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2016-2017学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i
2．函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是（ ）
A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．y=﹣x﹣1 D．y=﹣x+1
3．已知sin（）=﹣，，则tanα=（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m⊥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
5．函数y=sinx（cosx﹣sinx），x∈R的值域是（ ）
A．[﹣，] B．[] C．[﹣] D．[]
6．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
8．在（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8的展开式中，含x3的项的系数是（ ）
A．121 B．﹣74 C．74 D．﹣121
9．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
10．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=则函数y=f（x）+的所有零点之和是（ ）
A．1﹣ B．﹣1 C．5﹣ D．﹣5
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
11．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B= ，∁UA= ．
12．设等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，若a1=1，a5=9，则公差d= ，Sn= ．
13．若实数x，y满足，则2x+y的最大值是 ．
14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 （单位：cm3），表面积是 （单位：cm2）
15．A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有 种．（用数学作答）
16．已知△ABC的面积是4，∠BAC=120°，点P满足=3，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则•= ．
17．甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E（X）= ，方差D（X）= ．
三、解答题（共5小题，满分75分）
18．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知sinAsinC=，b2=ac．
（1）求角B的值；
（2）若b=，求△ABC的周长．
19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心．
（1）求证：AA1⊥BC；
（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小．
20．已知a≥2，函数F（x）=min{x3﹣x，a（x+1）}，其中min{p，q}=．
（1）若a=2，求F（x）的单调递减区间；
（2）求函数F（x）在[﹣1，1]上的最大值．
21．已知椭圆C：和圆O：x2+y2=1，过点A（m，0）（m＞1）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1于圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M，N．
（1）若m=，求直线l1的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OMN面积的最大值．
22．已知数列{an}满足a1=，an+1=，n∈N*．
（1）求a2；
（2）求{}的通项公式；
（3）设{an}的前n项和为Sn，求证：（1﹣（）n）≤Sn＜．
2016-2017学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．设i是虚数单位，复数1﹣2i的虚部是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i
【考点】复数的基本概念．
【分析】根据复数虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数1﹣2i的虚部是﹣2．
故选；A．
2．函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是（ ）
A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．y=﹣x﹣1 D．y=﹣x+1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求导函数，进而可以求切线斜率，从而可求切线方程．
【解答】解：由题意，y′=ex，
当x=0时，y′=1，
∴函数y=ex（e是自然对数的底数）在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=x﹣0
即y=x+1，
故选B．
3．已知sin（）=﹣，，则tanα=（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．
【解答】解：∵sin（）=﹣，sin（）=cosα，
∴cosα=﹣，
又，
∴sinα==，
∴tanα==﹣．
故选：C．
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m⊥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间中线面、面面平行和垂直的性质与判断定理，对选项中的问题进行分析、判断正误即可．
【解答】解：对于A，m∥α，m∥β时，α∥β或α与β相交，故A错误；
对于B，m⊥α，m∥β时，α⊥β，故B错误；
对于C，m⊥α，n∥α时，m⊥n，故C错误；
对于D，m⊥α，n⊥α时，m∥n，D正确．
故选：D．
5．函数y=sinx（cosx﹣sinx），x∈R的值域是（ ）
A．[﹣，] B．[] C．[﹣] D．[]
【考点】三角函数的最值．
【分析】利用二倍角公式将函数化简成同名同角函数，利用三角函数的有界限求解值域即可．
【解答】解：函数y=sinx（cosx﹣sinx）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x+）．
∵﹣1≤sin（2x+）≤1
∴≤y≤．
故选D．
6．已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：在等比数列﹣1，2，﹣4，8…中，满足a2＜a4，但“{an}是单调递增数列不成立，即充分性不成立，
若{an}是单调递增数列，则必有a2＜a4，即必要性成立，
则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的必要不充分条件，
故选：B．
7．已知双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）有公共焦点F且交于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．
【分析】根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得 =c，经过利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）和双曲线有共同的焦点，
∴=c，
∵直线AB过两曲线的公共焦点F，
∴（，p），即（c，2c）为双曲线上的一个点，
∴﹣=1，
∴（c2﹣a2）c2﹣4a2c2=a2（c2﹣a2），
∴e4﹣6e2+1=0，
∴e2=3±2，
∵e＞1，
∴e=1+，
故选：B．
