河南省南阳市唐河县2016-2017学年九年级（上）期末数学试卷（解析版）人教版.doc

河南省南阳市唐河县2016-2017学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．与是同类二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．方程x2=2x的解是（　　）‎ A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±‎ ‎3．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（　　）‎ A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB ‎5．如图：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点是（﹣2，0），顶点是（1，3）．下列说法中不正确的是（　　）‎ A．抛物线的对称轴是x=1‎ B．抛物线的开口向下 C．抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）‎ D．当x=1时，y有最大值是3‎ ‎6．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（　　）‎ A．当k=0时，方程无解 B．当k=1时，方程有一个实数解 C．当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 ‎7．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（　　）‎ ‎①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=cm．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎8．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（　　）‎ A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．当x　　时，在实数范围内有意义．‎ ‎10．已知四条线段a，b，c，d成比例，并且a=2，b=，c=，则d=　　．‎ ‎11．在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=　　．‎ ‎12．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为　　．‎ ‎13．两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为　　cm，面积为　　cm2．‎ ‎14．共青团县委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、‎ 宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为xcm，则列方程整理成一般形式为　　．‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共75分）‎ ‎16．（7分）计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．‎ ‎17．（7分）用配方法解方程：x2+4x﹣1=0．‎ ‎18．（9分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．‎ ‎（1）求证：△CDF∽△BGF；‎ ‎（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．‎ ‎19．（10分）如图，一条抛物线经过（﹣2，5），（0，﹣3）和（1，﹣4）三点．‎ ‎（1）求此抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）假如这条抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，试判断△OCB的形状．‎ ‎20．（10分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：，且AB=30m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，己知地面BC宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，≈1.732）‎ ‎21．（10分）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：‎ 每千克售价（元）‎ ‎25‎ ‎24‎ ‎23‎ ‎…‎ ‎15‎ 每天销售量（千克）‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎34‎ ‎…‎ ‎50‎ 如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数：‎ ‎（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）‎ ‎（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？‎ ‎22．（11分）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．‎ 小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．‎ 请回答：∠ACE的度数为　　，AC的长为　　．‎ 参考小腾思考问题的方法，解决问题：‎ 如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．‎ ‎23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（t，0）在x轴上，B是线段PA的中点．将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，连结OB、BC．‎ ‎（1）判断△PBC的形状，并简要说明理由；‎ ‎（2）当t＞0时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的t的值？若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，△AOP与△APC相似？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省南阳市唐河县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．与是同类二次根式的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】同类二次根式．‎ ‎【分析】根据同类二次根式的定义进行选择即可．‎ ‎【解答】解：A、与不是同类二次根式，故错误；‎ B、=3与不是同类二次根式，故错误；‎ C、=3与不是同类二次根式，故错误；‎ D、=与是同类二次根式，故正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．方程x2=2x的解是（　　）‎ A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．‎ ‎【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=0，‎ 分解因式得：x（x﹣2）=0，‎ 解得：x1=0，x2=2．‎ 故选C ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】列举出所有情况，看能被3整除的数的情况占总情况的多少即可．‎ ‎【解答】解：第一个数字有4种选择，第二个数字有3种选择，易得共有4×3=12种可能，而被3整除的有4种可能（12、21、24、42），所以任意抽取两个数字组成两位数，则这个两位数被3整除的概率为=，故选A．