无锡市江阴市要塞片2017届九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2•a3=a5 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
3．已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
4．将161000用科学记数法表示为（ ）
A．0.161×106 B．1.61×105 C．16.1×104 D．161×103
5．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
6．九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．16，16 B．10，16 C．8，8 D．8，16
7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．20 cm B．20πcm2 C．40πcm2 D．40cm2
8．如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果=，那么=（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（ ）
A． cm B．10cm C．8cm D． cm
10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；② =；③AC•BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．因式分解：a2﹣3a= ．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
13．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2= ．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= ．
15．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，点C为圆上异于A、B的一点，∠OAB=25°，则∠ACB= ．
16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 %．
17．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE= ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（6分）解方程：
（1）x2+2x=0 （2）x2﹣4x+3=0．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
21．（6分）扬州市中小学全面开展“体艺2+1”活动，某校根据学校实际，决定开设A：篮球，B：乒乓球，C：声乐，D：健美操等四中活动项目，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人．
（2）请你将统计图1补充完整．
（3）统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是 度．
（4）已知该校学生2400人，请根据调查结果估计该校最喜欢乒乓球的学生人数．
22．（8分）如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．
23．（8分）如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：四边形BNCM是菱形．
24．（8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．
25．（10分）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：
每箱售价x（元）
68
67
66
65
…
40
每天销量y（箱）
40
45
50
55
…
180
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．
26．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．
（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．
27．（10分）如果一个三角形的三边a，b，c能满足a2+b2=nc2（n为正整数），那么这个三角形叫做“n阶三角形”．如三边分别为1、2、的三角形满足12+22=1×（）2，所以它是1阶三角形，但同时也满足（）2+22=9×12，所以它也是9阶三角形．显然，等边三角形是2阶三角形，但2阶三角形不一定是等边三角形．
（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？
（2）若三边分别是a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形是一个2阶三角形，求a：b：c．
（3）如图1，直角△ABC是2阶三角形，AC＜BC＜AB，三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：
A同学：是2阶三角形但不是直角三角形；
B同学：是直角三角形但不是2阶三角形；
C同学：既是2阶三角形又是直角三角形；
D同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形．
请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．
（4）如图2，矩形OACB中，O为坐标原点，A在y轴上，B在x轴上，C点坐标是（2，1），反比例函数y=（k＞0）的图象与直线AC、直线BC交于点E、D，若△ODE是5阶三角形，直接写出所有可能的k的值．
28．（10分）已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A﹣D﹣C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．
（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF 恰好经过点E时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α°（0＜α＜360），直线PF分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|=2．
故选B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
www.czsx.com.cn
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2•a3=a5 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答．
【解答】解：A.2a﹣a=a，故错误；
B．a2+a2=2a2，故错误；
C．a2•a3=a5，正确；
D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
