2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科） Word版含解析.doc

‎2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 ‎1．已知集合A={x||x|＜1}，N={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[0，1] C．（0，1] D．（0，1）‎ ‎2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（　　）‎ A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i ‎3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0‎ ‎4．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ ‎5．本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（　　）‎ A．A班的数学成绩平均水平好于B班 B．B班的数学成绩没有A班稳定 C．下次考试B班的数学平均分要高于A班 D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为98‎ ‎6．抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎7．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（　　）‎ A．f（x）的图象关于（，1）中心对称 B．f（x）在（，）上单调递减 C．f（x）的图象关于x=对称 D．f（x）的最大值为3‎ ‎8．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2， =3， =λ（λ∈R），则λ=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．5‎ ‎9．对任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 ‎10．如图所示的程序框图，输出的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．48π D．6π ‎12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f ‎（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．‎ 正确结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分 ‎13．函数f（x）=+log2为奇函数，则实数a=　　．‎ ‎14．已知0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，则sinx+cosx=　　．‎ ‎15．数轴上有四个间隔为1的点依次记为A、B、C、D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B、C两点的距离之和小于2的概率为　　．‎ ‎16．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积位　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=an+n2﹣1（n∈N*）．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：‎ ‎（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；‎ ‎（Ⅲ）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点 ‎（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；‎ ‎（Ⅱ）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过原点的直线l1与椭圆C交于P，Q两点，且在直线l2：x﹣y+2=0上存在点M，使得△MPQ为等边三角形，求直线l1的方程．‎ ‎21．设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，e是自然对数的底数 ‎（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调函数，求λ的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若0＜λ＜，证明：函数f（x）有两个极值点．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ‎（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）‎ ‎（Ⅰ）求x0的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．‎ ‎　‎ ‎2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 ‎1．已知集合A={x||x|＜1}，N={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[0，1] C．（0，1] D．（0，1）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），‎ 由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，‎ 解得：0＜x＜1，即B=（0，1），‎ 则A∩B=（0，1），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（　　）‎ A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：依题z2=﹣2+i，从而，于是=﹣3﹣4i，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x+3y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+3y可得y=﹣x+z．‎ 则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，‎ 作直线L：x+3y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小 由可得B（2，0），此时z=2‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（　　）‎ A．A班的数学成绩平均水平好于B班 B．B班的数学成绩没有A班稳定 C．下次考试B班的数学平均分要高于A班 D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为98‎ ‎【考点】频率分布折线图、密度曲线．‎ ‎【分析】求出A，B的平均数、方差，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A班的数学成绩为=101，B班的数学成绩为=99.2，‎ 即A正确；‎ A的方差为（0+9+0+1+16）=5.2，B方差为（4.22+0.64+3.22+5.82+0.64）=12.56，即B正确；‎ 在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为=98，即D正确；‎ 下次考试B班的数学平均分要高于A班，不正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线﹣=1‎ 的一条渐近线方程为x﹣y=0，‎ ‎∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（　　）‎ A．f（x）的图象关于（，1）中心对称 B．f（x）在（，）上单调递减 C．f（x）的图象关于x=对称 D．f（x）的最大值为3‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，‎ A．当x=时，sin（2x﹣）=0，则f（x）的图象关于（，1）中心对称，故A正确，‎ B．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，‎ 当k=0时，函数的递减区间是[，]，故B错误，‎ C．当x=时，2x﹣=2×﹣=，则f（x）的图象关于x=对称，故C正确，‎ D．当2sin（2x﹣）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确，‎ 故选：B ‎　‎ ‎8．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2， =3， =λ（λ∈R），则λ=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．5‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】=λ⇒=，由E，F，K三点共线可得，即可．