‎ ‎【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（　　）‎ A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】根据三角函数的定义即可判断．‎ ‎【解答】解：A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；‎ B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；‎ C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；‎ D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．‎ ‎　‎ ‎5．如图：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点是（﹣2，0），顶点是（1，3）．下列说法中不正确的是（　　）‎ A．抛物线的对称轴是x=1‎ B．抛物线的开口向下 C．抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）‎ D．当x=1时，y有最大值是3‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据二次函数的性质，结合图象，逐一判断．‎ ‎【解答】解：观察图象可知：‎ A、∵顶点坐标是（1，3），‎ ‎∴抛物线的对称轴是x=1，正确；‎ B、从图形可以看出，抛物线的开口向下，正确；‎ C、∵图象与x轴的一个交点是（﹣2，0），顶点是（1，3），‎ ‎∴1﹣（﹣2）=3，1+3=4，‎ 即抛物线与x轴的另一个交点是（4，0），错误；‎ D、当x=1时，y有最大值是3，正确．‎ 故选C．‎ ‎【点评】主要考查了二次函数的性质，要会根据a的值判断开口方向，根据顶点坐标确定对称轴，掌握二次函数图象的对称性．‎ ‎　‎ ‎6．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，下列说法正确的是（　　）‎ A．当k=0时，方程无解 B．当k=1时，方程有一个实数解 C．当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 ‎【考点】根的判别式；一元一次方程的解．‎ ‎【分析】利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可．‎ ‎【解答】解：关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1=0，‎ A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误；‎ B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误；‎ C、当k=﹣1时，﹣x2+2x﹣1=0，则（x﹣1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；‎ D、由C得此选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判断方程根的情况是解题关键．‎ ‎　‎ ‎7．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（　　）‎ ‎①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=cm．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，运用验证法，逐个验证从而确定答案．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40cm，‎ ‎∴AD=AB=BC=CD=10．‎ ‎∵DE⊥AB，垂足为E，‎ sinA===，‎ ‎∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm．‎ ‎∴菱形的面积为：AB×DE=10×6=60cm2．‎ 在三角形BED中，‎ BE=2cm，DE=6cm，BD=2cm，∴①②③正确，④错误； =2‎ ‎∴结论正确的有三个．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题看上去这是一道选择题实则是一道综合题，此题考查直角三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．‎ ‎　‎ ‎8．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（　　）‎ A．2：5 B．14：25 C．16：25 D．4：21‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=，则EC=8﹣=，‎ 利用三角形面积公式计算出S△BCE=BC•CE=×6×=，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED==，利用三角形面积公式计算出S△BDE=BD•DE=×5×=，然后求出两面积的比．‎ ‎【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，‎ ‎∴AB==10，‎ ‎∵把△ABC沿DE使A与B重合，‎ ‎∴AD=BD，EA=EB，‎ ‎∴BD=AB=5，‎ 设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，‎ 在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=（8﹣x）2+62，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴EC=8﹣x=8﹣=，‎ ‎∴S△BCE=BC•CE=×6×=，‎ 在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，‎ ‎∴ED==，‎ ‎∴S△BDE=BD•DE=×5×=，‎ ‎∴S△BCE：S△BDE=： =14：25．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了勾股定理．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．当x　＞　时，在实数范围内有意义．‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．‎ ‎【分析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．‎ ‎【解答】解：由分式的分母不为0，得2x﹣3≠0，即x≠，‎ 又因为二次根式的被开方数不能是负数，所以有2x﹣3≥0，得x≥，‎ 所以，x的取值范围是x＞．‎ 故当x＞时，在实数范围内有意义．‎ ‎【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆．‎ ‎　‎ ‎10．已知四条线段a，b，c，d成比例，并且a=2，b=，c=，则d=　　．‎ ‎【考点】比例线段．‎ ‎【分析】根据题意列出比例式，再根据比例的基本性质，易求d的值．‎ ‎【解答】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，并且a=2，b=，c=，‎ ‎∴a：b=c：d，即2： =：d，‎ 解得d=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是利用了两内项之积等于两外项之积．‎ ‎　‎ ‎11．在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=　　．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．‎ ‎【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=3米，‎ 则AB===4（米），‎ 则坡度i==．‎ 故答案为：3：4．