2018年安徽省十校联考中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程x2﹣8x﹣2=0，配方的结果是（ ）
A．（x+4）2=18 B．（x+4）2=14
C．（x﹣4）2=18 D．（x﹣4）2=14
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b
4．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（ ）
A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm
5．2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2=BC•CD D． =
8．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
9．如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数y=的图象经过点E，则k的值是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
10．如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（ ）
A．① B．④ C．①或③ D．②或④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）在今年的春节黄金周中，全国零售和餐饮企业实现销售额约9260亿元，同比增长10.2%，这里的数字“9260亿”用科学记数法表示为 ．
12．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH=BC，那么tan∠BAH的值是 ．
13．（5分）两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG=1，BG=3，则CH的长为 ．
14．（5分）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和点（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＞0．其中正确结论是 （填序号）
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算： +（）﹣2﹣8sin60°．
16．（8分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他骑公共自行车比自驾车平均每小时少行驶45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车所用的时间是自驾车所用的时间的4倍．小张骑公共自行车平均每小时行驶多少千米？
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE=30°，沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE=45°，求公路的宽度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）
18．（8分）观察下列等式：
①1×5+4=32；
②2×6+4=42；
③3×7+4=52；
…
（1）按照上面的规律，写出第⑥个等式： ；
（2）模仿上面的方法，写出下面等式的左边： =502；
（3）按照上面的规律，写出第n个等式，并证明其成立．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）某天，甲、乙、丙三人一起乘坐公交车，他们上车时发现公交车上还有A，B，W三个空座位，且只有A，B两个座位相邻，若三人随机选择座位，试解决以下问题：
（1）甲选择座位W的概率是 ；
（2）试用列表或画树状图的方法求甲、乙选择相邻座位A，B的概率．
20．（10分）如图，⊙O的直径AD长为6，AB是弦，CD∥AB，且CD=．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线．
六、解答题（本题满分12分）
21．（12分）已知，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是A（0，3）、B（3，4）、C（2，2），正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度．
（1）画出△ABC向左平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；（画出图形）
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
七、解答题（本题满分12分）
22．（12分）我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①
所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）
（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）
（2）求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
八、解答题（本题满分14分）
23．（14分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由．
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看上下各一个小正方形，
故选：B．
2．【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可
【解答】解：x2﹣8x=2，
x2﹣8x+16=18，
（x﹣4）2=18．
故选：C．
3．【分析】利用数轴上a，b所在的位置，进而得出a以及﹣b的取值范围，进而比较得出答案．
【解答】解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；
D、由选项C可得，此选项正确．
故选：D．
4．【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，
∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴==，
∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．
故选：B．
5．【分析】利用中位数及众数的定义确定答案即可．
【解答】解：∵数据31出现了3次，最多，
∴众数为31，
∵排序后位于中间位置的数是31，
∴中位数是31，
故选：C．
6．【分析】根据特殊角的三角函数值得到A=30°，则求得B=60°，然后求sinB的值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴A=30°，
∴B=60°，
∴sinB=．
故选：A．
7．【分析】已知∠ADC=∠
BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②=；
故选：C．
8．【分析】首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．
【解答】解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为6，
∴AB=OA=OB=6，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=AB=3，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，
∴GE+FH的最大值为：12﹣3=9．
故选：B．
9．【分析】作EH⊥x轴于H，求出AB的长，根据△AOB∽△BCG，求出DG的长，再根据△AOB∽△EHA，求出AE的长，得到答案．
【解答】解：作EH⊥x轴于H，
∵OA=1，OB=2，
由勾股定理得，AB=，
∵AB∥CD，∴△AOB∽△BCG，
∴CG=2BC=2，
∴DG=3，AE=4，
∵∠AOB=∠BAD=∠EHA=90°，
∴△AOB∽△EHA，
∴AH=2EH，又AE=4，
∴EH=4，AH=8，
点E的坐标为（9，4），
k=36，
故选：D．
10．【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．
【解答】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，
故答案为①③，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9260亿用科学记数法表示为9.26×1011，
故答案为：9.26×1011．
12．【分析】设AH=BC=2x，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=BC=x，然后得出tan∠BAH的值．
