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永安一中2018-2019学年第一学期半期考
高二数学（理）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．
1. 将121化为六进制数为( )
A. B. C. D.
2. 某学校要从高一年级的752名学生中选取15名学生代表去敬老院慰问老人，若采用系统抽样方法，首先要随机剔除2名学生，再从余下的750名学生中抽取15名学生，则其中学生甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
3. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 条件p：，条件q：，若p是q的必要条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 从包含小华的4位同学中依次任选3人参加知识竞赛，则其中小华不是第一个被选中的概率是( )
A. B. C. D.
6. 如图，给出的是计算值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是( )
A. B.. C. D.
7.一动圆P过定点，且与已知圆N：外切，则动圆圆心
P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
8.设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
9.点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的正弦值为（ )
A. B. C. D.
10.已知双曲线C:，过点的直线与双曲线C只有一个公共点，则符合这样条件的直线共有（ )
A.1条 B.2条 C. 3条 D. 4条
11.以下四个命题中，正确的个数是（ )
命题“若是周期函数，则不是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则是三角函数”；
命题“存在，”的否定是“对于任意，”；
“”是“”成立的充要条件；
命题：且，命题：，则p是q的必要不充分条件．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12.已知抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，如满足，则的最小值为（ )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．
13.抛物线的准线方程为 .
14.若样本数据，，，的标准差为4，则数据，，，的方差为_____ ．
15.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在点使，则离心率的取值范围是 .
16.已知命题：对都,使得函数至少有一个零点。命题：方程为双曲线方程，若为真，则实数的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答过程要有必要文字说明与推理过程．)
17.（本小题满分10分）
已知命题实数满足；命题实数满足若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
已知命题命题使方程表示焦点在轴上的椭圆.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围．
19. （本小题满分12分）
（1）设关于的一元二次方程若是从这四个数中任取的一个数，是从这三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.
(2)某校早上开始上课，假设该校学生小张与小王在早上之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，求小张比小王至少早分钟到校的概率.
20. （本小题满分12分）
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日 期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（°C）
8
13
11
12
10
6
就诊人数y（个）
16
28
25
27
22
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是5月与6月的两组数据，请根据1至4月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想?
参考公式：，
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点是，又点P在椭圆上.
求椭圆的方程；
设为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于两点，求面积的最大值.
22. （本小题满分12分）
设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是的中点到轴的距离是.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，
①求证：轴为的角平分线；
②若交抛物线于，且，求的值.
永安一中2018-2019学年第一学期半期考高二数学（理）试题答案
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、 解答题(本大题共6小题，满分70分)
17.，…………2分
即…………4分
记…………5分
是的充分不必要条件 的充分不必要条件…………6分
…………7分
…………8分
实数的取值范围为…………10分
表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得：， 故为真命题：；…………5分
（2）解得：，
故为真时：………………7分
若命题“”为真，命题“”为假，则一真一假，
故，…………………9分
解得：…………………12分
19. (1)解：设事件为“方程有实数根”
则，即…………2分
基本事件共12个：
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值.…………4分
事件中含有6个基本事件，
事件发生的概率.…………6分
设小张到校的时间为，小王到校的时间为可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域Ω是一个矩形区域，
对应的面积=…………8分
则小张比小王至少早10分钟到校事件作出符合题意的图象（图略）
满足A事件的面积.…………10分
由几何概率概型可知…………12分
19. 解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的数据的情况有5种，
所以…………3分
(2) 由数据求得…………6分
代入公式可得再由…………8分
所以关于的线性回归方程为…………9分
（3）当时，同样，当时，…………11分
所以该小组所得线性回归方程是理想的．…………12分
21.解：（1）由椭圆的定义可知…………2分
易知椭圆的焦点在轴上，且
所以椭圆的方程是.…………4分
(2)设曲线上的点，易知的斜率存在，设将它代入.消去并整理得，与抛物线相切
.…………6分
将代入整理得…………7分
设，.则，
，∴…………9分
设点到直线的距离为，则.
∴.…………11分
当时取到等号，满足题意.∴.…………12分
22.解（1）设抛物线方程为，由抛物线定义可知,…………1分
又中点到轴距离为3，则，故，…………2分
所以抛物线的方程 .…………3分
①设直线为…………4分
…………6分
而=…………7分
故，所以轴为的角平分线.…………8分
②同理可得轴为的角平分线，故三点共线,
由抛物线的对称性知,
则…………9分
又则………10分
设直线为
………11分
故则 ,又 ………12分
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