2017年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科） Word版含解析.doc

‎2017年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合P=（﹣∞，0]∪（3，+∞），Q={0，1，2，3}，则（∁RP）∩Q=（　　）‎ A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{x|0≤x＜3}‎ ‎2．复数的共轭复数的模为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎3．已知x，y满足线性约束条件，若z=x+4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为（　　）‎ A．3 B． C． D．1‎ ‎4．函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎6．在△ABC中，，则△ABC的周长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ ‎（1）已知等比数列{an}，则“数列{an}单调递增”是“数列{an}的公比q＞1”的充分不必要条件；‎ ‎（2）二项式的展开式按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是；‎ ‎（3）已知，则；‎ ‎（4）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为40．‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）‎ ‎8．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．﹣67‎ B．﹣67‎ C．﹣68‎ D．﹣68‎ ‎9．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，‎ 则下列函数：‎ ‎①f（x）=x+（x＞0）；‎ ‎②f（x）=lnx（0＜x＜3）；‎ ‎③f（x）=2sinx； ‎ ‎④f（x）=．‎ 其中为“柯西函数”的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．已知直线l1与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于不同的A，B两点，对平面内任意点Q都有，λ∈R，又点P为直线l2：3x+4y+4=0上的动点，则的最小值为（　　）‎ A．21 B．9 C．5 D．0‎ ‎12．已知定义在（0，+∞）的函数f（x），其导函数为f′（x），满足：f（x）＞0且总成立，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．e2e+3f（e）＜e2ππ3f（π） B．e2e+3f（π）＞e2ππ3f（e）‎ C．e2e+3f（π）＜e2ππ3f（e） D．e2e+3f（e）＞e2ππ3f（π）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知实数a，b均大于0，且总成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎14．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=　　．‎ ‎15．函数的值域是　　．‎ ‎16．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，‎ b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和Tn，若Tn＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．‎ ‎（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：‎ 与教育有关 与教育无关 合计 男 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 合计 ‎65‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？‎ 参考公式：（n=a+b+c+d）．‎ 附表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.023‎ ‎6.635‎ ‎（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；‎ ‎（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．‎ ‎19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1，AB的中点．‎ ‎（ I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；‎ ‎（ II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．‎ ‎20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过点，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．‎ ‎21．已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．‎ ‎（1）当a=1时，求在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）求证：，n∈N*．‎ ‎　‎ 选做题 ‎22．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+‎ ‎）=2．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合P=（﹣∞，0]∪（3，+∞），Q={0，1，2，3}，则（∁RP）∩Q=（　　）‎ A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{x|0≤x＜3}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】根据补集与交集的定义，写出对应的结果即可．‎ ‎【解答】解：集合P=（﹣∞，0]∪（3，+∞），Q={0，1，2，3}，‎ 则∁RP=（0，3]，‎ 所以（∁RP）∩Q={1，2，3}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．复数的共轭复数的模为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．‎ ‎【解答】解：∵ =，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知x，y满足线性约束条件，若z=x+4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为（　　）‎ A．3 B． C． D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值．建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ 由得A（1，4），B（λ，λ﹣3）‎ 由z=x+4y，得y=﹣x+，‎ 平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．‎ z=1+4×4=17‎ 当直线经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．z=λ﹣3+4λ=5λ﹣3．‎ ‎∵z=x+4y的最大值与最小值得差为5‎ ‎∴17﹣（5λ﹣3）=20﹣5λ=5．‎ 得λ=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．‎ ‎【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，‎ 当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，‎ 当x＜0时，且a＜0时，f（x）=﹣x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵三个数1，a，9成等比数列，‎ ‎∴a2=9，则a=±3．