3．已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．
【解答】解：∵x=2是方程的解，
∴4﹣2﹣2a=0
∴a=1．
故本题选C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
4．将161000用科学记数法表示为（ ）
A．0.161×106 B．1.61×105 C．16.1×104 D．161×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：161000=1.61×105．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．11或 13 D．13
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】解方程求得x的值，再根据三角形三边之间的关系得出符合条件的x的值，最后求出周长即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0，
∴x﹣2=0或x﹣4=0，
解得：x=2或x=4，
若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法及三角形三边之间的关系．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
6．九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．16，16 B．10，16 C．8，8 D．8，16
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的定义求解．找出次数最多的数为众数；把5个数按大小排列，位于中间位置的为中位数．
【解答】解：在这一组数据中16是出现次数最多的，故众数是16；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是8，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是8．
故选D．
【点评】本题考查统计知识中的中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．20 cm B．20πcm2 C．40πcm2 D．40cm2
【考点】圆锥的计算．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：这个圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π（cm2）．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．如图，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C；如果=，那么=（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】证明△ABD∽△ACB，利用相似的性质求解即可．
【解答】解：∵点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD=∠C，且∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
如果=∴==
∵=，∴AD=x，CD=3x，
∴AB2=AC•AD，
∴AB=2x
∴=
故：选A
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABD∽△ACB，由=设AD=x，CD=3x，根据相似的性质求解．
9．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=16cm，CD=6cm，则⊙O的半径为（ ）
A． cm B．10cm C．8cm D． cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连结OA，如图，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AC=BC=AB=8，再在Rt△OAC中利用勾股定理得到（r﹣6）2+82=r2，然后解方程求出r即可．
【解答】解：连结OA，如图，设⊙O的半径为r，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=8，
在Rt△OAC中，∵OA=r，OC=OD﹣CD=r﹣6，AC=8，
∴（r﹣6）2+82=r2，解得r=，
即⊙O的半径为cm．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；② =；③AC•BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC；②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4．③当FC⊥AB时成立；④连接DM，可证DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解．
【解答】解：①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故本选项正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴==，
∴设AB=4x，则AC=3x，
在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，则（3x）2+49=（4x）2，
解得：x=，
∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：，故不正确；
③由①知∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴AC•BE=BD•DC=12．
故本选项正确；
④连接DM，
在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，
则DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，
∴3BF=4AC．
故本选项正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定和性质，综合性强，有一定难度．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．因式分解：a2﹣3a= a（a﹣3） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2= 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2=﹣=3，此题得解．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，
∴x1+x2=﹣=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于﹣是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= 6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据DE∥BC，可判断△ADE∽△ABC，利用对应边成比例的知识可求出BC．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，即=
