定形式是
A．等式不成立 B．等式不成立
C．等式不成立 D．等式不成立
3．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为
A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是
A． B．
C． D．
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列命题中正确的是
A．若⊥，则⊥ B．若∥，则∥
C．若⊥，则⊥ D．若⊥，则⊥
6．如图，长方体中，，为
的中点，则异面直线 与所成角的正切值为
A．2 B．
C. D．
7．已知，，点为直线上一点，过三点的圆记作圆，则“点为原点”是“圆的半径取得最小值”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．右图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食
者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食
者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是
第二部分（非选择题 共76分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9．点到直线的距离为 ．
10．双曲线的渐近线方程为 ．
11．若，满足约束条件 则的最小值为 ．
12．已知一个球的体积为π，则该球的表面积为 ．
13．已知点，点为抛物线的焦点，点是该抛物线上的一个动点．若的最小值为5，则的值为 ．
14．已知直线：，下列说法中正确的是__________ ．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）
① 与抛物线均相切； ② 与圆均无交点；
③ 存在直线，使得与均不相交； ④ 对任意的，直线相交．
三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分9分）
已知△的顶点，边上的中线所在的直线方程为，
边上的高所在的直线方程为．求
（Ⅰ）所在的直线方程；
（Ⅱ）点的坐标．
16．（本题满分8分）
三棱柱中，，侧棱平面，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证： 面；
（Ⅱ）过点存在一条直线与平面垂直，请你
在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．
17．（本题满分9分）
已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线交于两点，分别连接圆心与两点，若，求的值．
18．（本题满分9分）
如图1，在等边中，分别为，，的中点．将沿折起，得到如图2所示的三棱锥．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．（本题满分9分）
已知动点到点与点
的斜率之积为，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，连接，分别与直线交于两点．若△和△的面积相等，求直线的方程．
20．（本题满分8分）
在平面直角坐标系中，设，．定义：，其中（表示正实数）.
（Ⅰ）设，，求和的值；
（Ⅱ） 求证：对平面中任意两点和都有；
（Ⅲ）设，为原点，记．若，试写出与的关系（只需写出结论，不必证明）．
东城区2016—2017学年度第一学期期末教学统一检测
高二数学（理科）答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
C
A
D
C
A
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上.）
题号
9
10
11
12
13
14
答案
3
π
2或6
三
三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分9分）
解：（Ⅰ）因为，所以设所在的直线方程为．
把代入直线方程为，解得．
所以所在的直线方程为． …………………… 5分
（Ⅱ）设，则的中点为．
联立方程组化简得
解得即． …………………… 9分
16．（本题满分8分）
证明：（Ⅰ） 分别为，的中点，
．
又面，面，
面． ………………………………………… 5分
（Ⅱ）
………………………………………… 8分
17．（本题满分9分）
解：（Ⅰ）设圆心坐标为，圆的圆心在直线上，所以．
因为圆与轴相切于点，则，．
所以圆的圆心坐标为，．
则圆的方程为． ……………………………… 5分
（Ⅱ）因为，，所以△为等腰直角三角形．
因为，则圆心到直线的距离．
则，求得或． ……………………………… 9分
18．（本题满分9分）
证明：（Ⅰ）等边，为的中点，
．
即，．
又，
面．
又面，
． ………………………… 3分
(II) 如图，以点为原点，在平面内过点作的垂线作为轴， 为轴，为轴，建立空间直角坐标系．
设，则有，，，，
，．
，，
，．
设平面的法向量为，因此有
即
令，则．
设平面的法向量为，因此有
即 令，则．
．
二面角的余弦值为． ………………………… 6分
(III)在线段上存在一点，满足面面，且 ．证明如下：
在平面内，过作交于，
面，面，．
又， ，
面．
又面，面面．
设，
， ，
．
又 ， ．
,
. .
． ………………………… 9分
19．（本题满分9分）
解：（Ⅰ）设点的坐标为，
则， ．
∵，∴．
化简得曲线的轨迹方程为． ……………………… 4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则
．
直线的方程为，解得．
直线的方程为，解得．
则，．
此时△和△的面积相等 ……… 6分
当直线的斜率存在时，
法1：设直线的方程为，，．
由得．
，．
直线的方程为，求得．
直线的方程为，求得．
，
．
若，则，即．
∴，化简得．
此式不成立．所以△和△的面积不相等
综上，直线的方程为． ………………………… 9分
法2：设直线的方程为，，．
由得．
，．
，，
因为，，
所以，即．
则有，化简得.
∴，化简得．
此式不成立．所以△和△的面积不相等
综上，直线的方程为． ………………………… 9分
20．（本题满分8分）
解（Ⅰ），. ………………………… 2分
（Ⅱ）设，，则，
．
．
．
所以成立．
因为，
所以
．
所以成立． ………………………… 6分
（Ⅲ） 真子集 ………………………… 8分
证明如下：
任取， ．
当时， , ，此时．
当时， ， .
此时．
同理可得，当时，．
当时，因为，所以 ．
又因为，所以．此时．
反之不成立．
所以．
微信/支付宝扫码支付