第二部分 专题四
类型1 二次函数与特殊三角形的存在性问题
1．(2018·怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
即y＝ax2－2ax－3a，
∴－2a＝2，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0,3)，
设直线AC的解析式为y＝px＋q，
把A(－1,0)，C(0,3)代入得
解得
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点D的坐标为(1,4)，
如答图1，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，则B′(－3,0)，
∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y＝x＋3，
当x＝0时，y＝x＋3＝3，
∴点M的坐标为(0,3)；
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答图1 答图2
(3)存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如答图2，
∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，
∴直线P1C的解析式可设为y＝－x＋b，
把C(0,3)代入得b＝3，
∴直线P1C的解析式为y＝－x＋3，
解方程组
解得或
则此时P点坐标为(，)；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，如答图2，直线P2A的解析式可设为y＝－x＋d，
把A(－1,0)代入得＋d＝0，解得d＝－，
∴直线P2A的解析式为y＝－x－，
解方程组
解得或
则此时P点坐标为(，－)，
综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)．
2．(2018·泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－4,0)，B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.
(1)求二次函数的表达式；
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(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点A(－4,0)，B(2,0)，C(0,6)，
∴解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2－x＋6.
(2)由A(－4,0)，E(0，－2)可得AE所在的直线解析式为y＝－x－2，
答图
过点D作DF⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如答图，
设D(m，－m2－m＋6)，则点F(m，－m－2)，
∴DF＝－m2－m＋6－(－m－2)＝－m2－m＋8，
∴S△ADE＝S△ADF＋S△EDF＝·DF·AG＋·DF·EH
＝×DF·(AG＋HE)
＝×4×DF
＝2×(－m2－m＋8)
＝－(m＋)2＋，
∴当m＝－时，S△ADE最大，最大值为.
(3)存在，P点的坐标为(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)．
【解法提示】y＝－x2－x＋6的对称轴为x＝－1，
设P(－1，n)，又E(0，－2)，A(－4,0)，
可得PA＝，PE＝，AE＝＝2，
当PA＝PE时，＝，
解得n＝1，此时P(－1,1)；
当PA＝AE时，＝2，
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解得n＝±，此时P点的坐标为(－1，±)；
当PE＝AE时，＝2，
解得n＝－2±，
此时P点的坐标为(－1，－2±)，
综上所述，P点的坐标为(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)．
3．(2018·眉山)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(0,3)，B(1,0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如答图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D(3,0)，
设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，
把A(0,3)代入，得3＝3a，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.
答图1 答图2
(2)如答图2，设P(m, m2－4m＋3)，
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E(3,3)，
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易得OE的解析式为y＝x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G(m，m)，
∴PG＝m－( m2－4m＋3)＝－ m2＋5m－3，
∴S四边形AOPE＝S△AOE＋S△POE，
＝×3×3＋PG·AE，
＝＋×3×(－m2＋5m－3)，
＝－m2＋m，
＝－(m－)2＋，
∵－0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
(1)求线段OC的长度；
(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)当y＝0时，a(x－1)(x－3)＝0，
解得x1＝1，x2＝3，即A(1,0)，B(3,0)，
∴OA＝1，OB＝3.
∵△OCA∽△OBC，∴OC∶OB＝OA∶OC，
∴OC2＝OA·OB＝3，则OC＝.
(2)∵C是BM的中点，即OC为Rt△OBM斜边BM的中线，
∴OC＝BC，∴点C的横坐标为.
又∵OC＝，点C在x轴下方，∴C(，－)．
设直线BM的解析式为y＝kx＋b，
把点B(3,0)，C(，－)代入，
得解得
∴直线BM的解析式为y＝x－.
又∵点C(，－)在抛物线上，
∴将C(，－)代入抛物线的解析式，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋2.
(3)存在．
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如答图，过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，设点P的坐标为(x，x2－x＋2)，
答图
则Q(x，x－)，
∴PQ＝x－－(x2－x＋2)＝－x2＋3x－3，
∴当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，
∴S△BCP＝PQ(3－x)＋PQ(x－)＝PQ＝－x2＋x－，
当x＝－＝时，S△BCP有最大值，则四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为(，－)．
2．(2018·盐城)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(－1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P，Q两点(点P在点Q的左侧)，连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP，DQ.
①若点P的横坐标为－，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
解：(1)将A(－1,0)，B(3,0)代入y＝ax2＋bx＋3，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
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(2)①当点P的横坐标为－时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为(－，)，点Q的坐标为(，－)．
设直线PQ的表达式为y＝mx＋n，
将P(－，)，Q(，－)代入y＝mx＋n，得
解得
∴直线PQ的表达式为y＝－x＋.
如答图，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
答图
设点D的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，
则点E的坐标为(x，－x＋)，
∴DE＝－x2＋2x＋3－(－x＋)＝－x2＋3x＋，
∴S△DPQ＝DE·(xQ－xP)＝－2x2＋6x＋＝－2(x－)2＋8.
∵－2
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