2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科） Word版含解析.doc

‎2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（∁RB）等于（　　）‎ A．（﹣2，4） B．[4，5） C．（﹣3，﹣2） D．（2，4）‎ ‎2．已知是z的共轭复数，若（其中i为虚数单位），则z的值为（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i ‎3．函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎7．已知，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．18π D．22π+4‎ ‎10．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣3，1） B． C．（﹣3，1）∪ D．‎ ‎11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为　　．‎ ‎14．已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若，则实数m的值为　　．‎ ‎15．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于　　．‎ ‎16．已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}满足an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列{bn}的前2n项的和T2n．‎ ‎18．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上．‎ ‎（1）当BD=AD时，求的值；‎ ‎（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4‎ ‎（1）求证：直线PA∥平面QMB；‎ ‎（2）若二面角P﹣AD﹣C为60°，求直线PB与平面QMB所成角的余弦值．‎ ‎20．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2‎ ‎（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）‎ ‎（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．‎ ‎①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；‎ ‎②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．‎ 附：≈19，≈18，若Z=～N（μ，2），则P（μ﹣σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立；‎ ‎（2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使=k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1参数方程与极坐标]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，‎ ‎（1）证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（∁RB）等于（　　）‎ A．（﹣2，4） B．[4，5） C．（﹣3，﹣2） D．（2，4）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义写出A∩∁RB即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}={x|﹣2＜x＜5}，‎ 集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，‎ 则∁RB={x|x≤﹣3或x≥4}，‎ 所以A∩（∁RB）={x|4≤x＜5}=[4，5）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知是z的共轭复数，若（其中i为虚数单位），则z的值为（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】设z=a+bi（a，b∈R），结合已知列关于a，b的方程组求解．‎ ‎【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，‎ 由，得 ‎，解得a=1，b=1．‎ ‎∴z=1+i．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=2x﹣sinx的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先求导，得到f（x）在R上为增函数，即可判断．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=2x﹣sinx，‎ ‎∴f′（x）=2﹣cosx＞0恒成立，‎ ‎∴f（x）在R上为增函数，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=3sin（2x﹣），由2x﹣=kπ，k∈z，可得对称中心的横坐标，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：将函数的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，‎ 可得函数y=3in[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，‎ 由2x﹣=kπ，k∈z，‎ 可得：x=+，故所得函数图象的对称中心为（+，0），k∈z．‎ 令k=1可得一个对称中心为（，0）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由a=16，b=24，不满足a＞b，‎ 则b变为24﹣16=8，‎ 由b＜a，则a变为16﹣8=8，‎ 由a=b=8，‎ 则输出的a=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．‎ ‎【解答】解：A、B、D的反例如图．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】由求出cos（2α+）的值，再根据诱导公式即可求出的值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）‎ ‎=1﹣2×‎ ‎=；‎ ‎∴=cos（2α+﹣π）‎ ‎=﹣cos（2α+）‎ ‎=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．‎ ‎【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，‎ 由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，‎ 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：‎ S（A）==（﹣）=．‎ 所以P（A）=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．18π D．22π+4‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：已知中的三视图，可得：该几何体是一个圆柱切去两个弓形柱所得的几何体，‎ 圆柱的底面半径为2，高为6，‎ 故体积为：6×π•22=24π，‎ 弓形弦到圆心的距离为2﹣1=1，‎ 故弓形弦所对的圆心角为：，‎ 故弓形的面积为：，‎ 弓形柱的高为2，‎ 故两个弓形柱的体积为：4×（），‎ 故组合体的体积为：24π﹣4×（）=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知函数，则满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2）的m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣3，1） B． C．（﹣3，1）∪ D．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，满足不等式f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），化为关于m的不等式组，解得即可．