解得：BC=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握：相似三角形的对应边成比例．
15．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，点C为圆上异于A、B的一点，∠OAB=25°，则∠ACB= 65° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵OA=OB，∠OAB=25°，
∴∠AOB=180°﹣25°﹣25°=130°，
∴∠ACB=∠AOB=65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
16．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 10 %．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．
【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，
根据题意得，1000（1+x）2=1210，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（负值舍去），
所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
17．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为 6cm ．
【考点】弧长的计算．
【分析】根据已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径r．
【解答】解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，
即n=60°，l=2π，
根据弧长公式l=，
得2π=，
即r=6cm．
故答案为：6cm．
【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE= 4：3 ．
【考点】旋转的性质；三角形的重心．
【分析】先证明DA′=CB′，由DA′∥CB′，得==即可解决问题．
【解答】证明：∵∠BAC=90°，A′是△ABC重心，
∴BD=DC=AD，DA′=AA′=AD=BC，
∵△A′CB′S是由△ABC旋转得到，
∴CA′=CA，BC=CB′，∠ACB=∠A′CB′=∠DAC，∠CA′B′=90°，
∴∠CAA′=∠CA′A=∠DAC，∠DA′B′+′CA′A=90°，∠B′+∠A′CB′=90°，
∴∠DA′B′=∠B′
∴DA′∥CB′，
∴==，设DE=k，则EC=6k，BE=DC=7k，BE=8k，
∴BE：CE=8k：6k=4：3．
故答案为4：3．
【点评】本题考查三角形重心、旋转平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是发现DA′=CB′，记住三角形的重心把中线分成1：2两部分，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．解方程：
（1）x2+2x=0
（2）x2﹣4x+3=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用十字相乘法把要求的式子进行因式分解，得到两个一元一次方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）x2+2x=0，
x（x+2）=0，
x1=0，x2=﹣2；
（2）x2﹣4x+3=0，
（x﹣3）（x﹣1）=0，
x1=3，x2=1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，求此时方程的根．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m为负整数以及（1）的结论可得出m的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4（1﹣m）＞0，
即5+4m＞0，解得：m＞﹣．
∴m的取值范围为m＞﹣．
（2）∵m为负整数，且m＞﹣，
∴m=﹣1．
将m=﹣1代入原方程得：x2+3x+2=（x+10）（x+2）=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
故当m=﹣1时，此方程的根为x1=﹣1和x2=﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
21．扬州市中小学全面开展“体艺2+1”活动，某校根据学校实际，决定开设A：篮球，B：乒乓球，C：声乐，D：健美操等四中活动项目，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人．
（2）请你将统计图1补充完整．
（3）统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是 72 度．
（4）已知该校学生2400人，请根据调查结果估计该校最喜欢乒乓球的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）分析统计图可知，喜欢篮球的人数为20人，所占百分比为10%，进而得出总人数即可；
（2）根据条形图可以得出喜欢C音乐的人数=200﹣20﹣80﹣40=60，即可补全条形图；
（3）根据喜欢D：健美操的人数为：40人，得出统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是：40÷200×360°=72°；
（4）用全校学生数×最喜欢乒乓球的学生所占百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）根据喜欢篮球的人数为20人，所占百分比为10%，
故这次被调查的学生共有：20÷10%=200；
故答案为：200；
（2）根据喜欢C音乐的人数=200﹣20﹣80﹣40=60，
故C对应60人，如图所示：
（3）根据喜欢D：健美操的人数为：40人，
则统计图2中D项目对应的扇形的圆心角是：40÷200×360°=72°；
故答案为：72；
（4）根据样本中最喜欢乒乓球的学生人数为80人，
故该校学生2400人中最喜欢乒乓球的学生人数为：×2400=960人．
答：该校最喜欢乒乓球的学生人数大约为960人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；
（2）运用相似三角形的性质求解．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°． （1分）
∴∠B=∠AFD=90°．
又∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．
∴△ABE∽△DFA． （4分）
（2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，
∴AE=10． （6分）
∵△ABE∽△DFA，∴ =． （7分）
即=．
∴DF=7.2． （8分）