【解答】解：设AH=BC=2x，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=BC=x，
∴tan∠BAH=，
故答案为：
13．【分析】依据∠B=∠C=45°，∠DFE=45°，即可得出∠BGF=∠CFH，进而得到△BFG∽△CHF，依据相似三角形的性质，即可得到=，即=，即可得到CH=．
【解答】解：∵AG=1，BG=3，
∴AB=4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=4，∠B=∠C=45°，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF=2，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFE=45°，
∴∠CFH=180°﹣∠BFG﹣45°=135°﹣∠BFG，
又∵△BFG中，∠BGF=180°﹣∠B﹣∠BFG=135°﹣∠BFG，
∴∠BGF=∠CFH，
∴△BFG∽△CHF，
∴=，即=，
∴CH=，
故答案为：．
14．【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误，
观察图象可知：当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故②正确，
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确，
∵当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点，
∴方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，故④正确，
∵对称轴x=﹣1=﹣，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤错误，
故答案为：②③④
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【分析】原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式=2+4﹣8×=4﹣2．
16．【分析】
设小张骑公共自行车上班平均每小时行驶x千米，根据骑公共自行车所用的时间是自驾车所用的时间的4倍列出方程，求解即可．
【解答】解：设小张骑公共自行车上班平均每小时行驶x千米，则骑自驾车平均每小时行驶（x+45）千米．
根据题意列方程得： =4×，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合实际意义．
答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】作CD⊥AE，设CD=x米，由∠CBD=45°知BD=CD=x，根据tan∠CAD=可得=，解之即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AE于点D，
设公路的宽CD=x米，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵∠CAE=30°，
∴tan∠CAD==，即=，
解得：x=≈20.5（米），
答：公路的宽为20.5米．
18．【分析】（1）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；
（2）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；
（3）根据题目中的式子的变化规律可以写出第n个等式，并加以证明．
【解答】解：（1）由题目中的式子可得，
第⑥个等式：6×10+4=82，
故答案为：6×10+4=82；
（2）由题意可得，
48×52+4=502，
故答案为：48×52+4；
（3）第n个等式是：n×（n+4）+4=（n+2）2，
证明：∵n×（n+4）+4
=n2+4n+4
=（n+2）2，
∴n×（n+4）+4=（n+2）2成立．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【分析】（1）根据概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合要求的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）由于共有A、B、W三个座位，
∴甲选择座位W的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能结果，其中甲、乙选择相邻的座位有两种，
所以P（甲乙相邻）==．
20．【分析】（1）连接BD，由AD为圆的直径，得到∠ABD为直角，再利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，根据CD与AB平行，得到一对内错角相等，确定出∠CDB为直角，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出tanC的值，即可确定出∠C的度数；
（2）连接OB，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD与AB平行，得到一对同旁内角互补，求出∠ABC度数，由∠ABC﹣∠ABO度数确定出∠OBC度数为90，即可得证；
【解答】（1）解：如图，连接BD，
∵AD为圆O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴BD=AD=3，
∵CD∥AB，∠ABD=90°，
∴∠CDB=∠ABD=90°，
在Rt△CDB中，tanC=，
∴∠C=60°；
（2）连接OB，
∵BD=3，AD=6，
∴∠A=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=30°，
∵CD∥AB，∠C=60°，
∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC为圆O的切线．
六、解答题（本题满分12分）
21．【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）△A2B2C2的面积×（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4=10，
故答案为：10；
七、解答题（本题满分12分）
22．【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；
（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．
【解答】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），
设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），
将点（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=，
故y与x之间的关系式为y=x2．
图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），
设z=kx+b，则，
解得：，
故z与x之间的关系式为z=﹣x+30（0≤x≤100）；
（2）W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2
=﹣x2+30x[
=﹣（x2﹣150x）
=﹣（x﹣75）2+1125，
∵﹣＜0，
∴当x=75时，W有最大值1125，
∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；
（3）令y=360，得x2=360，
解得：x=±60（负值舍去），
由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，
由W=﹣（x﹣75）2+1125的性质可知，
当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，
故当x=60时，W有最大值1080，
答：今年最多可获得毛利润1080万元．
八、解答题（本题满分14分）
23．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；
（3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AC2=AB•AD，
∴=，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由如下：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点E为AB的中点，
∴CE=AE=AB，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）由（2）得，CE=AB=3，
∵CE∥AD，
∴==，
∴=．
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