‎ 当a=3时，曲线方程为，表示椭圆，则长半轴长为，半焦距为1，离心率为；‎ 当a=﹣3时，切线方程为，实半轴长为，半焦距为，离心率为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，，则△ABC的周长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理可得=8，利用三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，化简即可得解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴由正弦定理可得： =8，‎ ‎∴△ABC的周长=BC+AB+AC=4+8sinC+8sinB ‎=4+8sin（﹣B）+8sinB ‎=4+8（cosB+sinB）‎ ‎=4+8sin（B+）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ ‎（1）已知等比数列{an}，则“数列{an}单调递增”是“数列{an}的公比q＞1”的充分不必要条件；‎ ‎（2）二项式的展开式按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是；‎ ‎（3）已知，则；‎ ‎（4）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为40．‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1），等比数列{an}单调递增时⇒公比q＞1且首项a1＞0，或公比0＜q＞1且首项a1＜0；‎ ‎（2），根据二项式的展开式的通项公式可得展开式中无理项项数，再用古典概型概率计算公式可求；‎ ‎（3），表示圆x2+y2=（y≥0，0≤x≤）的圆的面积；‎ ‎（4），1000÷40=25．‎ ‎【解答】解：对于（1），等比数列{an}单调递增时⇒公比q＞1且首项a1＞0，或公比0＜q＜1且首项a1＜0，故错；‎ 对于（2），二项式的展开式的通项公式为：Tr+1=当r=0、2、4时为有理项，即展开式中共6项，无理项有3项，按一定次序排列，则无理项互不相邻的概率是=，故正确；‎ 对于（3），表示圆x2+y2=（y≥0，0≤x≤）的圆的面积，则，故正确；‎ 对于（4），为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25，故错．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．执行如图的程序框图，则输出S的值为（　　）‎ A．﹣67‎ B．﹣67‎ C．﹣68‎ D．﹣68‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，得出S的算式，再利用两角差的正切公式计算S的值即可．‎ ‎【解答】解：执行如图的程序框图，知程序运行后计算并输出 S=tan1949°tan1950°+tan1950°tan1951°+…+tan2016°tan2017°，‎ 又S=（1+tan1949°tan1950°）+（1+tan1950°tan1951°）+…+（1+tan2016°tan2017°）﹣‎ ‎=++…+﹣68‎ ‎=﹣68，‎ 所以输出S=﹣68．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．侧面ACBD为直角梯形，PA⊥AB．‎ ‎【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．‎ 侧面ACBD为直角梯形，‎ PA⊥AB．‎ 该几何体的体积V==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，‎ 则下列函数：‎ ‎①f（x）=x+（x＞0）；‎ ‎②f（x）=lnx（0＜x＜3）；‎ ‎③f（x）=2sinx； ‎ ‎④f（x）=．‎ 其中为“柯西函数”的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2，|x1x2+y1y2|﹣≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得共线，即存在点A、B与点O共线，逐一判定即可．‎ ‎【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2，|x1x2+y1y2|﹣≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得共线，即存在点A、B与点O共线； ‎ 对于①，f（x）=x+（x＞0）存在；‎ 对于②，f（x）=lnx（0＜x＜3）不存在；‎ 对于③，f（x）=2sinx存在； ‎ 对于④，f（x）=存在．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知直线l1与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于不同的A，B两点，对平面内任意点Q都有，λ∈R，又点P为直线l2：3x+4y+4=0上的动点，则的最小值为（　　）‎ A．21 B．9 C．5 D．0‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由，λ∈R，得三点A、B、C共线，由向量的线性运算的， ⇒…①，…②．‎ ‎②﹣①得=，求出PC范围即可．‎ ‎【解答】解：∵对平面内任意点Q都有，λ∈R，∴三点A、B、C共线，即AB为圆C的直径．‎ ‎∴， ⇒…①，…②．‎ ‎②﹣①得=；‎ ‎∵点C到直线直线l2的距离为3，∴，∴的最小值为5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在（0，+∞）的函数f（x），其导函数为f′（x），满足：f（x）＞0且总成立，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．e2e+3f（e）＜e2ππ3f（π） B．e2e+3f（π）＞e2ππ3f（e）‎ C．e2e+3f（π）＜e2ππ3f（e） D．e2e+3f（e）＞e2ππ3f（π）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=e2xx3f（x），g′（x）=）=e2xx2[（2x+3）f（x）+xf′（x）]＞0，⇒g（x）=e2xx3f（x）在（0，+∞）上单调递增⇒g（e）＜g（π），即可得到．‎ ‎【解答】解：∵f（x）＞0且总成立，∴（2x+3）f（x）+xf′（x）＞0．‎ 令g（x）=e2xx3f（x），g′（x）=）=e2xx2[（2x+3）f（x）+xf′（x）]＞0，‎ ‎∴g（x）=e2xx3f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（e）＜g（π），‎ ‎∴e2e+3f（e）＜e2ππ3f（π），故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知实数a，b均大于0，且总成立，则实数m的取值范围是　（﹣∞，2+]　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】求得（+）的最小值，可得2m﹣4，即可得到m的范围．‎ ‎【解答】解：实数a，b均大于0，（ +）≥2•=2，‎ 当且仅当a=b取得等号，‎ 由题意可得2m﹣4，‎ 解得m≤2+．‎ 故答案为：（﹣∞，2+]．‎ ‎　‎ ‎14．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=　2　．‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．‎ ‎【解答】解：∵N（2，32）⇒，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 解得c=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．函数的值域是　[﹣，3]　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】根据题意，令t=sinx+cosx，用t表示出sin2x，求出函数y=f（t）的解析式，根据x的取值范围，再求出t的取值范围，从而求出f（t）值域．‎ ‎【解答】解：根据题意，令t=sinx+cosx，则有 t2=1+2sinxcosx，‎ 即sin2x=t2﹣1；‎ 所以y=f（t）=2t﹣（t2﹣1）+1=﹣t2+2t+2=﹣（t﹣1）2+3；‎ 又t=sinx+cosx=sin（x+），‎ 且x∈[﹣，]，‎ ‎∴x+∈[﹣，]，‎ ‎∴sin（x+）∈[﹣，1]，‎ ‎∴﹣≤t≤；‎ ‎∴当t=1时，f（t）取得最大值3，‎ t=﹣时，f（t）取得最小值﹣；‎ ‎∴函数y=f（t）的值域为[﹣，3]．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和Tn，若Tn＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为　10　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{an}以及{bn}和{}的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，‎ 由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．‎ 得，解得 ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，．‎ 则=，‎ Tn=3+++…+，‎ 所以Tn=+++…++，‎ 两式作差得Tn=3+++++…+﹣‎ ‎=3+（1+++…+）﹣=3+﹣=3+2﹣2•（）n﹣1﹣，‎ 即Tn=10﹣（）n﹣3﹣＜10，‎ 由Tn＜M对一切正整数n都成立，‎ ‎∴M≥10，‎ 故M的最小值为10，‎ 故答案为：10‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．