第二部分 专题三
类型1 与圆有关的角平分线问题
1．(2018·衡阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，CE＝2，求的长度．(结果保留π)
(1)证明：如答图，连接OD，
答图
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE.
∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．
(2)解：如答图，作OG⊥AE于点G，
则AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴OA＝OD＝GE＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°，
在Rt△AOG中，∵OA＝2AG，
∴∠AOG＝30°，∴∠BOD＝60°，
则的长度为＝.
2．(2018·赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O
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在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是2 cm，E是的中点，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)
(1)证明：如答图，连接OD，
答图
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．
(2)解：连接OE，OE交AD于K，
∵＝，∴OE⊥AD．
∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，
∴△AKO≌△AKE(ASA)，∴AO＝AE＝OE，
∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，
∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝－×22＝－.
3．(2018·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，BC＝，求DE的长．
(1)证明：如答图，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
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答图
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°.
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，
∴AC＝＝5，∴OD＝.
∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，
∴tan∠CEG＝tan∠ACB，
∴＝，即＝，
解得GE＝，∴DE＝DG＋GE＝.
4．(2018·莱芜)如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG＝3，求⊙O的半径．
(1)证明：连接OC，如答图，
答图
∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD．
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
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∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，
而CD⊥AB，∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：连接OE交AB于H，如答图，
∵E为的中点，∴OE⊥AB．
∵∠ABE＝∠AFE，
∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝，
∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝＝，
∴设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x.
∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，
在Rt△EHG中，x2＋(3x)2＝(3)2，解得x＝3，
∴EH＝9，BH＝12，
设⊙O的半径为r，则OH＝r－9，
在Rt△OHB中，(r－9)2＋122＝r2，解得r＝，
即⊙O的半径为.
类型2 与圆有关的双切线问题
1．(2018·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
(1)证明：如答图，设PO与DC交于点Q，
∵PC，PD与⊙O相切于C，D，
∴PC＝PD，OP平分∠CPD，
在等腰△PCD中，PC＝PD，PQ平分∠CPD，
∴PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．
(2)解：如答图，连接OC，OD，
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答图
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝50°，
∴∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝
80°.
同理：∠BOC＝40°，
∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°，
在等腰△COD中，OC＝OD，OQ⊥CD，
∴∠DOQ＝∠COD＝30°.
∵PD与⊙O相切于D，∴OD⊥DP，
∴∠ODP＝90°，
在Rt△ODP中，∠ODP＝90°，∠POD＝30°，
∴OP＝＝＝＝.
2．(2018·黔西南)如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，tan∠A＝，求AE的长．
(1)证明：连接OD，如答图，
答图
∵ED∥OB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
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∵OD＝OE，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.
在△DOB与△COB中，
∴△DOB≌△COB(SAS)，
∴∠ODB＝∠OCB．
∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°，
∴∠ODB＝90°，∴AB是⊙O的切线．
(2)解：∵∠DEO＝∠2.
∴tan∠DEO＝tan∠2＝.
∵⊙O的半径为1，∴OC＝1，∴BC＝.
∵tan∠A＝＝，∴AC＝4BC＝4，
∴AE＝AC－CE＝4－2.
3．(2018·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若∠APC＝3∠BPC，求的值．
(1)证明：如答图，连接OP，OB．
答图
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°.
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO(SSS)．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．
(2)解：设OP交AB于K.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．
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∵PA，PB都是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
∵OA＝OB，∴OP垂直平分线段AB，
∴OK∥BC．
∵AO＝OC，∴AK＝BK，
∴BC＝2OK，设OK＝a，则BC＝2a.
∵∠APC＝3∠BPC，∠APO＝∠OPB，
∴∠OPC＝∠BPC＝∠PCB，
∴BC＝PB＝PA＝2a.
∵△PAK∽△POA，∴PA2＝PK·PO，设PK＝x，
则有x2＋ax－4a2＝0，
解得x＝a(负根舍去)，
∴PK＝a.
∵PK∥BC，∴＝＝.
4．(2018·襄阳)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE.
(1)求证：DA＝DE；
(2)若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积．
(1)证明：如答图，连接OE，OC，BE.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．
∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，
∴∠OBC＝∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°.
∵OE为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．
∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE.
(2)解：如答图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
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答图
∴AD＝BF，DF＝AB＝6，
∴DC＝BC＋AD＝4.
∵FC＝＝2，
∴BC＋AD＝BF＋FC＋AD＝AD＋FC＋AD＝2AD＋2＝4，∴AD＝，
∴BC＝BF＋FC＝AD＋FC＝＋2＝3，
在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，
∴∠BOC＝60°，
在△OEC和△OBC中，
∴△OEC≌△OBC(SSS)，
∴∠BOE＝2∠BOC＝120°，
∴S阴影＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×BC·OB－＝9－3π.
5．(2018·新疆)如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．
(1)证明：如答图，连接OB．
答图
∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB，
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO(SSS)，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴PB是⊙O的切线．
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(2)解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
∵∠ACO＝90°，
∴BD∥PO，且BD＝2OC＝6，
在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝5，
在Rt△ACO和Rt△PAO中，
∴△ACO∽△PAO，
∴＝，＝，∴PO＝，PA＝，
∴PB＝PA＝，
在△EPO与△EBD中，∵BD∥PO，
∴△EPO∽△EBD，∴＝，
解得EB＝，PE＝，
∴sinE＝＝.
类型3 与圆有关的弦切角问题
1．(2018·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．
(1)证明：如答图，连接OD，
答图
11
∵OB＝OD，∴∠3＝∠B．
∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.
∵在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，
∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，∴OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
(2)解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝4，
根据勾股定理得AB＝＝4，
∴OA＝4－r.
在Rt△ACD中，∵tan∠1＝tanB＝，
∴CD＝AC·tan∠1＝2，
根据勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4－r)2＝r2＋20，解得r＝.
即⊙O的半径为.
2．(2018·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，
在Rt△ABC中，∵tan∠B＝＝，AB＝8，∴AC＝4.
在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，
∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴CE＝5.
3．(2018·齐齐哈尔)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥
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BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，
∴∠DBC＋∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线．
(2)解：如答图，连接OD，∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，
答图
∴∠CBD＝∠FBD．
∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB．
∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠OBE＝∠ABC＝×90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝BC＝2，
∴⊙O的半径为，∠BOD＝60°，
∴S阴影＝S扇形DOB－S△DOB＝π×3－×3＝－.
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