‎ ‎【点评】本题考查了坡度的概念，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比．‎ ‎　‎ ‎12．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为　　．‎ ‎【考点】旋转的性质；解直角三角形．‎ ‎【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．‎ ‎【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．‎ 根据旋转性质可知，∠B′=∠B．‎ 在Rt△BCD中，tanB==，‎ ‎∴tanB′=tanB=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．‎ ‎　‎ ‎13．两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为　14　cm，面积为　　cm2．‎ ‎【考点】相似三角形的性质．‎ ‎【分析】由两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，可得此相似三角形的相似比为：6：18=1：3；即可得此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9，又由较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，‎ ‎∴此相似三角形的相似比为：6：18=1：3；‎ ‎∴此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9，‎ ‎∵较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，‎ ‎∴较小三角形的周长为：42×=14（cm），面积为：12×=（cm2）．‎ 故答案为：14，．‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．‎ ‎　‎ ‎14．共青团县委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为xcm，则列方程整理成一般形式为　x2+25x﹣150=0　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】设彩纸的宽度为xcm，则镶上宽度相等的彩纸后长度为30+2x，宽为20+2x，它的面积等于原来面积的2倍，由此列出方程．‎ ‎【解答】解：设彩纸的宽度为xcm，‎ 则由题意列出方程为：（30+2x）（20+2x）=2×30×20．‎ 整理得：x2+25x﹣150=0，‎ 故答案为：x2+25x﹣150=0．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，变形后的面积是原来的2倍，列出方程即可．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为　1或2　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理．‎ ‎【分析】首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF的长，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，‎ ‎∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，‎ ‎∴AC=BC•tan∠B=3×=，∠BAC=60°，‎ 如图①若∠AFE=90°，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，‎ ‎∴∠FAC=∠EFD=30°，‎ ‎∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，‎ ‎∴BD=DF==1；‎ 如图②若∠EAF=90°，‎ 则∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，‎ ‎∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，‎ ‎∴BD=DF==2，‎ ‎∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．‎ ‎【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共75分）‎ ‎16．计算：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．‎ ‎【分析】按照实数的运算法则依次计算：cos30°=，|﹣2|=，（）0=1， =3，（﹣）﹣2=9．‎ ‎【解答】解：4cos30°﹣|﹣2|+（）0﹣+（﹣）﹣2‎ ‎=‎ ‎=（5分）‎ ‎=8．（6分）‎ ‎【点评】本题重点考查了实数的基本运算能力．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．‎ ‎　‎ ‎17．用配方法解方程：x2+4x﹣1=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．‎ ‎【解答】解：方程变形得：x2+4x=1，‎ 配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，‎ 开方得：x+2=±，‎ 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB 的延长线交于点G．‎ ‎（1）求证：△CDF∽△BGF；‎ ‎（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形．‎ ‎【分析】（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．‎ ‎（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，‎ ‎∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分）‎ ‎∴△CDF∽△BGF．‎ ‎（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，‎ 又∵F是BC的中点，BF=FC，‎ ‎∴△CDF≌△BGF，‎ ‎∴DF=GF，CD=BG，（6分）‎ ‎∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，‎ ‎∴E为AD中点，‎ ‎∴EF是△DAG的中位线，‎ ‎∴2EF=AG=AB+BG．‎ ‎∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，‎ ‎∴CD=BG=2cm．（8分）‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2016秋•唐河县期末）如图，一条抛物线经过（﹣2，5），（0‎ ‎，﹣3）和（1，﹣4）三点．‎ ‎（1）求此抛物线的函数解析式．‎ ‎（2）假如这条抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，试判断△OCB的形状．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解可得；‎ ‎（2）分别求出抛物线与坐标轴的交点即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 将（﹣2，5），（0，﹣3）和（1，﹣4）三点代入，‎ 得：，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，‎ 解得：x=﹣1或x=3，‎ ‎∴抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），‎ ‎∵c=﹣3，‎ ‎∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），‎ ‎∴OB=OC，‎ ‎∴△OCB是等腰直角三角形．