‎ ‎【解答】解：∵ =2， =3，‎ ‎∴=λ∴=，‎ 由E，F，K三点共线可得，∴λ=5‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．对任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵y=ex（x2+ax+1﹣2a），‎ ‎∴y′=ex（x2+ax+2x+1﹣a），‎ x=0时，y′=1﹣a，‎ ‎∴曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，‎ 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，‎ ‎∴切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是相交．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示的程序框图，输出的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，故S=，i=2，‎ 当i=2时，满足进行循环的条件，故S=1，i=3，‎ 当i=3时，满足进行循环的条件，故S=，i=4，‎ 当i=4时，满足进行循环的条件，故S=，i=5，‎ 当i=5时，不满足进行循环的条件，‎ 故输出的S值为，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．48π D．6π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的正方形．则该几何体外接球的半径R=，即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，‎ 其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的正方形．‎ 则该几何体外接球的半径R==2．‎ 表面积为=4πR2=48π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．‎ 正确结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，‎ 但f（0），f（1）的符号不能确定，‎ 故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；‎ 由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，‎ 即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，‎ 故g（0）≤0，且g（1）≤0，‎ 故②g（0）•g（1）≥0一定正确；‎ 此时3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，‎ 故△=4a2﹣12b＞0，‎ 即a2﹣3b＞0，‎ 但a2﹣3b不一定有最小值，‎ 故③不一定正确；‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分 ‎13．函数f（x）=+log2为奇函数，则实数a=　±1　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=+log2为奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，‎ 则﹣+log2++log2=0，‎ 即log2（•）=0，‎ 则•==1，‎ 则1﹣a2x2=1﹣x2，则a2=1，‎ 则a=±1，‎ 当a=﹣1时，f（x）=+log2=f（x）=+log21=为奇函数，满足条件．‎ 当a=1时，f（x）=+log2=+log2为奇函数，满足条件．‎ 故答案为：±1‎ ‎　‎ ‎14．已知0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，则sinx+cosx=　　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】由x的范围，可得﹣＜2x﹣＜0，可得cos（2x﹣）的值，再由 sin2x=sin[（2x﹣）+]，运用两角和的正弦公式，以及sinx+cosx=，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，‎ 可得﹣＜2x﹣＜0，‎ 则cos（2x﹣）==，‎ 即有sin2x=sin[（2x﹣）+]= [sin（2x﹣）+cos（2x﹣）]‎ ‎=×（﹣+）=，‎ 则sinx+cosx===‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．数轴上有四个间隔为1的点依次记为A、B、C、D，在线段AD上随机取一点E，则E点到B、C两点的距离之和小于2的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出满足条件的E点所在的位置，从而求出E点到B、C两点的距离之和小于2的概率即可．‎ ‎【解答】解：设AB的中点是M，CD的中点是N，‎ 则E在MN上时满足条件，‎ 故E点到B、C两点的距离之和小于2的概率p=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积位　10　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求cosC ‎，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=cos2C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，由余弦定理可得BC2﹣6BC﹣55=0，解得BC，可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵b=4，c=5，B=2C，‎ ‎∴由正弦定理可得： ==，可得：cosC=，‎ ‎∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=，sinC==，‎ ‎∴在△ABC中，由余弦定理可得：（4）2=52+BC2﹣2×，‎ 整理可得：BC2﹣6BC﹣55=0，解得：BC=11或﹣5（舍去），‎ ‎∴DC=BC﹣BD=11﹣6=5，‎ ‎∴S△ADC=AC•DC•sinC==10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=an+n2﹣1（n∈N*）．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（1）Sn=an+n2﹣1（n∈N*），可得a1+a2=a2+22﹣1，解得a1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．‎ ‎（2）由（1）可得：Sn=n2+2n．可得==．利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵Sn=an+n2﹣1（n∈N*），∴a1+a2=a2+22﹣1，解得a1=3．‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an+n2﹣1﹣[an﹣1+（n﹣1）2﹣1]，化为：an﹣1=2n﹣1‎ ‎，可得an=2n+1，n=1时也成立．‎ ‎∴an=2n+1．‎ ‎（2）证明：由（1）可得：Sn=2n+1+n2﹣1=n2+2n．‎ ‎∴==．‎ ‎∴+…+=++…++‎ ‎=＜．‎ ‎　‎ ‎18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：‎ ‎（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；‎ ‎（Ⅲ）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．‎ ‎【考点】分层抽样方法；概率的意义．‎ ‎【分析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．‎ ‎（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．‎ ‎（Ⅲ）先计算抽样的600人的预算，用样本估计总体，从而能估计政府执行此计划的年度预算．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：‎ ‎ 健康状况 ‎ 健康 ‎ 基本健康 ‎ 不健康尚能自理 ‎ 不能自理 ‎ 80岁及以上 ‎ 20‎ ‎ 45‎ ‎ 20‎ ‎ 15‎ ‎ 80岁以下 ‎ 200‎ ‎ 225‎ ‎ 50‎ ‎ 25‎ 从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为： =，‎ 故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为16×=6．‎ ‎（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为： =，80岁及以上长者有=11，‎ 用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．