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2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷
高三数学 2017.01
一、 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 设集合，则 .
2. 复数，（其中i是虚数单位），则复数z的共轭复数为 .
3.命题的否定是 .
4.从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为 .
5根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 .
6.已知向量，若与垂直，则的值为 .
7.设不等式表示的平面区域为M,若直线上存在M内的点，则实数k的取值范围是 .
8.已知是奇函数，则 .
9.设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则数列的前4项和为 .
10.设，则在上的单调递增区间为 .
11.已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为，且面积为的扇形，则该圆锥的体积等于 .
12.设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则 .
13.若函数在上的值域恰好为，则称为函数的一个“等值映射区间”.下列函数:①;②;③;④
.其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个.
14.已知，且，则的最小值为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，D为BC上一点，且
（1）求的值；
（2）若，求AD的长.
16.在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，E,F分别为PC,AB的中点.求证：
（1）平面平面；
（2）平面.
17.
某地拟在一个U形水面上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物.为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E,N拉2条分割线ME,MN,将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物.已知，设所拉分割线总长度为.
（1）设，求用表示的函数表达式，并写出定义域；
（2）求的最小值.
18.已知椭圆，动直线与椭圆B,C两点（B在第一象限）.
（1）若点B的坐标为，求面积的最大值；
（2）设，且，求当面积最大时，直线的方程.
19.数列的前项和为，.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，记的前项和为.
①当时，恒成立，求实数的取值范围；
②求证：存在关于的整式，使得对一切都成立.
20.已知
（1）当时，为增函数，求实数的取值范围；
（2）若，设函数，求证：对任意，恒成立.
2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷
高三数学（加试题）
说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴.已知曲线C的极坐标方程为
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线（为参数）与曲线C交于A,B两点，求AB的长.
22.（本题满分10分）选修4-2：矩阵与变换
已知变换T将平面上的点分别变换为点.设变换T对应的矩阵为M.
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的特征值.
23.（本题满分10分）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时.设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如下表所示.
（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
24.（本题满分10分）如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，分别为的中点.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN,使得MN⊥平面PBC?若存在，求出点M,N的坐标；若不存在，请说明理由.
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