‎ ‎【解答】解：当x≤1时，f（x）=2x+1为增函数，则f（x）＞1，‎ 当x＞1时，f（x）=1﹣log2x为减函数，则f（x）＜1，‎ ‎∵f（1﹣m2）＞f（2m﹣2），‎ ‎∴或或，‎ 解得﹣3＜m＜1或x＞，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球心O到平面ABC的距离．‎ ‎【解答】解：由题意，V==，‎ 当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，‎ 如图所示，将P﹣ABC视为正四棱柱的一部分，‎ 则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=，‎ 因为AB=AC=，BC=2，‎ 所以cos∠ACB==，sin∠ACB=，‎ ‎△ABC外接圆的半径为r=，‎ 设球心到平面ABC的距离为d，‎ 所以d==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），‎ 即f（x）=﹣f（x+2），‎ 则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，‎ ‎∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，‎ 则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，‎ 若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，‎ 此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，‎ 若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，‎ 则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]，‎ 若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，‎ 则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]，‎ 作出函数f（x）的图象如图：‎ 由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，‎ 由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，‎ 由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，‎ 当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=，‎ 由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，‎ 由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点，‎ 则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣，‎ 即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，‎ 即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，‎ 令k=n﹣1，‎ 则4k+＜b＜4k+，‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为　2　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：Tr+1==ar，‎ 令3﹣=0，解得r=2．‎ ‎∴=60，a＞0，解得a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知点A（2，m），B（1，2），C（3，1），若，则实数m的值为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列出方程求解即可，因为是无理方程需要验根．‎ ‎【解答】解：点A（2，m），B（1，2），C（3，1），‎ ‎∴=（﹣1，2﹣m），‎ ‎=（1，1﹣m），‎ ‎=（﹣2，1），‎ 又，‎ ‎∴﹣1×（﹣2）+（2﹣m）×1=，‎ 两边平方得（4﹣m）2=2﹣2m+m2，‎ 解得m=，‎ 经检验m=是原方程的解；‎ ‎∴实数m的值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．‎ ‎【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则 ‎∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH ‎∴∠OEH为异面直线所成的角．‎ 在△OEH中，OE=，HE=，OH=．‎ 由余弦定理，可得cos∠OEH===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．已知约束条件，表示的可行域为D，其中a＞1，点（x0，y0）∈D，点（m，n）∈D若3x0﹣y0与的最小值相等，则实数a等于　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 设z1==，‎ 将z1的值转化可行域内的Q点与点P（0，﹣1）连线的斜率的值，‎ 当Q点在可行域内的B（a，3﹣a）时，斜率最小，最小值为=，‎ 设z2=3x﹣y，‎ 当z2=3x﹣y过点A（1，2）时3x0﹣y0的值最小，最小值为3×1﹣2=1，‎ ‎∵3x0﹣y0与的最小值相等，‎ ‎∴=1，‎ 解得a=2，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}满足an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求出{an}的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列{bn}的前2n项的和T2n．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1，取倒数可得﹣=2，即可得出．‎ ‎（2）=（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵an+1=an﹣2an+1an，an≠0且a1=1，∴﹣=2，‎ ‎∴数列是等差数列，首项为1，等差数列为2．‎ ‎∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，解得an=．‎ ‎（2）解： =（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1，‎ ‎∴T2n=﹣+…+﹣‎ ‎==．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上．‎ ‎（1）当BD=AD时，求的值；‎ ‎（2）若AD是∠A的平分线，，求△ADC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用正弦定理可求=2，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得sin∠ADC=2sinBcosB，在△ADC中，利用正弦定理可求的值；‎ ‎（2）设AC=x，则AB=2x，由余弦定理可得x的值，进而可求DC，又由（1）可求sinC的值，利用三角形面积公式即可求值得解．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）∵cosB=，可得：sinB==，‎ ‎∵，AB=2AC，‎ ‎∴=2，…3分 ‎∵BD=AD，可得∠ADC=2∠B，‎ ‎∴sin∠ADC=sin2B=2sinBcosB，‎ ‎∴在△ADC中， ===…6分 ‎（2）设AC=x，则AB=2x，‎ 在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=，解得：x=1，或x=，‎ 因为：BD=2DC，所以：DC=…10分 又由（1）知sinC=2sinB=，‎ ‎①当x=1时，S△ADC===；‎ ‎②当x=时，S△ADC==．‎ 综上，△ADC的面积为或…12分 ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=PC，BC=AD=2，CD=4‎ ‎（1）求证：直线PA∥平面QMB；‎ ‎（2）若二面角P﹣AD﹣C为60°，求直线PB与平面QMB所成角的余弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接BQ，连接AC交BQ于点O，连接OM．