九年级数学下册第6章图形的相似6.4探索三角形相似的条件6.4.3利用两边及夹角证相似同步练习1（新版）苏科版.doc

‎ ‎ ‎ [6.4　第3课时　利用两边及夹角证相似]‎ 一、选择题 ‎1．如图K－17－1，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(　　)‎ 图K－17－1‎ A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.＝ ‎2．如图K－17－2，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，需添加一个条件，下列添加条件中不正确的是(　　)‎ 图K－17－2‎ A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.＝ D.＝ ‎3．2017·枣庄如图K－17－3，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图K－17－4中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是 (　　)‎ 9‎ ‎ ‎ 图K－17－3‎ 图K－17－4‎ ‎4．如图K－17－5所示，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是(　　)‎ 图K－17－5‎ A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA 二、填空题 ‎5．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′的长度为________时，△ABC∽△A′B′C′.‎ ‎6．2017·随州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 三、解答题 ‎7．2017·南京期末如图K－17－6，已知AD·AC＝AB·AE.‎ 求证：△ADE∽△ABC. 图K－17－6‎ 9‎ ‎ ‎ ‎8．如图K－17－7，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝EB.‎ 求证：△AED∽△CBD. 图K－17－7‎ 9‎ ‎ ‎ ‎9.如图K－17－8所示，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，点E在AD上，且DE＝3AE.‎ 试说明：△ABC∽△EAB.‎ 图K－17－8‎ ‎10．如图K－17－9，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE.‎ 求证：△ABC∽△CED. 图K－17－9‎ ‎11．2016·福州如图K－17－10，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.‎ ‎(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；‎ ‎(2)求∠ABD的度数．‎ 图K－17－10‎ 9‎ ‎ ‎ ‎12．如图K－17－11，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？‎ 图K－17－11‎ 类比思想如图K－17－12①，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE.‎ ‎(1)求证：AE∥BC；‎ ‎(2)如图②，将(1)中的等边三角形ABC换成等腰三角形ABC，等边三角形EDC换成等腰三角形EDC，且△EDC∽△ABC，则是否仍有AE∥BC？请说明理由．‎ 图K－17－12‎ 9‎ ‎ ‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] D　在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当＝时，才能使△ADB∽△ABC，不是当＝时．故选D.‎ ‎2．[解析] D　选项A，当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项正确；‎ 选项B，当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项正确；‎ 选项C，当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项正确；‎ 选项D，无法得到△ABP∽△ACB，故此选项不正确．‎ ‎3．[解析] C　A项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似；C项，两个三角形的两组边成比例，但其夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似；D项，两个三角形的对应边成比例且夹角相等，故两个三角形相似．故选C.‎ ‎4．[解析] C　若选择两个直角三角形，另两个锐角中没有对应的两个角相等，选项A，B不可能．选项C，D中，都有△ABC，考虑公共角∠ABC的两边是否对应成比例，故选C.‎ ‎5．[答案] 3‎ ‎[解析] 要使△ABC∽△A′B′C′，必有AB∶A′B′＝BC∶B′C′，所以A′B′＝3.‎ ‎6．[答案] 或　‎ ‎[解析] ∵∠A＝∠A，分两种情况：(1)如图①，当＝时，△ADE∽△ABC，即＝，‎ 解得AE＝；(2)如图②，当＝时，△ADE∽△ACB，即＝，解得AE＝.综上所述，当AE的长为或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．‎ ‎7．证明：∵AD·AC＝AE·AB，‎ ‎∴＝.‎ 在△ABC与△ADE中，‎ ‎∵＝，∠A＝∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC.‎ ‎8．证明：∵△ABC为正三角形，‎ ‎∴∠A＝∠C＝60°，BC＝AB.‎ ‎∵AE＝BE，∴CB＝2AE.‎ 9‎ ‎ ‎ ‎∵＝，∴CD＝2AD，‎ ‎∴＝＝，‎ 而∠A＝∠C，‎ ‎∴△AED∽△CBD.‎ ‎9．[解析] 这两个三角形有一组相等的直角，可寻找夹角的两边成比例．‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC.‎ ‎∵AB∶BC＝1∶2，DE＝3AE，‎ ‎∴AE＝AB，‎ 即AE∶AB＝1∶2，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠ABC＝∠EAB，∴△ABC∽△EAB.‎ ‎10．[解析] 先利用勾股定理计算出AC＝2 ，则CE＝2 ，所以＝，再证明∠BAC＝∠DCE.然后根据相似三角形的判定方法可得△ABC∽△CED.‎ 证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，‎ ‎∴AC＝＝2 .‎ ‎∵CE＝AC，‎ ‎∴CE＝2 .‎ ‎∵CD＝5，＝＝，＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，‎ ‎∴∠BAC＋∠BCA＝90°，∠BCA＋∠ECD＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝∠ECD，‎ ‎∴△ABC∽△CED.‎ ‎11．解：(1)∵AD＝BC＝，‎ ‎∴AD2＝＝.‎ ‎∵AC＝1，∴CD＝1－＝，‎ ‎∴AC·CD＝，‎ ‎∴AD2＝AC·CD.‎ ‎(2)∵AD2＝AC·CD，AD＝BC，‎ ‎∴BC2＝AC·CD，‎ 即＝.‎ 9‎ ‎ ‎ 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴＝.‎ 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD，‎ ‎∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.‎ 设∠A＝∠ABD＝x，‎ 则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，‎ ‎∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，‎ 解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.‎ ‎12．[解析] 本题要分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA两种情况进行求解，可根据相似得出比例式求出t的值．‎ 解：①当运动t秒时，BQ＝t，OQ＝6－t，OP＝t.‎ 若△POQ∽△AOB，则＝，‎ 即＝，‎ 整理，得12－2t＝t，‎ 解得t＝4.‎ ‎②若△POQ∽△BOA，则＝，‎ 即＝.‎ 整理，得6－t＝2t，解得t＝2.‎ ‎∵0＜t＜6，‎ ‎∴t＝4和t＝2均符合题意．‎ 综上可知，当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．‎ ‎[素养提升]‎ 解：(1)证明：∵△ABC和△EDC均为等边三角形，‎ ‎∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠B＝60°，∠DCE＝60°，‎ ‎∴∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA，‎ 即∠BCD＝∠ACE.‎ 在△BCD和△ACE中，∵ ‎∴△BCD≌△ACE，‎ ‎∴∠B＝∠CAE＝60°，‎ ‎∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC.‎ ‎(2)仍有AE∥BC.理由：‎ 由等腰三角形EDC∽等腰三角形ABC，得＝，∠DCE＝∠BCA，∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA，‎ ‎∴∠ECA＝∠DCB，‎ ‎∴△ECA∽△DCB，‎ 9‎ ‎ ‎ ‎∴∠EAC＝∠B＝∠ACB，‎ ‎∴AE∥BC.‎ 9‎