荆门市2016-2017学年度上学期期末质量检测
高二数学（理科）
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．倾斜角为且在轴上的截距为-2的直线方程为
A． B．
C． D．
2．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为
A．至多有1件次品 B．至多有2件次品
C．至多有1件正品 D．至多有2件正品
3．某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，则最合理的抽样方法是
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法
4．若直线，互相平行，则实数等于
A．-3 B．1 C．-3或1 D．0
5．已知变量x服从正态分布，且，则等于
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
6．圆关于直线对称的圆的方程为
A． B．
C． D．
7． 运行如下程序框图输出的是
否
是
输出S
开始
S=2
k=1
结束
A．2 B． C． D．-3
8．下列说法中，错误的一个是
A．将23（10）化成二进位制数是10111（2）
B．在空间坐标系点关于x轴的对称点为
C．数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍
D．若点在圆的外部，则
0
1
2
7 8
0 7 x 9
3 1
运动员
第9题图
9．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据
染上污渍用代替，则该运动员这8场比赛的得分平均数不小
于得分中位数的概率为
A．0.2 B．0.3
C．0.6 D．0.7
10．设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为
A．1 B． C． D．
11．在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国·荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为
A．120 B．240 C．360 D．480
12．已知等边△ABC的边长为，动点P、M满足，，则的最小值是
A． B． C． D．
第13题图
INPUT x
IF x≥0 THEN
ELSE
END IF
PRINT
END
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）
13．执行右图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是 ▲ .
14．把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件
B=“第二次出现正面”，则P(B|A)= ▲ .
15．以点为圆心且与直线
相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为 ▲ .
16． 由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数……，
构成n个数对…其中两数能与1构成钝角三
角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近
似值为 ▲ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）此展开式中是否有常数项？为什么？
18．（本小题满分12分）
已知△ABC中，，B C边所在的直线方程为，AB边上的中线所在的直线方程为．
（Ⅰ）求B，C点的坐标；
（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．
19．（本小题满分12分）
x
3
5
6
7
9
y
2
3
3
4
5
某网站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x（万人）与日点赞量y（万次）进行了统计对比，得到表格如下：
由散点图象知，可以用回归直线方程来近似刻画它们之间的关系．
（Ⅰ）求出y关于x的回归直线方程，并预测日关注量为10万人时的日点赞量；
（Ⅱ）一个三口之家参加“爱飞客”亲子游戏，游戏规定：三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球，大人摸出每个红球得奖金10元，小孩摸出1个红球得奖金50元．求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率．
参考公式：； 参考数据：
20．（本小题满分12分）
已知圆.
(Ⅰ) 若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程；
(Ⅱ) 若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.
21．（本小题满分12分）
男生成绩
频率/组距
0.01
0.02
0.03
40 50 60 70 80 90 100
女生成绩
4 4
5 1 2
6 0 5
7 4 4 5 6
8 1 2 4 4 5 7 9
9 0 0 1 2
为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别
有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学期望．
参考公式：．
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考数据：
22．（本小题满分12分）
已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点是曲线C上的动点，求的取值范围；
（Ⅲ）已知定点，探究是否存在定点和常数满足：对曲线C上任意一点，都有成立？若存在，求出和；若不存在，请说明理由．
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高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
BACAD CDCBC DA
x
O
y
A
B
C
第12题图
12．提示：由题△ABC为边长为的正三角形，如图建立平面坐标系，
,
由得点P的轨迹方程为①，
设，由得，
代入①式得M的轨迹方程为
记圆心为，，
故选A
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13. 2 14. 15. 16.
16．提示：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且
面积为，所以，得.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）由题意：， ……………………………2分
即解得n=7（n=2舍） ……………………………5分
（2）展开式的通项公式为， …………8分
令，解得（舍去），故展开式无常数项．……………………………10分
18．（Ⅰ）由解得； ………………………………3分
设，则AB的中点，由点D在AB边的中线上得，解得 ………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：易知，故△ABC的外接圆的直径为BC，圆心为BC的中点，
………………………………………………8分
又半径， ………………………………………………10分
∴所求外接圆的方程为 ………………………………………………12分
法二：设△ABC的外接圆方程为则将三点
的坐标代入可得 ………………………………………………8分
解得， ………………………………………………10分
即△ABC的外接圆方程为.……………………………………12分
19．（Ⅰ）中心点坐标为， ……………………………………………… 2分
，
∴回归直线方程为=0.5x+0.4； ………………………………………………4分
当x=10时，，即日关注量为10万人时的日点赞量5.4万次．………………6分
（Ⅱ）设奖金总额为则 ， …………………………………8分
………………………………………………10分
∴奖金总额不低于50元的概率为 …………………………………………12分
20．（Ⅰ）圆C的圆心坐标为，半径R=2,
∵直线l被圆E截得的弦长为，∴圆心C到直线l的距离 ……………………2分
(1)当直线l的斜率不存在时，l：，显然满足； ………………………………3分
(2)当直线l的斜率存在时，设l：，即，
由圆心C到直线l的距离得：，解得，故l：； ………5分
综上所述，直线l的方程为或 …………………………………………6分
(Ⅱ)法一：∵直线与圆相交，∴的斜率一定存在且不为，设直线方程：,
即，则圆心C到直线的距离为， ………………………8
分
又∵的面积
…………………………………10分
当时，取最大值.由，得或，
∴直线的方程为或. ………………………………………12分
法二：设圆心C到直线的距离为，则
（取等号时）
以下同法一.
法三：
取“=”时，为等腰直角三角形，则圆心C到直线的距离，
以下同法一.
21．（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：
优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50
…………………………2分
的观测值：，
………………………………………………5分
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关； ……………6分
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此可将男女生成绩的优分频率
视作概率；从高二年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数X服从
二项分布， ………………………………………………………8分
P（X=k）=
X
0
1
2
………………10分
3
p
X的分布列为：
数学期望 ………………………………………………12分
22．（Ⅰ）法一：设，则 ①
∵点M为线段AB的中点 ∴m=2x，n=2y；代入①式得，
即点M的轨迹曲线C的方程为． ………………………………………………3分
法二：设O为坐标原点，则，故点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心，
半径等于1的圆，其方程为． ………………………………………………3分
（Ⅱ）法一；∵，∴可令，
. ………………………………7分
法二：设，则由题直线与圆C：有公共点，
∴，解得 ………………………………………7分
（Ⅲ）假设存在满足题意的和，则设，由得：
，展开整理得：
，又，故有
， ……………………………9分
由题意此式对满足的任意的y都成立，
∴且，解得：（）
所以存在满足题意要求. ………………………………………12分
命题：邓金辉 王成钧
审校：方延伟 郑 胜 王玉龙
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