‎ ‎（Ⅲ）先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为14+25+20+45+20=125人，享受600元/年的人数为600﹣125=475人，预算为125×1000+475×600=41×104元，‎ 用样本估计总体，全市老人的总预算为×41×104=4.51×108元．‎ 政府执行此计划的年度预算约为4.51亿元．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点 ‎（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；‎ ‎（Ⅱ）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE，‎ ‎（Ⅱ）利用等体积求点点P到平面ADE的距离．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，‎ ‎∵E是PB中点，∴EF∥AB，EF=AB，‎ ‎∴CD∥AB，CD=AB，‎ ‎∴CD∥EF，CD=EF ‎∴四边形CDEF为平行四边形，‎ ‎∴DF∥CE，‎ 又△PAD 为正三角形，‎ ‎∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，‎ 又PA⊥CD，CD∩CE=C，‎ ‎∴PA⊥平面CDE，‎ 又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．‎ 解：（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ 又PA⊥CD，PA∩AD=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ 又（Ⅰ）知，CD∥EF，‎ ‎∴EF⊥平面PAD，‎ ‎∴EF为三棱锥的E﹣PAD的高，且EF=CD=2，‎ 易得△PAD的面积S△PAD=×22=，‎ 在Rt△PAB中，PB=2，AE=PB=，‎ 在矩形CDEF中，CD=2，CE=DF=，‎ ‎∴DE=，‎ 在△ADE中，AE=，DE=，AD=2，‎ 由平面几何知识可得AD边上的高EH=，‎ ‎∴△ADE的面积S△ADE=×2×=，‎ 设点P到平面ADE的距离为d，由VP﹣ADE=VE﹣PAD得 ‎××2=×d，‎ 解得d=‎ ‎∴点P到平面ADE的距离为 ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若过原点的直线l1与椭圆C交于P，Q两点，且在直线l2：x﹣y+2=0上存在点M，使得△MPQ为等边三角形，求直线l1的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）椭圆的离心率为e═==．即a2=4b2，将点M（2，1），代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2），满足△MPQ为等边三角形，求直线l1的方程y=0，当k≠0时，设直线l1‎ 的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得丨PO丨，则垂直平分线的方程y=﹣x，与直线l2：x﹣y+2=0上存在点M坐标，由等边三角形的性质可知：丨MO丨=丨PO丨，代入即可求得k的值，求得直线l1的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率为e═==．即a2=4b2，‎ 由椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），代入可知：，‎ 解得：b2=2，则a2=8，‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）显然，直线l的斜率k存在，设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），‎ ‎（1）当k=0，直线PQ的垂直平分线为y轴，y轴与直线m的交点为M（0，2），‎ 由丨PO丨=2，丨MO丨=2，‎ ‎∴∠MPO=60°，则△MPQ为等边三角形，‎ 此时直线l1的方程为y=0，‎ 当k≠0时，设直线l1的方程为y=kx，‎ 则，整理得：（1+8k2）x2=8，解得：丨x0丨=，则丨PO丨=•，‎ 则PQ的垂直平分线为y=﹣x，‎ 则，解得：，则M（﹣，），‎ ‎∴丨MO丨=，‎ ‎∵△MPQ为等边三角形，则丨MO丨=丨PO丨，‎ ‎∴=••，解得：k=0（舍去），k=，‎ ‎∴直线l1的方程为y=x，‎ 综上可知：直线l1的方程为y=0或y=x．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，e是自然对数的底数 ‎（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调函数，求λ的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若0＜λ＜，证明：函数f（x）有两个极值点．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论λ的范围，求出函数的单调区间，集合题意确定λ的范围即可；‎ ‎（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aeax+=，（x＞0），‎ ‎①若λ≤0，则f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）递减，‎ ‎②若λ＞0，令g（x）=axeax+λ，其中a＜0，x＞0，‎ 则g′（x）=aeax（1+ax），‎ 令g′（x）=0，解得：x=﹣，‎ 故x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，‎ x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，‎ 故x=﹣时，g（x）取极小值也是最小值g（﹣）=λ﹣，‎ 故λ﹣≥0即λ≥时，g（x）≥0，‎ 此时f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，‎ 综上，所求λ的范围是（﹣∞，0]∪[，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=aeax+=，（x＞0），‎ 令g（x）=axeax+λ，其中a＜0，x＞0，‎ 求导得：g′（x）=aeax（1+ax），‎ 令g′（x）=0，解得：x=﹣，‎ x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，‎ x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，‎ x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣，‎ ‎∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0，‎ ‎∴g（﹣）g（0）＜0，‎ ‎∴函数f（x）有两个极值点．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎22．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ‎（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），E（0，﹣1），求出相应的向量，即可求•的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；‎ 椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为 ‎（θ为参数）；‎ ‎（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），‎ ‎∵E（0，﹣1），‎ ‎∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），‎ ‎∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，‎ ‎∴•的取值范围是[5﹣，5+]．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）‎ ‎23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）‎ ‎（Ⅰ）求x0的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，即可求x0的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，‎ 解得x＞2，∴x0=2；‎ ‎（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，‎ ‎∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，‎ ‎∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，‎ ‎∴m+≤2，‎ ‎∵m+≥2，‎ ‎∴m+=2．‎ ‎　‎ ‎2017年2月1日