‎ ‎（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又△ABC不是直角三角形，解得bc=4，又 b+c=5，联立即可解得b，c的值．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．‎ ‎【解答】（本题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵△ABC不是直角三角形，‎ ‎∴bc=4，‎ 又∵b+c=5，‎ ‎∴解得或…‎ ‎（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，所以．‎ ‎∴△ABC面积的最大值是，当时取到…‎ ‎　‎ ‎18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：‎ 与教育有关 与教育无关 合计 男 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 合计 ‎65‎ ‎15‎ ‎80‎ ‎（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“‎ 师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？‎ 参考公式：（n=a+b+c+d）．‎ 附表：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.023‎ ‎6.635‎ ‎（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；‎ ‎（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）利用k2计算公式即可得出．‎ ‎（2）由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．‎ ‎（3）由题意知X服从，即可得出E（X）．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得k2==＜3.841．‎ 故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”‎ ‎（2）由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．‎ ‎（3）由题意知X服从，则．‎ ‎　‎ ‎19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1，AB的中点．‎ ‎（ I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；‎ ‎（ II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（I）取B1A1中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1FC．‎ ‎（II）以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（I）取B1A1中点为N，连结BN，‎ 则BN∥A1F，又B1A1=4B1M，‎ 则EM∥BN，所以EM∥A1F，‎ 因为EM⊄面A1FC，A1F⊂面A1FC，‎ 故EM∥面A1FC．‎ 解：（II）如图，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a．‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面A1CF法向量为，‎ 设平面A1EF法向量为．‎ 则，取z=1，得，‎ ‎，取x=1，得；‎ 设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，‎ ‎∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，‎ ‎∴，‎ 设a2=t，则9t2+10t﹣111=0，得t=3，‎ 即a2=3，∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过点，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b，c的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）联立直线l1的方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得AB的长度，联立直线l2的方程与椭圆方程，求出CD的长度，结合|AB|=λ|CD|利用换元法求解λ的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，‎ 解得a=4，b=2，‎ 故；‎ ‎（Ⅱ）联立，‎ 化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，‎ ‎△＞0恒成立，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，得，‎ ‎∴，‎ 把l2：y=kx代入，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎==，‎ 当，λ取最小值．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．‎ ‎（1）当a=1时，求在x=1处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）求证：，n∈N*．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a的范围即可；‎ ‎（3）令a=2，得：lnx＞在（1，+∞）上总成立，令x=，得ln＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，对x取值，累加即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），‎ f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1，‎ 所以求在x=1处的切线方程为：y=x﹣1．‎ ‎（2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．‎ ‎（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，‎ 即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，‎ 当x＞ea时，g′（x）＞0，不成立；‎ ‎（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+；‎ 令g（x）=lnx+，‎ 则g′（x）=，x＞0；‎ 则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；‎ 所以g（x）≥2，故a≤2．‎ ‎（3）由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，‎ 即lnx＞在（1，+∞）上总成立，‎ 令x=得ln＞，‎ 化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，‎ 所以ln2﹣ln1＞，‎ ln3﹣ln2＞，…，‎ ln（n+1）﹣lnn＞，‎ 累加得ln（n+1）﹣ln1＞，‎ 即ln（n+1），n∈N*命题得证．‎ ‎　‎ 选做题 ‎22．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．‎ ‎（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；‎ ‎（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程．‎ ‎（2）设点P（2cosα， sinα），求得点P到直线l的距离d=，tanβ=，由此求得d的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，即ρ（cosθ﹣sinθ）=2，‎ 即x﹣y﹣4=0．‎ 曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，‎ 可得+=1．‎ ‎（2）设点P（2cosα， sinα）为曲线C上任意一点，‎ 则点P到直线l的距离d==，tanβ=，‎ 故当cos（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．‎ ‎【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，‎ 再取并集即得所求．‎ ‎（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①‎ ‎，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为[﹣3，0]．‎ ‎　‎ ‎2017年2月2日