8．在（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8的展开式中，含x3的项的系数是（ ）
A．121 B．﹣74 C．74 D．﹣121
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用等比数列的前n项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含x4的项的系数，即是代数式的含x3的项的系数．
【解答】解：（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8
=
=，
（1﹣x）5中x4的系数为，﹣（1﹣x）9中x4的系数为﹣C94=﹣126，
﹣126+5=﹣121．
故选：D
9．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】基本不等式．
【分析】实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，kd 0≤a2+2b2≤1，令a=rcosθ，b=，θ∈[0，2π），0≤r≤1．h代入化简即可得出．
【解答】解：实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，∴0≤a2+2b2≤1，
令a=rcosθ，b=，θ∈[0，2π），0≤r≤1．
则a+2b=rcosθ+rsinθ==sin（θ+φ）≤，
∴其最大值是，
故选：A．
10．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=则函数y=f（x）+的所有零点之和是（ ）
A．1﹣ B．﹣1 C．5﹣ D．﹣5
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据分段函数和奇函数的性质分别求出每段上的零点，再求其和即可．
【解答】解：当x≥1时，
则1﹣|x﹣3|+=0，解得x=，或x=，
当0≤x＜1时，则log（x+1）+=0，解得x=﹣1，
∵f（x）为奇函数，
∴当﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣log（﹣x+1），则﹣log（﹣x+1）+=0，解得x=1﹣（舍去），
当x≤﹣1时，f（x）=﹣1+|x+3|，则﹣1+|x+3|+=0，解得x=﹣或x=﹣，
故所有的零点之和为++﹣1﹣﹣=﹣1，
故选：B
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
11．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B= {2，3} ，∁UA= {4，5，6，7} ．
【考点】补集及其运算．
【分析】根据交集与补集的定义，写出A∩B和∁UA即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，
集合A={1，2，3}，
B={2，3，4}，
所以A∩B={2，3}；
∁UA={4，5，6，7}．
故答案为：{2，3}，{4，5，6，7}．
12．设等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，若a1=1，a5=9，则公差d= 2 ，Sn= n2 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出公差，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差是d，前n项和是Sn，a1=1，a5=9，
∴a5=a1+4d=1+4d=9，
解得公差d=2．
∴=n+=n2．
故答案为：2，n2．
13．若实数x，y满足，则2x+y的最大值是 14 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x+y，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得A（4，6），
此时zmax=2×4+6=14．
故答案为：14．
14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 （单位：cm3），表面积是 8++ （单位：cm2）
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式和表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其直观图如下图所示：
底面ABCD的面积为：2×2=4cm2，
高VO=cm，
故该几何体的体积V=cm3，
侧面VAD的面积为：×2×=cm2，
VA=VD=2cm，
OB=OC=cm，VB=VC=2cm，
侧面VAB和侧面BCD的面积为：×2×2=2cm2，
侧面VBC底面上的高为cm，
故侧面VBC的面积为：×2×=cm2，
故几何体的表面积S=4++2×2+=8++cm2，
故答案为：，8++
15．A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有 60 种．（用数学作答）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42﹣A22种坐法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：先排C，D，E学生，有A33种坐法，
A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，有A42﹣A22种坐法，
则共有A33（A42﹣A22）=60种坐法．
故答案为60．
16．已知△ABC的面积是4，∠BAC=120°，点P满足=3，过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N．则•= ．
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】不妨令△ABC为等腰三角形，根据三角形的面积公式求出b2=c2=，再由余弦定理求出a2=16，再根据投影的定义可的，||=，||=，
最后根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：不妨令△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=120°，
∴B=C=30°，
∴b=c，
∴S△ABC=bcsinA=4，
∴b2=c2=，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA==16，
∵=3，
∴||=||=，||=||=，
∵过点P作边AB，AC所在直线的垂线，垂足分别是M，N，
∴||=||•sinB=，||=||sinC=，
∵∠MPN=180°﹣A=60°，
∴•=||•||cos6°=••==，
故答案为：
17．甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E（X）= ，方差D（X）= ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X
的分布列，进而能求出X的数学期望和方差．
【解答】解：甲，乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位），
记分配到A岗位的人数为随机变量X，
则X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
E（X）==，
D（X）=（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=．
故答案为：，．
三、解答题（共5小题，满分75分）
18．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c．已知sinAsinC=，b2=ac．
（1）求角B的值；
（2）若b=，求△ABC的周长．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由b2=ac，利用正弦定理，结合sinAsinC=，求出sinB，即可求角B的大小．
（2）由已知利用余弦定理可求a+c的值，进而可求周长的值．
