荆门市2016-2017学年度上学期期末质量检测
高二数学（文科）
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为
A. (3，1 ) B. (,3) C. (1，3) D. (3，)
2．把二进制数化为十进制数为
A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
3．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为
A．至多有1件次品 B．至多有2件次品
C．至多有1件正品 D．至多有2件正品
4．用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是
A．方程至多有一个实根. B．方程没有实根.
C．方程至多有两个实根. D．方程恰好有两个实根.
5．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是
A. B. C. D.
6. 已知，，，…，依此规律，若，
则a，b的值分别是
A．65，8 B．63，8 C．61，7 D．48，7
7．运行如下程序框图输出的S是
否
是
输出S
开始
S=2
k=1
结束
A．2 B． C． D．-3
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5
户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出 （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为
A. 10.8 B. 11.8 C. 12.8 D. 9.8
9．已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，则等于
A． 7 B． C. D．14
10．设P为直线上的动点，过点P作圆C：
的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为
A．1 B． C． D．
11．设复数，若，则的概率为
A. B. C. D.
12．已知等边△ABC的边长为，动点P、M满足，，则的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）
13．关于x的方程有实根，则实数m的值是 ▲ .
14. 已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，若 l1⊥l2， 则a的值 ▲ .
15．以点为圆心且与直线相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为 ▲ .
16．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则．拓展到空间，在四面体A-BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，得出 ▲ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若A,B,C又成等差数列，求证△ABC为等边三角形．
18．（本小题满分12分）已知△ABC中，，BC边所在的直线方程为，
AB边上的中线所在的直线方程为．
（Ⅰ）求B、C点的坐标；
（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．
19．（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，我市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由. 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差.
20. （本小题满分12分）在数列中，，（n∈N+）．
（I）求出数列的前3项，试猜想并证明数列的通项公式；
（II）记，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
21. （本小题满分12分）某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或
反对），进行了如下的调查研究：全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽
样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到
支持
反对
总计
男生
30
女生
25
总计
如下列联表：
（I）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？
（Ⅱ）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率？
参考公式及临界表：
P（K2≥k0）
0.10
0.050
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
22． （本小题满分12分）已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线
段AB的中点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点是曲线C上的动点，求的取值范围；
（Ⅲ）已知定点，探究是否存在定点和常数满足：对曲线C上任
意一点，都有成立？若存在，求出和；若不存在，请说明理由．
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高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
CBABD BDBAC DA
12．提示：由题△ABC为边长为的正三角形，如图建立平面坐标系，
x
O
y
A
B
C
第12题图
,
由得点P的轨迹方程为①，
设，由得，
代入①式得M的轨迹方程为
记圆心为，，
故选A
二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
13． 14．或 15．； 16．
16．由已知在平面几何中，若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，则，我们可以类比这一性质，推理出：若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．…………………………………………………………1分
由余弦定理得 ， ………………………………3分
∴，当且仅当a＝c时等号成立，
∴． ……………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）∵角A,B,C成等差数列，,
∴. ………………………………………………………………………6分
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．
又, ……………………………………8分
∴, ,
所以△ABC为等边三角形. …………………………………………………………………10分
18．（Ⅰ）由解得； ………………………………………………………3分
设，则AB的中点，由点D在AB边的中线上得，
解得 ……………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：易知，故△ABC的外接圆的直径为BC，圆心为BC的中点，
……………………………………………………………………………………8分
又半径，……………………………………………………………………………10分
∴所求外接圆的方程为 ……………………………………………12分
法二：设△ABC的外接圆方程为则将
三点的坐标代入可得 …………………………………………8分
解得， …………………………………………………………………10分
即△ABC的外接圆方程为. ……………………………12分
19.（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距
∴
得 ……………………………………………………………………………………4分
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)……………………………………8分
（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即的居民月均用水量小于2.5吨,
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故
假设月均用水量平均分布，则（吨）…………12分
20．（I）在数列中，∵，
∴，…，，
∴可以猜想，这个数列的通项公式 …………………………………………3分
证明：∵，∴，
∴，∴是以1为首项，为公差的等差数列,
∴，∴． ………………………………………………………6分
（II）由（I）得． …………………………………………………………7分
假设数列中存在三项（p，q，r是互不相等正整数）成等比数列，则，
即， ……………………………………………………………8分
∴．
∵p，q，r是互不相等正整数，∴，………………………………………10分
∴，
与矛盾．∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． ………………12分
支持
反对
总计
男生
30
50
80
女生
45
25
………………2分
70
总计
75
75
150
21．（Ⅰ）列联表如下：
计算得， ………………………………………4分
因为10.71410.828，所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关 ……………………6分
（Ⅱ）抽取的6名男生中支持2人记为A,B,反对4人记为1，2，3，4，女生中支持2人记为a,b, 反对2人记为5,6则随机抽取一男一女的基本事件有：
（A，a），（A，b），（A，5），（A，6），（B，a），（B，b），（B，5），（B，6）
（1，a），（1，b），（1，5），（1，6）, （2，a），（2，b），（2，5），（2，6）
（3，a），（3，b），（3，5），（3，6）, （4，a），（4，b），（4，5），（4，6）…………9分
随机抽取一男一女所有可能的情况有24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有2×2+4×2=12种，所以概率为． ……………………………………………………………12分
22．（Ⅰ）法一：设，则 ①
∵点M为线段AB的中点 ∴m=2x，n=2y；代入①式得，
即点M的轨迹曲线C的方程为． ………………………………………………3分
法二：设O为坐标原点，则，故点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心， 半径等于1的圆，其方程为． ………………………………………………3分
（Ⅱ）法一；∵，∴可令，
.………………………………7分
法二：设，则由题直线与圆C：有公共点，
∴，解得 ………………………………………7分
（Ⅱ）假设存在满足题意的和，则设，由得：
，展开整理得：
，又，故有
， ……………………………9分
由题意此式对满足的任意的y都成立，
∴且，解得：（）
所以存在满足题意要求. …………………………………………………………12分
命题：王成钧 邓金辉
审校：方延伟 郑 胜 王玉龙
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