‎ ‎【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2012•苏州模拟）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：，且AB=30m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，己知地面BC宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，≈1.732）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】由i的值求得大堤的高度AE，点A到点B的水平距离BE，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．‎ ‎【解答】解：延长MA交直线BC于点E，‎ ‎∵AB=30，i=1：，‎ ‎∴AE=15，BE=15，‎ ‎∴MN=BC+BE=30+15，‎ 又∵仰角为30°，‎ ‎∴DN===10+15，‎ CD=DN+NC=DN+MA+AE=10+15+15+1.5≈17.32+31.5≈48.8（m）．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点 A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2013•闸北区二模）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：‎ 每千克售价（元）‎ ‎25‎ ‎24‎ ‎23‎ ‎…‎ ‎15‎ 每天销售量（千克）‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎34‎ ‎…‎ ‎50‎ 如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数：‎ ‎（1）求y与x之间的函数解析式；（不写定义域）‎ ‎（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）利用表格中的数据得到两个变量的对应值，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；‎ ‎（2）设这一天每千克的销售价应定为x元，利用总利润是200元得到一元二次方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设y=kx+b （k≠0），将（25，30）（24，32）代入得：…（1分）‎ 解得：，‎ ‎∴y=﹣2x+80． ‎ ‎（2）设这一天每千克的销售价应定为x元，根据题意得：‎ ‎（x﹣15）（﹣2x+80）=200，‎ x2﹣55x+700=0，‎ ‎∴x1=20，x2=35． ‎ ‎（其中，x=35不合题意，舍去）‎ 答：这一天每千克的销售价应定为20元．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，列方程及函数关系式的关键是找到等量关系．‎ ‎　‎ ‎22．（11分）（2014•北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．‎ 小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．‎ 请回答：∠ACE的度数为　75°　，AC的长为　3　．‎ 参考小腾思考问题的方法，解决问题：‎ 如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．‎ ‎【分析】根据相似的三角形的判定与性质，可得=2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．‎ ‎【解答】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°，‎ ‎∠E=75°，BD=2DC，‎ ‎∴AD=2DE，‎ AE=AD+DE=3，‎ ‎∴AC=AE=3，‎ ‎∠ACE=75°，AC的长为3．‎ 过点D作DF⊥AC于点F．‎ ‎∵∠BAC=90°=∠DFA，‎ ‎∴AB∥DF，‎ ‎∴△ABE∽△FDE，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴EF=1，AB=2DF．‎ 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，‎ ‎∴∠ACD=75°，AC=AD．‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴∠AFD=90°，‎ 在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，‎ ‎∴DF=AFtan30°=，AD=2DF=2．‎ ‎∴AC=AD=2，AB=2DF=2．‎ ‎∴BC==2．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．‎ ‎　‎ ‎23．（11分）（2016秋•唐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（t，0）在x轴上，B是线段PA的中点．将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，连结OB、BC．‎ ‎（1）判断△PBC的形状，并简要说明理由；‎ ‎（2）当t＞0时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的t的值？若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，△AOP与△APC相似？‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【分析】（1）根据旋转的现在得出PB=PC，再根据B是线段PA的中点，得出∠BPC=90°，从而得出△PBC是等腰直角三角形．‎ ‎（2）根据∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根据B是PA的中点，得出四边形POBC是平行四边形，当OB⊥BP时，得出OP2=2OB2，即t2=2（t2+1），求出符合题意的t的值，即可得出答案；‎ ‎（3）根据题意得出∠AOP=∠APC=90°，再分两种情况讨论，当==时和==时，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分别求出t的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下：‎ ‎∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，‎ ‎∴PB=PC，‎ ‎∵B是线段PA的中点，‎ ‎∴∠BPC=90°，‎ ‎∴△PBC是等腰直角三角形．‎ ‎（2）当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． ‎ ‎∵∠OBP=∠BPC=90°，‎ ‎∴OB∥PC，‎ ‎∵B是PA的中点，‎ ‎∴OB=AP=BP=PC，‎ ‎∴四边形POBC是平行四边形，‎ 当OB⊥BP时，有OP=OB，即OP2=2OB2，‎ ‎∴t2=2（t2+1），‎ ‎∴t1=2，t2=﹣2（不合题意），‎ ‎∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形． ‎ ‎（3）由题意可知，∠AOP=∠APC=90°，‎ 当==时，‎ ‎△AOP∽△APC，‎ 此时OP=OA=1，‎ ‎∴t=±1，‎ 当==时，‎ ‎△AOP∽△CPA，‎ 此时OP=2OA=4，‎ ‎∴t=±4，‎ ‎∴当t=±1或±4时，△AOP与△CPA相似．‎ ‎【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是旋转的性质、平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，注意分情况讨论，不要漏解．‎ ‎　‎