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．
23．如图，已知AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：四边形BNCM是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用SSS定理可直接判定△ABC≌△DCB；
（2）首先根据CN∥BD、BN∥AC，可判定四边形BNCM是平行四边形，再根据△ABC≌△DCB可得∠1=∠2，进而可得BM=CM，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
（2）∵CN∥BD、BN∥AC，
∴四边形BNCM是平行四边形，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠1=∠2，
∴BM=CM，
∴四边形BNCM是菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定；圆周角定理．
【分析】（1）连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA=OD，则∠ODA=∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD=∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂径定理得：DF=3，根据勾股定理求半径OD的长．
【解答】（1）证明：连结OA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC∥OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF=AE=4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF=CD=3cm，
在Rt△ODF中，OD==5cm，
即⊙O的半径为5cm．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可．
25．（10分）（2016秋•江阴市期中）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系：
每箱售价x（元）
68
67
66
65
…
40
每天销量y（箱）
40
45
50
55
…
180
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值．
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案；
（3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系是：y=kx+b，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系是：y=﹣5x+380；
（2）由题意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）=1600，
解得：x1=56，x2=60，
顾客要得到实惠，售价低，所以x=60舍去，所以x=56，
答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元；
（3）在（2）的条件下，x=56时，y=100，由题意得到方程：
1600×16=[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120，
解得：m1=20，m2=﹣（舍去），
答：m的值为20．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7
月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键．
26．（10分）（2016秋•江阴市期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．点Q与点B在AC的同侧，且AQ⊥AC．
（1）如图1，点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P．设AQ=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点Q，使△PAQ与△ABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AQ，垂足为D．将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为⊙Q．若点C到⊙Q上点的距离的最小值为8，求⊙Q的半径．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）先由平行线分线段成比例得出，代值即可得出结论；
（2）先判断出要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，进而由相似得出比例式即可得出结论；
（3）分点C在⊙O内部和外部两种情况，用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，
∴AQ∥BC，
∴，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵AQ=x，AP=y，
∴，
∴；
（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ与∠PQA都是锐角，
∴要使△PAQ与△ABC相似，只有∠QPA=90°，
即CQ⊥AB，
此时△ABC∽△QAC，
则，
∴AQ=．
故存在点Q，使△ABC∽△QAP，此时AQ=；
（3）∵点C必在⊙Q外部，
∴此时点C到⊙Q上点的距离的最小值为CQ﹣DQ．
设AQ=x．
①当点Q在线段AD上时，QD=6﹣x，QC=6﹣x+8=14﹣x，
∴x2+82=（14﹣x）2，
解得：x=，
即⊙Q的半径为．
②当点Q在线段AD延长线上时，QD=x﹣6，QC=x﹣6+8=x+2，
∴x2+82=（x+2）2，
解得：x=15，
即⊙Q的半径为9．
∴⊙Q的半径为9或．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，极值问题，勾股定理，解本题的关键是判断出CQ⊥AB，分点C在圆内和圆外两种情况．
27．（10分）（2016秋•江阴市期中）如果一个三角形的三边a，b，c能满足a2+b2=nc2（n为正整数），那么这个三角形叫做“n阶三角形”．如三边分别为1、2、的三角形满足12+22=1×（）2，所以它是1阶三角形，但同时也满足（）2+22=9×12，所以它也是9阶三角形．显然，等边三角形是2阶三角形，但2阶三角形不一定是等边三角形．
（1）在我们熟知的三角形中，何种三角形一定是3阶三角形？
（2）若三边分别是a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形是一个2阶三角形，求a：b：c．
（3）如图1，直角△ABC是2阶三角形，AC＜BC＜AB，三条中线BD、AE、CF所构成的三角形是何种三角形？四位同学作了猜想：
A同学：是2阶三角形但不是直角三角形；
B同学：是直角三角形但不是2阶三角形；
C同学：既是2阶三角形又是直角三角形；