由已知可得四边形BCDQ是矩形．由BQ∥CD，又Q是AD的中点，可得点O是AC的中点．又M是棱PC的中点，可得OM∥PA，即可证明直线PA∥平面QMB．‎ ‎（2）Q为AD的中点，PA=PD，PQ⊥AD，又BQ⊥AD，∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．由PA=PD=PC，可得点P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．O为△ADC的外心，可得PO⊥平面ABCD．过点O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设平面QMB的法向量为=（x，y，z），，可得，直线PB与平面QMB所成角的正弦值=．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BQ，连接AC交BQ于点O，连接OM．‎ ‎∵Q为AD的中点，BC=AD=2，‎ ‎∴BC=DQ，又BC∥DQ，∠ADC=90°，‎ ‎∴四边形BCDQ是矩形．‎ ‎∴BQ∥CD，又Q是AD的中点，∴点O是AC的中点．‎ 又M是棱PC的中点，∴OM∥PA．‎ 又AP⊄平面QMB，OM⊂平面QMB，‎ ‎∴直线PA∥平面QMB．‎ ‎（2）解：∵Q为AD的中点，PA=PD，‎ ‎∴PQ⊥AD，又BQ⊥AD，‎ ‎∴∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．‎ ‎∴∠PQB=60°，‎ ‎∴PA=PD=PC，‎ ‎∴点P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．．‎ ‎∵△ADC为等腰直角三角形，∴O为△ADC的外心，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD．‎ 在Rt△PQO中，∵∠PQO=60°．‎ ‎∴PO=2．‎ 过点O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ 取B（0，2，0），Q（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（﹣2，2，0）．‎ ‎∵M是PC的中点，‎ ‎∴M（﹣1，1，）．‎ ‎=（﹣1，﹣1，），=（0，﹣4，0）．‎ 设平面QMB的法向量为=（x，y，z），，．‎ 取=，‎ 又=．‎ ‎∴直线PB与平面QMB所成角的正弦值是： ==．‎ ‎∴直线PB与平面QMB所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2‎ ‎（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）‎ ‎（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．‎ ‎①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；‎ ‎②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．‎ 附：≈19，≈18，若Z=～N（μ，2），则P（μ﹣σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2；‎ ‎（2）①利用该正态分布，Z～N，即可求P（81＜z＜119）；‎ ‎②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～，即可求EX．‎ ‎【解答】解：（1）由题意， =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，‎ 样本方差s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+2×0.24+2×0.15+2×0.1+2×0.08+2×0.04=366；‎ ‎（2）Z～N，P（81＜z＜119）=P=0.6826；‎ ‎②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～，‎ EX=2400×0.6826=1638.24．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1）‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；并证明lnx+≥2（e为自然对数的底数）恒成立；‎ ‎（2）若函数f（x）的一个零点为x1（x1＞1），f'（x）的一个零点为x0，是否存在实数k，使=k，若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，令k=2，则f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），得到f（x）≥f（e），证出结论即可；‎ ‎（2）假设存在k，使得=k，（k＞0）成立，得到m（k）=ek﹣1lnk﹣ek﹣1+1，求出函数的导数，设F（k）=lnk+﹣1，根据函数的单调性证出矛盾即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f′（x）=lnx+1﹣k，‎ x∈（0，ek﹣1）时，f′（x）＜0，此时h（x）递减，‎ x∈（ek﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，此时h（x）递增，‎ 令k=2，则f（x）=xlnx﹣2（x﹣1），‎ 故x=e时，f（x）有最小值是f（e），‎ 故f（x）=xlnx﹣2（x﹣1）≥f（e）=2﹣e，‎ 即lnx+≥2恒成立；‎ ‎（2）由题意得：x1lnx1﹣k（x1﹣1）=0，‎ lnx0+1﹣k=0，‎ 假设存在k，使得=k，（k＞0）成立，‎ 消元得：ek﹣1lnk﹣ek﹣1+1=0，‎ 设m（k）=ek﹣1lnk﹣ek﹣1+1，‎ 则m′（k）=ek﹣1（lnk+﹣1），‎ 设F（k）=lnk+﹣1，‎ 则F′（x）=﹣，‎ k∈（0，1）时，F′（x）＜0，即此时函数F（k）递减，‎ k∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数F（k）递增，‎ ‎∴F（k）≥F（1）=0，‎ ‎∴m′（k）＞0，‎ 故函数m（k）在（0，+∞）递增，‎ ‎∵m（1）=0，∴k=1，‎ 但k=1时，x1=ek1k=1，与已知x1＞1矛盾，‎ 故k不存在．‎ ‎　‎ 请考生在第（22）、（23）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1参数方程与极坐标]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）利用参数的几何意义，求的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；‎ ‎（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，‎ ‎∴t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣7，‎ ‎∴===≥，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4不等式选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，‎ ‎（1）证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；‎ ‎（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，‎ 由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…‎ ‎∵a、b∈M，∴，‎ 所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…‎ ‎（2）由（1）得a2＜，b2＜．‎ 因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）‎ ‎=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…‎ 所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…‎ ‎　‎ ‎2017年2月1日