2016-2017学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A={x∈N|5+4x﹣x2＞0}，B={x|x＜3}，则A∩B等于（ ）
A．∅ B．{1，2} C．[0，3） D．{0，1，2}
2．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞0
3．若函数f（x）=，则f′（0）等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（ ）
A． B． C． D．2
5．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．y=±4x B．y=±2x C． D．
6．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
7．抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．“a≤0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=60°，b=2，sinA=sinB，则向量在方向上的投影为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
10．设Sn为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（ ）
A．12 B． C．55 D．
11．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF1|=4|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．[，+∞） B．（1，] C．[，+∞） D．（1，]
12．已知函数f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），则（ ）
A．当x＜0，有极大值为2﹣ B．当x＜0，有极小值为2﹣
C．当x＞0，有极大值为0 D．当x＞0，有极小值为0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是 ．
14．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为 ．
15．定义在R上的偶函数f（x）满足，当x＜0时，f（x）=，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为 ．
16．函数f（x）=的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的大小；
（2）若a=5，b=8，求边c的长．
18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x0|=5，命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若a≥1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）是增函数．
（1）写出命题r的否命题；
（2）判断命题￢p：p∨r，p∧q的真假，并说明理由．
19．在等差数列{an}中，a2=3，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=（4n﹣1）．
（1）求an及bn；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是左右焦点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与圆O相切，且与椭圆交于A，B两点， •=，求k的值．
21．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．
22．已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=x3+x2（x﹣lnx）﹣16x．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：g（x）＞﹣20．
2016-2017学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．若集合A={x∈N|5+4x﹣x2＞0}，B={x|x＜3}，则A∩B等于（ ）
A．∅ B．{1，2} C．[0，3） D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式解集的自然数解确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣5）（x+1）＜0，x∈N，
解得：﹣1＜x＜5，x∈N，即A={0，1，2，3，4}，
∵B={x|x＜3}，
∴A∩B={0，1，2}，
故选：D．
2．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x∈R，x3﹣3x≤0，
故选：C
3．若函数f（x）=，则f′（0）等于（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数，令x=0，即可．
【解答】解：函数的导数f′（x）=，
则f′（0）==1，
故选：A
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（ ）
A． B． C． D．2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出公差d．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，
∴，
解得，d=．
故选：A．
5．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．y=±4x B．y=±2x C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．
【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得
2=4，可得m=4，
即有双曲线的方程为﹣y2=1，
可得双曲线的渐近线方程为y=±x．
故选：C．
6．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，
平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，即C（3，1），此时zmin=﹣3+1=﹣2．
故选：B
7．抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7
∴x1+x2=5，
∴A、B到y轴的距离之和为5，
故选：D．
8．“a≤0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数极值和导数的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=a+，
若函数f（x）=ax+lnx存在极值，则f′（x）=0有解，即a+=0，即a=﹣，
∵x＞0，∴a=﹣＜0，
则“a≤0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的必要不充分条件，
故选：B
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=60°，b=2，sinA=sinB，则向量在方向上的投影为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可根据正弦定理，由sinA=得出a=，从而得出a=，进一步由正弦定理可求出，，从而便可求出sinC=，从而由正弦定理求出c=8，这样根据投影的计算公式便可求出要求的投影的值．
【解答】解：由正弦定理，，带入得：
，如图，在△ABC中，；
∴sinB=，cosB=；
∴sinC=sin（A+B）
=
=；
∴；
解得c=8；
根据条件，在方向上的投影为：．
故选D．
10．设Sn为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（ ）
A．12 B． C．55 D．
【考点】数列递推式．
【分析】Sn+1=3Sn，可得数列{Sn}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．
【解答】解：∵Sn+1=3Sn，∴数列{Sn}为等比数列，公比为3．
∴．
∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．
∴Sn=3n﹣1．
∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．
∴a1+a5=55．
故选：C．
11．设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，若在双曲线C的下支上存在一点P使得|PF1|=4|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．[，+∞） B．（1，] C．[，+∞） D．（1，]
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，再根据点P在双曲线的下支上，可得|PF2|≥c﹣a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．
【解答】解：∵|PF1|=4|PF2|，
∴由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=3|PF2|=2a，
∴|PF2|=a，
∵点P在双曲线的下支，
∴a≥c﹣a，即a≥c，
∴e≤，
∵e＞1，
∴1＜e≤，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，]．
故选：D．
12．已知函数f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），则（ ）
A．当x＜0，有极大值为2﹣ B．当x＜0，有极小值为2﹣
C．当x＞0，有极大值为0 D．当x＞0，有极小值为0
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．