D同学：既不是2阶三角形也不是直角三角形．
请你判断哪位同学猜想正确，并证明你的判断．
（4）如图2，矩形OACB中，O为坐标原点，A在y轴上，B在x轴上，C点坐标是（2，1），反比例函数y=（k＞0）的图象与直线AC、直线BC交于点E、D，若△ODE是5阶三角形，直接写出所有可能的k的值．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）等腰直角三角形为3阶三角形，根据题中的新定义验证即可；
（2）根据题中的新定义列出关系式，再利用勾股定理列出关系式，即可确定出a，b，c的比值；
（3）C同学猜想正确，由直角△ABC是2阶三角形，根据（2）中的结论得出AC，BC，AB之比，设出三边，表示出AE，BD，CF，利用题中的新定义判断即可；
（4）根据图形设出E与D坐标，利用勾股定理表示出OE2，OD2以及ED2，由△ODE是5阶三角形，分类讨论列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值
【解答】解：（1）等腰直角三角形一定是3阶三角形，
理由为：设等腰直角三角形两直角边为a，a，
根据勾股定理得：斜边为a，
则有a2+（a）2=3a2，即等腰直角三角形一定是3阶三角形；
（2）∵△ABC为一个2阶直角三角形，
∴c2=a2+b2，且c2+a2=2b2，
两式联立得：2a2+b2=2b2，
整理得：b=a，c=a，
则a：b：c=1：：；
（3）C同学猜想正确，
证明如下：如图，∵△ABC为2阶直角三角形，
∴AC：BC：AB=1：：，
设BC=2，AC=2，AB=2，
∵AE，BD，CF是Rt△ABC的三条中线，
∴AE2=6，BD2=9，CF2=3，
∴BD2+CF2=2AE2，AE2+CF2=BD2，
∴BD，AE，CF所构成的三角形既是直角三角形，又是2阶三角形；
（4）根据题意设E（k，1），D（2，），
则AE=k，EC=2﹣k，BD=，CD=1﹣，OA=1，OB=2，
根据勾股定理得：OE2=1+k2，OD2=4+，ED2=（2﹣k）2+（1﹣）2，
由△ODE是5阶三角形，分三种情况考虑：
当OE2+OD2=5ED2时，即1+k2+4+=5[（2﹣k）2+（1﹣）2]，
整理得：k2﹣5k+4=0，即（k﹣1）（k﹣4）=0，
解得：k=1或k=4；
当OE2+ED2=5OD2时，（2﹣k）2+（1﹣）2+1+k2=5（4+），
整理得：k2﹣5k﹣14=0，即（k﹣7）（k+2）=0，
解得：k=7或k=﹣2（舍去）；
当OD2+ED2=5OE2时，4++（2﹣k）2+（1﹣）2=5（1+k2），
整理得：7k2+10k﹣8=0，即（7k﹣4）（k+2）=0，
解得：k=或k=﹣2（舍去），
综上，满足题意k的值为1，4，7，．
【点评】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．
28．（10分）（2014•重庆校级模拟）已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点E是AB的中点，连接AC、EC．点Q从点A出发，沿折线A﹣D﹣C运动，同时点P从点A出发，沿射线AB运动，P、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF，△PQF与△AEC重叠部分的面积为S，当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动，设运动的时间为t．
（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，求运动时间t的值；当等边△PQF的边QF 恰好经过点E时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q到达C点时，将等边△PQF绕点P旋转α°（0＜α＜360），直线PF分别与直线AC、直线CD交于点M、N．是否存在这样的α，使△CMN为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据题意求出运动的距离，再除以速度即可求出时间；
（2）分当0＜t≤3时，当3＜t≤6时，当6＜t≤9时，当9＜t≤12时，四种情况，分别求出重叠部分面积即可；
（3）分交点都在BC左侧，顶角为120°，交点都在BC右侧时，顶角可能为30°和120°；交点在BC两侧时，顶角为150°进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时，
如图1
AQ=AD=6，
∴t=6÷1=6（秒）；
当等边△PQF的边QF 恰好经过点E时，
如图2
由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，P、Q的速度均为每秒1个单位长度，
知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，
∴QE∥AD，
∵点E是AB的中点，
∴此时点Q是CD的中点，
可求：AD+DQ=6+3=9，
所以t=9÷1=9（秒）；
（2）
如图3
当0＜t≤3时，
由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，
可求：∠PAG=30°，
∵∠APQ=60°，
∴∠AGP=90°，
由AP=t，可求：PG=t，AG=t，
∴S=PG×AG=；
当3＜t≤6时，
如图4
AE=3，AP=t，
∴PE=t﹣3，
过点C作AB的垂线，垂足为H，
由菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，
可求：CH=3，BH=3，EH=6，
tan∠KEB=，
过点K作KM⊥AB，
可求KM=，
∴S△PEK=，
可求∠QAG=30°，
又∠AQG=60°，AQ=t，
可求∠AGQ=90°，
DG=t，GQ=t，
∴S△AGQ=，
等边三角形APD的面积为：
∴S=﹣﹣=，
当6＜t≤9时
如图5
与前同理可求：S△FQP=，
S△GQN=，
S△KEP=，
∴S=﹣﹣=，
当9＜t≤12时，
如图6
求出：S△PQF=，
S△QGH=
S△NEP=
S△KEF=，
∴S=S△PQF﹣S△QGH﹣S△NEP+S△KEF=﹣﹣+=；
（3）
逆时针旋转：
①α=150°，如图7
此时，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°，
可证△ACD∽△APM，
∴，
易求AP=12，AC=6，AD=6，
解得：AM=，
所以，CM=；
②α=105°，如图8
此时，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，
∴AM=AP=12，
在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，
可求AC=6，
所以，CM=12=6；
③α=60°，如图9
此时，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，
∴BC∥PM，
由AB=BP=6可得，CM=AC=
所以：CM=；
④α=15°，如图10
此时，易求∠APM=∠M=15°，
∴AM=AP=12，
所以：CM=AM+AC，
CM=12+．
【点评】此题主要考察四边形动点综合问题，会分析运动情况，用定点研究动点问题，会用变量表示图形面积，会针对等腰三角形进行分类讨论是解题的关键．
微信/支付宝扫码支付