2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x﹣y+1=0的斜率是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
2．方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（ ）
A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），4
3．若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
4．在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（ ）
A．（﹣1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，﹣3） C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3）
5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（ ）
A． ⇒α∥β B． ⇒m∥n C． ⇒l∥β D． ⇒m⊥γ
6．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9．双曲线=1的渐近线方程是 ．
10．已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为 ．
11．已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是 （真命题/假命题）．
12．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为 ．
13．已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为 ．
14．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为 ．
三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（10分）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l的方程．
16．（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．
（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；
（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．
17．（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．
18．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．
2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x﹣y+1=0的斜率是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【考点】直线的斜率．
【分析】利用直线斜率的计算公式即可得出．
【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率==1．
故选：A．
【点评】本题考查了直线斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（ ）
A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），4
【考点】圆的一般方程．
【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．
【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，
所以圆心坐标为（2，0），半径为2，
故选C．
【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程．
3．若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
【解答】解：∵两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，∴ =﹣1，解得a=4．
故选：A．
【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
4．在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（ ）
A．（﹣1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，﹣3） C．（﹣1，2，﹣3） D．（1，2，3）
【考点】空间中的点的坐标．
【分析】点（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c）．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（1，2，3）．
故选：D．
【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．
5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（ ）
A． ⇒α∥β B． ⇒m∥n C． ⇒l∥β D． ⇒m⊥γ
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．
【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：
在A中， ⇒α与β相交或平行，故A错误；
在B中， ⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；
在C中， ⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；
在D中， ⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
6．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），
则直线l过（2，0），是充分条件，
若直线l经过点（2，0），
则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），
比如直线：x=0，故不是必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线方程问题，是一道基础题．
7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．
【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．
则三棱锥的体积V==．
故选：B．
【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得：A（a﹣1，a），
化目标函数μ=2x﹣y为y=2x﹣μ，
由图可知，当直线y=2x﹣μ过A时，直线在y轴上的截距最大，μ有最小值为：2（a﹣1）﹣a=﹣4，
即a=﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9．双曲线=1的渐近线方程是 y=±2x ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±2x．
故答案为y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
10．已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为 6 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】确定椭圆中a，b，c，由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可得△PF1F2的周长．
【解答】解：由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1
∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题．
11．已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是 假命题 （真命题/假命题）．
【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．
【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，写出原命题的否定，进而可得答案．
【解答】解：∵命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，
∴￢p：∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，
由x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0在x＞1时，恒成立，
故￢p为假命题，
故答案为：假命题
【点评】本题考查的知识点是命题的否定，全称命题，难度不大，属于基础题．
12．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为 ﹣1 ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】先利用空间向量坐标运算法则得到=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），再由向量垂直的性质能求出a．
【解答】解：A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），
=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），
∵AB⊥AC，
∴=﹣1+a+2=0，
解得a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查空数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
13．已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为 1 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．
【解答】解：圆心（0，0）到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．
故答案为：1
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．
14．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为 ．
【考点】平面与平面之间的位置关系；棱柱的结构特征．
【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC
平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．
【解答】解：∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，
则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，
则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，
∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，
则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m，
故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，
由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，
故线段m的长为：×2=，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．
三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（10分）（2016秋•海淀区期末）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，求圆M的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用|DE|=2，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=2，E=0，F=﹣3
…
故圆M：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4…
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（﹣1，0）．
设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|=|EN|=…
此时|MN|==1．…（6分）
当l的斜率不存在时，c=0，此时|MN|=1，符合题意 …（7分）
当l的斜率存在时，设l：y=kx+2，由题意=1，…（8分）
解得：k=，…（9分）
故直线l的方程为3x﹣4y+8=0…（10分）
综上直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
16．（10分）（2016秋•海淀区期末）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．
（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；
（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）AB的斜率为1时，l：y=x﹣1，代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0，求出|AB|，点M到直线AB的距离，即可求△ABM的面积；
（Ⅱ）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4，由MA⊥MB，求得k值，进而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），当AB的斜率为1时，l：y=x﹣1 …（1分）
代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8，…
点M到直线AB的距离d==2…
∴△ABM的面积S==8； …
（Ⅱ）易知直线l⊥x时不符合题意．可设焦点弦方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
代入抛物线方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则
x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4
∵MA⊥MB， =（x1﹣5，y1），=（x2﹣5，y2），
∴=x1x2﹣5（x1+x2）+25+y1y2=22﹣5×（2+）=0，∴k=．…（9分）
故L的方程为y=（x﹣1）…（10分）
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
17．（12分）（2016秋•海淀区期末）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥AB，PA⊥AC，由此能证明PA⊥平面ABC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ABC所成角．
（Ⅲ）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角D﹣AB﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）
∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，
∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）
∵AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABC． …
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…
∴D（），=（﹣）．…
平面ABC的法向量为=（0，0，1），…（6分）
记BD与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ==，…（7分）
∴，
∴BD与平面ABC所成角为．…（8分）
（Ⅲ）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），
则，取y=2，得=（0，2，﹣）． …（11分）
记二面角D﹣AB﹣C的大小为α，
则cosα==，
∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18．（12分）（2016秋•海淀区期末）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，e==，即可求得椭圆C的标准方程及离心率；
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理求得y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，由向量的共线定理求得y2=﹣2y1，即可求得y1和y2，则即可求得m
的值，即可求得直线方程；解法2：当直线l⊥x时， =1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意，设直线L的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2，即可求得k的值，求得直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形，
a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分）
∴椭圆C的标准方程为，…
椭圆的离心率e==；…
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，
则，…
整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
△=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0，
由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（7分）
则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分）
若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分）
解得：，则y1•y2=﹣，…（10分）
故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分）
故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1，
即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0 …（12分）
解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），
直线l⊥x时， =1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．…
可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分）
，消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分）
则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则x1+x2=﹣，①x1•x2=，②．…（8分）
=（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）．
若PA∥QF1，则∥，
则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0．
化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分）
联立①③可得x1=，x2=，…（10分）
代入②可以解得：k=±．…（11分）
故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
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