【解答】解：f（x）=（ex﹣1﹣1）（x﹣1），
∴f′（x）=xex﹣1﹣1，
x＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故f（x）极小值=f（1）=0，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是 若x2≤1，则x≤1 ．
【考点】四种命题．
【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，
故答案为：若x2≤1，则x≤1
14．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为 2 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】将椭圆方程转化成标准方程，则焦点在y轴上，a2=7，b2=3，由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2．
【解答】解：由题意可知：椭圆的标准方程：，焦点在y轴上，a2=7，b2=3，
∴由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2，
故答案为：2．
15．定义在R上的偶函数f（x）满足，当x＜0时，f（x）=，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质．
【分析】设x＞0，则f（x）=f（﹣x）==，再求导数，即可得出结论．
【解答】解：设x＞0，则f（x）=f（﹣x）==，
∴x＞0，f′（x）=，
∴f′（2）=，
故答案为．
16．函数f（x）=的最大值为 ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】当x≠0时，f（x）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．
【解答】解：当x=0时，f（0）=0，
当x≠0时，f（x）==≤=，
故函数f（x）=的最大值为，
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的大小；
（2）若a=5，b=8，求边c的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）acosB+bcosA=2ccosC，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC
∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，
sinC≠0，解得cosC=，C∈（0，π），
∴C=．
（2）由余弦定理可得：c2=52+82﹣2×5×8cos=49，
解得c=7．
18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x0|=5，命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若a≥1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）是增函数．
（1）写出命题r的否命题；
（2）判断命题￢p：p∨r，p∧q的真假，并说明理由．
【考点】复合命题的真假；四种命题．
【分析】（1）根据否命题的定义，否定题设也否定结论，求出r的否命题即可；
（2）根据原命题的真假判断复合命题的真假即可．
【解答】解：（1）命题r：若a≥1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）是增函数，
则命题r的否命题是：若a＜1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）不是增函数；
（2）命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x0|=5，是假命题；
命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥2=4，当且仅当x=﹣时“=”成立，
故命题q是真命题；
对于f（x）=ax+cosx，a≥1，f′（x）=a﹣sinx≥a﹣1≥0，
故命题r：若a≥1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）是增函数，是真命题；
故命题￢p是真命题，
p∨r是真命题，p∧q是假命题．
19．在等差数列{an}中，a2=3，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=（4n﹣1）．
（1）求an及bn；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式可得an，利用数列递推关系可得bn．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a2=3，a7=13，
∴a1+d=3，a1+6d=13，
解得a1=1，d=2，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
∵数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=（4n﹣1）．
∴b1=S1=4，
n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=（4n﹣1）﹣=4n，n=1时也成立．
∴bn=4n．
（2）anbn=（2n﹣1）•4n．
∴数列{an•bn}的前n项和Tn=4+3×42+5×43…+（2n﹣1）•4n，
4Tn=42+3×43+…+（2n﹣3）•4n+（2n﹣1）•4n+1．
∴﹣3Tn=4+2（42+43+…+4n）﹣（2n﹣1）•4n+1=﹣4﹣（2n﹣1）•4n+1．
∴Tn=•4n+1+．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2，F1，F2是左右焦点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与圆O相切，且与椭圆交于A，B两点， •=，求k的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）短轴长2b=2，即b=1，e==，a2=b2+c2，解得：a=，b=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）以F1，F2为直径的圆，x2+y2=1，由直线l：y=kx+m与圆O相切，则=1，即m2=1+k2，将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算即可求得： =，即可求得k的值．
【解答】解：（1）椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，短轴长2b=2，即b=1，e==，
又a2=b2+c2，解得：a=，b=1，
∴椭圆的方程为+y2=1；
（2）由（1）可知：丨F1F2丨=2c=2，则以F1，F2为直径的圆，x2+y2=1，
由直线l：y=kx+m与圆O相切，则=1，即m2=1+k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由，消去y得，（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，
由直线与椭圆有两个不同的交点，
即有△＞0，即（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，
解得：k2＞0，
又x1+x2=﹣，x1x2=，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
则•=x1x2+y1y2=+==，解得：k=±1．
∴k的值±1．
21．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；
（2）求出直线AB的斜率，可得直线DE的方程，利用抛物线的定义建立方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等
∴由抛物线的定义得曲线C为抛物线， =1
∴轨迹方程为：y2=4x．
（2）设M（x0，y0），直线MA的斜率为k，直线MB的斜率为﹣k，k≠0，
直线MA的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），将y2=4x代入整理得到ky2﹣4y+4y0﹣4kx0=0，
则yA=﹣y0，
又yA﹣y0=k（xA﹣x0），整理得到xA=﹣，
将其中的k换成﹣k，得到xB=+，yB=﹣﹣y0，
那么直线AB的斜率k=﹣，
∴直线DE的斜率为，方程为y=（x﹣1），
代入y2=4x，可得=0，
∴x1+x2=2+，
∵|DE|=8，
∴2++2=8，
∴y0=±2，x0=1，∴M（1，±2）．
22．已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=x3+x2（x﹣lnx）﹣16x．
（1）求f（x）的单调区间及极值；
（2）求证：g（x）＞﹣20．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间；
（2）求出g（x）≥x3+x2﹣16x，（x＞0），设h（x）=x3+x2﹣16x，（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论即可．
【解答】解：（1）∵f′（x）=1﹣=，（x＞0），
由f′（x）=0得x=1．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
∴x=1是函数f（x）的极小值点，
故f（x）的极小值是1．
（2）证明：由（1）得：f（x）≥1，
∴g（x）≥x3+x2﹣16x，（x＞0），当且仅当x=1时“=”成立，
设h（x）=x3+x2﹣16x，（x＞0），
则h′（x）=（3x+8）（x﹣2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴h（x）min=h（2）=﹣20，
∴h（x）≥﹣20，当且仅当x=2时“=”成立，
因取条件不同，
故g（x）＞﹣20．
2017年2月1日
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