【解答】（本题满分为10分）
解：（1）因为b2=ac，
所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC．
因为sinAsinC=，
所以sin2B=．
因为sinB＞0，
所以sinB=．
因为0＜B＜，
所以B=． …
（2）因为：B=，b=，b2=ac
所以：由余弦定理可得：3=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣9，
解得：a+c=2，
所以：△ABC的周长为：a+b+c=2+=3…
19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，且A1A=AB，顶点A1在底面ABC上的射影是△ABC的中心．
（1）求证：AA1⊥BC；
（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）由A1O⊥底面ABC，得A1O⊥BC，再由O是△ABC的中心，连接AO交BC于D，则AD⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面A1AD，进一步得到AA1⊥BC；
（2）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，由（1）知，BC⊥平面ADD1A1
，由线面垂直的判定和性质可得直线A1B与平面BCC1B1所成角．求解直角三角形得答案．
【解答】（1）证明：如图，
∵A1O⊥底面ABC，∴A1O⊥BC，
∵△ABC为正三角形，O为底面三角形的中心，
连接AO交BC于D，则AD⊥BC，
又AD∩A1D=O，∴BC⊥平面A1AD，
则AA1⊥BC；
（2）解：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，
由（1）知，BC⊥平面ADD1A1，
∴平面ADD1A1⊥平面BB1C1C，且平面ADD1A1∩平面BB1C1C=DD1，
过A1作A1H⊥DD1，垂足为H，连接BH，
则∠A1BH为直线A1B与平面BCC1B1所成角．
设A1A=AB=2a，可得，
由AD•A1O=AA1•A1H，得=．
在Rt△A1HB中，sin．
∴直线A1B与平面BCC1B1所成角为45°．
20．已知a≥2，函数F（x）=min{x3﹣x，a（x+1）}，其中min{p，q}=．
（1）若a=2，求F（x）的单调递减区间；
（2）求函数F（x）在[﹣1，1]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）令f（x）=x3﹣x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），画出函数f（x），g（x）的图象，结合图象求出F（x）的递减区间即可；
（2）根据a的范围，在[﹣1，1]上，F（x）=f（x）=x3﹣x，求出F（x）的最大值即可．
【解答】解：（1）令f（x）=x3﹣x，g（x）=a（x+1）=2（x+1），
令f（x）=g（x），解得：x=﹣1或x=2，
画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：
，
显然x≤1时，f（x）≤g（x），x＞1时，f（x）＞g（x），
故F（x）=，
故F（x）在在（﹣，）递减；
（2）由（1）得：a≥2时，F（x）=，
而＞2，
故在[﹣1，1]上，F（x）=f（x）=x3﹣x，
而f（x）在[﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，1]递增，
故F（x）的最大值是F（1）=0．
21．已知椭圆C：和圆O：x2+y2=1，过点A（m，0）（m＞1）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1于圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M，N．
（1）若m=，求直线l1的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OMN面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意设出直线l1的方程，由直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式列出方程，可得直线l1的方程；
（2）由条件对m分类讨论，设直线l2、直线l1的方程，分别列出方程求出m和k关系，联立椭圆方程化简后，利用△＞0列出方程化简后，求出m的取值范围；
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件对m分类讨论，先求出斜率不存在时△OMN面积，利用韦达定理和弦长公式表示出△OMN面积，化简后利用换元法求出面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，
则直线l1的方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，
∴圆O：x2+y2=1的圆心O（0，0）到直线l1的距离
d=，化简得k=1或k=﹣1，
∴直线l1的方程是或；
（2）①当1＜m 时，满足条件；
②当m≥时，直线l2的斜率存在，设为k，
则直线l2的方程为y=k（x﹣m），即kx﹣y﹣km=0，
∵l1⊥l2，∴直线l1的方程为y=（x﹣m）（k≠0），即x+ky﹣m=0，
∵l1于圆O相切于点P，∴，化简得m2=1+k2，
由得，（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2=0，
∴△=（﹣4mk2）2﹣4（2k2+1）（2m2k2﹣2）＞0，
化简得，1+k2（2﹣m2）＞0，
由m2=1+k2得，k2=m2﹣1，代入上式化简得，
m4﹣3m2+1＜0，解得，
又m≥，则，得，
综上得，m的取值范围是；
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），
①当1＜m 时，若直线l2的斜率不存在，
则直线l2的方程x=m，不妨设M（m，），N（m，），
∴|MN|=，则△OMN面积S==，
由得1＜m2＜2，
当m2=1 时，△OMN面积S取到最大值；
②当m≥时，直线l2的斜率存在，设为k，
则直线l2的方程为y=k（x﹣m），即kx﹣y﹣km=0，
∵l1⊥l2，∴直线l1的方程为y=（x﹣m）（k≠0），即x+ky﹣m=0，
∵l1于圆O相切于点P，∴，化简得m2=1+k2，
由得，（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2=0，
则x1+x2=，x1x2=，1+k2（2﹣m2）
|MN|=
==，
又原点O（0，0）到直线l2的距离d=，
∴△OMN面积S=
==，
设t=，则S=，
由以及m2=1+k2得，0＜t＜1，
所以当t=时，△OMN面积的最大值是，
综上得，△OMN面积的最大值是．
22．已知数列{an}满足a1=，an+1=，n∈N*．
（1）求a2；
（2）求{}的通项公式；
（3）设{an}的前n项和为Sn，求证：（1﹣（）n）≤Sn＜．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）由a1=，a，n∈N+．取n=1，代入即可得出．
（2）a1=，a，n∈N+．两边取倒数可得=﹣，化为：
﹣1=，利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）一方面：由（2）可得：an=≥=．再利用等比数列的求和公式即可证明：不等式左边成立．另一方面：an==，可得Sn≤+++…+，利用等比数列的求和公式即可证明不等式右边成立．
【解答】（1）解：∵a1=，a，n∈N+．∴a2==．
（2）解：∵a1=，a，n∈N+．∴=﹣，
化为：﹣1=，
∴数列是等比数列，首项与公比都为．
∴﹣1=，
解得=1+．
（3）证明：一方面：由（2）可得：an=≥=．
∴Sn≥+…+==，因此不等式左边成立．
另一方面：an==，
∴Sn≤+++…+=×＜×3＜（n≥3）．
又n=1，2时也成立，因此不等式右边成立．
综上可得：（1﹣（）n）≤Sn＜．
2017年1月25日
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