2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析.doc

‎2017年上海市高考数学模拟试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）‎ ‎1．计算： =　　．‎ ‎2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=　　．‎ ‎3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=　　．‎ ‎4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=　　．‎ ‎5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B间的距离为　　．‎ ‎6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=　　．‎ ‎7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=　　．‎ ‎8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为　　．‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为　　．‎ ‎10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎11．已知数列{an}满足：a1=1，an+1+an=（）n，n∈N*，则=　　．‎ ‎12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分20分）‎ ‎13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（　　）‎ A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A ‎14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（　　）‎ A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且 ‎15．图中曲线的方程可以是（　　）‎ A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．‎ C． D．‎ ‎16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（　　）‎ A．11 B．12 C．15 D．16‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分76分）‎ ‎17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．‎ ‎（1）求原来圆锥的侧面积；‎ ‎（2）求该几何体的体积．‎ ‎18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．‎ ‎（1）求双曲线Γ的方程；‎ ‎（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．‎ ‎19．某租车公司给出的财务报表如下：‎ ‎1014年（1﹣12月）‎ ‎1015年（1﹣12月）‎ ‎1016年（1﹣11月）‎ 接单量（单）‎ ‎14463272‎ ‎40125125‎ ‎50331996‎ 油费（元）‎ ‎214301962‎ ‎591305364‎ ‎653214963‎ 平均每单油费t（元）‎ ‎14.82‎ ‎14.49‎ 平均每单里程k（公里）‎ ‎15‎ ‎15‎ 每公里油耗a（元）‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ 有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．‎ ‎（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；‎ ‎（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）‎ ‎20．已知数列{an}，{bn}与函数f（x），{an}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{bn}满足：bn=f（an）．‎ ‎（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；‎ ‎（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{bn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若d=﹣1，f（x）=ex，Tn=b1•b2•b3…bn，问n为何值时，Tn的值最大？‎ ‎21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．‎ ‎（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；‎ ‎（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；‎ ‎（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市高考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）‎ ‎1．计算： =　﹣2　．‎ ‎【考点】二阶矩阵．‎ ‎【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．‎ ‎【解答】解： =4×1﹣3×2=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=　16　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），‎ ‎∴x=y2，y≥0，‎ 互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，‎ ‎∴f﹣1（4）=42=16．‎ 故答案为：16．‎ ‎　‎ ‎3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=　2　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：复数（i为虚数单位），‎ 则|z|==2．‎ 故答案为：2、‎ ‎　‎ ‎4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=　　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：函数 ‎=2（sinx+cosx）‎ ‎=2sin（x+），‎ 由若存在锐角θ满足f（θ）=2，‎ 即有2sin（θ+）=2，‎ 解得θ=﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B间的距离为　R　．‎ ‎【考点】球面距离及相关计算．‎ ‎【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B间的距离．‎ ‎【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．‎ ‎∴两点A，B间的距离为R，‎ 故答案为：R．‎ ‎　‎ ‎6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=　8　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由题意可得：2n=256，解得n．‎ ‎【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=　2k2﹣1　．‎ ‎【考点】二倍角的正弦．‎ ‎【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，‎ ‎∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，‎ ‎∴sin2α=2k2﹣1．‎ 故答案为：sin2α=2k2﹣1．‎ ‎　‎ ‎8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为　[﹣2，1]　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣， =（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．‎ ‎【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：‎ 由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，‎ ‎0），‎ 设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；‎ ‎=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；‎ ‎=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，‎ 由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，‎ ‎∴的取值范围为[﹣2，1]．‎ 故答案为：[﹣2，1]．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．‎ ‎【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，‎ 所以=•2b2，即a2=7b2，‎ 则cosA===，又A∈（0，π），‎ 所以A=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞‎ ‎0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，‎ ‎∴1﹣a＞a＞0，‎ ‎∴a∈，‎ 故答案为 ‎　‎ ‎11．已知数列{an}满足：a1=1，an+1+an=（）n，n∈N*，则=　﹣　．‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足：a1=1，，n∈N*，‎ ‎∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）‎ ‎=‎ ‎==（1﹣）=（1﹣），‎ ‎∴S2n=（1﹣），‎ a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n﹣2+a2n﹣1）‎ ‎=1+=1+=1+，‎ ‎∴S2n﹣1=1+，‎ ‎∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，‎ ‎∴=﹣[1+（1﹣）]= =﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为　90　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．‎ ‎【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，‎ ‎∵△ABC的面积为360，‎ ‎∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．‎ 故答案为90．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题满分20分）‎ ‎13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（　　）‎ A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A ‎【考点】元素与集合关系的判断．‎ ‎【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．‎ ‎【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B正确．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（　　）‎ A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．‎ B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．‎ C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．‎ D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎15．图中曲线的方程可以是（　　）‎ A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．‎ C． D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（　　）‎ A．11 B．12 C．15 D．16‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题满分76分）‎ ‎17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．‎ ‎（1）求原来圆锥的侧面积；‎ ‎（2）求该几何体的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，则OA⊥平面BCD．由经能求出S圆锥侧．‎ ‎（2）该几何体的体积V=（S△BCD+S半圆）•AO，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）设BD的中点为O，连结OA，OC，‎ ‎∵A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，‎ ‎∴OA⊥平面BCD．‎ ‎∵BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，‎ ‎∴在Rt△AOC中，OC=1，，‎ AC=2，AO=，‎ ‎∴S圆锥侧=πrl==2π．‎ ‎（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体，‎ ‎∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，‎ 该几何体的体积V=（S△BCD+S半圆）•AO ‎==．‎ ‎　‎ ‎18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．‎ ‎（1）求双曲线Γ的方程；‎ ‎（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；‎ ‎（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），‎ ‎∴双曲线方程为x2﹣y2=2；‎ ‎（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．‎ ‎　‎ ‎19．某租车公司给出的财务报表如下：‎ ‎1014年（1﹣12月）‎ ‎1015年（1﹣12月）‎ ‎1016年（1﹣11月）‎ 接单量（单）‎ ‎14463272‎ ‎40125125‎ ‎50331996‎ 油费（元）‎ ‎214301962‎ ‎591305364‎ ‎653214963‎ 平均每单油费t（元）‎ ‎14.82‎ ‎14.49‎ 平均每单里程k（公里）‎ ‎15‎ ‎15‎ 每公里油耗a（元）‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ 有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．‎ ‎（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；‎ ‎（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．‎ ‎【解答】解：（1），‎ ‎，‎ ‎∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．‎ ‎（2），T2016=38%﹣20%=18%．‎ 由，‎ ‎∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，‎ 平均每单里程为15.71km．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}，{bn}与函数f（x），{an}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{bn}满足：bn=f（an）．‎ ‎（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；‎ ‎（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{bn}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若d=﹣1，f（x）=ex，Tn=b1•b2•b3…bn，问n为何值时，Tn的值最大？‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．‎ ‎（2）依题意，an=15+2（n﹣1）=2n+13，bn=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎（3）依题意，an=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴ =a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，‎ ‎∵d≠0，∴d=﹣2．‎ ‎（2）依题意，an=15+2（n﹣1）=2n+13，bn=|2n﹣8|，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（3）依题意，an=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，‎ ‎，‎ ‎∴当n=15或16时，Tn最大．‎ ‎　‎ ‎21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．‎ ‎（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；‎ ‎（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；‎ ‎（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1）即可，‎ ‎ （2）依题意，是奇函数，求出φ；‎ ‎（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．‎ ‎【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，‎ ‎∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，‎ 即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；‎ 对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），‎ 由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，‎ ‎∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；‎ ‎（2）依题意，是奇函数，‎ ‎∴（k∈Z）．‎ ‎（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm ‎=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．‎ 依题意，h（x）对任意都不是奇函数，‎ 若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．‎ 故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．‎ ‎　‎ ‎2017年2月1日