2016-2017学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞0
2．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（ ）
A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（ ）
A． B． C． D．2
4．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．y=±4x B．y=±2x C． D．
5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（ ）
A．7.5 B．7 C．6 D．5
6．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．设Sn为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（ ）
A．12 B． C．55 D．
9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．函数f（x）=的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
12．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是 ．
14．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为 ．
15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为 ．
16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平万千米．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的大小；
（2）若a=5，b=8，求边c的长．
18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x0|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．
（1）写出命题r的否命题；
（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．
19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．
（1）证明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
20．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
21．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C
上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为kOA，kOM，kOB，若kOA，﹣kOM，kOB成等差数列，求直线l的方程．
2016-2017学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x∈R，x3﹣3x≤0，
故选：C
2．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（ ）
A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}
【考点】交集及其运算．
【分析】求解一元二次不等式化简M，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}={x∈N|1＜x＜7}={2，3，4，5，6}，N={x|∉N}，
∴M∩N={2，3，4，5，6}∩{x|∉N}={2，4，5}，
故选：C．
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（ ）
A． B． C． D．2
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出公差d．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，
∴，
解得，d=．
故选：A．
4．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）
A．y=±4x B．y=±2x C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．
【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得
2=4，可得m=4，
即有双曲线的方程为﹣y2=1，
可得双曲线的渐近线方程为y=±x．
故选：C．
5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（ ）
A．7.5 B．7 C．6 D．5
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．
【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，
∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，
∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．
故选：D．
6．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义结合数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，
平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，即C（3，1），此时zmin=﹣3+1=﹣2．
故选：B
7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7
∴x1+x2=5，
∴A、B到y轴的距离之和为5，
故选：D．
8．设Sn为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（ ）
A．12 B． C．55 D．
【考点】数列递推式．
【分析】Sn+1=3Sn，可得数列{Sn}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．
【解答】解：∵Sn+1=3Sn，∴数列{Sn}为等比数列，公比为3．
∴．
∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．
∴Sn=3n﹣1．
∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．
∴a1+a5=55．
故选：C．
9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据空间向量数量积的定义结合向量夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
【解答】解：∵ =（0，，﹣），=（x，0，﹣2），
∴•=（0，，﹣）•（x，0，﹣2）=×2=，
则||==，||=，
若＜，＞=，
则cos＜，＞=cos=，
即==，
平方得，得x2=4，即x=±2，
即“x=2”是“＜，＞=”的充分不必要条件，
故选：A
10．函数f（x）=的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】当x≠0时，f（x）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．
【解答】解：当x=0时，f（0）=0，
当x≠0时，f（x）==≤=，
故函数f（x）=的最大值为，
故选：B
11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可设方程y=x+b，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得a的值，再求出抛物线焦点到准线的距离即可．
【解答】解：设直线为y=x+b，与y=ax2联立方程组，即为，消y可得ax2﹣x﹣b=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=，
∵线段AB的中点C到y轴的距离为1，
∴=1，
解得a=，
∴y=x2，
∴该抛物线焦点到准线的距离a即为，
故选：A
12．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论．
【解答】解：∵A（﹣3，0），B（3，0），P满足|PA|﹣|PB|=4＜|AB|，
∴P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，
则a=2，b2=9﹣4=5，
即双曲线方程为﹣=1，
若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，
则有消去y得16x2+90x﹣325=0，
即（2x﹣5）（8x+65）=0，
得x=或（x=﹣＜0舍），
此时y=，
即点P到z轴的距离为，
故选：A
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是 若x2≤1，则x≤1 ．
【考点】四种命题．
【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，
故答案为：若x2≤1，则x≤1
14．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为 2 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】将椭圆方程转化成标准方程，求得a，b的值，由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2．
【解答】解：由题意可知：椭圆的标准方程：，
焦点在y轴上，a2=7，b2=3，
由c2=a2﹣b2=4，c=2，
∴由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2，
故答案为：2．
15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为 ．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D1EC的距离．
【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，
点E为AB的中点，
以D为原点，建立空间直角坐标系，如图
∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），
D1（0，0，1），
=（0，1，0），=（﹣1，1，0），
=（﹣1，﹣1，1），
设平面D1EC的法向量=（x，y，z），
则，
取y=1，得=（0，1，1），
∴点B到平面D1EC的距离：
d==．
故答案为：．
16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 21 平万千米．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．
【解答】解：由题意画出图象：
且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，
AC=15里=7500米，
在△ABC中，由余弦定理得，
cosB===，
所以sinB==，
则该沙田的面积：即△ABC的面积S=
=
=21000000（平方米）=21（平方千米），
故答案为：21．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求角C的大小；
（2）若a=5，b=8，求边c的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）acosB+bcosA=2ccosC，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC
∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，
sinC≠0，解得cosC=，C∈（0，π），
∴C=．
（2）由余弦定理可得：c2=52+82﹣2×5×8cos=49，
解得c=7．
18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x0|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．
（1）写出命题r的否命题；
（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（1）根据否命题的定义求出r的否命题即可；（2）分别判断p，q，r的真假，从而判断复合命题的真假即可．
【解答】解：（1）命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．
命题r的否命题是：若|x|+|y|＞1，则＞；
（2）命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x0|=5，是假命题，
命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥2=4，是真命题，
若|x|+|y|≤1，则则==﹣1+≥﹣1+=，
故命题r是假命题；
故命题￢p是真命题，p∨r是假命题，p∧q是假命题．
19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．
（1）证明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，
∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB．…
又，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD中点，
∴FG∥EO，∴PB∥FG．…
∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，
∴PB∥平面FMN．…
解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD．…
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），
则，，…
∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一个法向量n0=（0，0，1）．…
设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），
则，即，…
令x=1，则y=﹣1，z=1，∴n=（1，﹣1，1），…
∴．…
由图可知，二面角E﹣AC﹣B为钝角，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…
20．设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．可得2an+1+Sn﹣2=0，利用递推关系可得：an+1=．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）bn=nan2=．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】（1）解：（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．
∴2an+1+Sn﹣2=0，
∴n≥2时，2an+Sn﹣1﹣2=0，可得：2an+1﹣2an+an=0，∴an+1=．
∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为1．
∴an=．
（2）证明：bn=nan2=．
∴数列{bn}的前n项和为Tn=1+++…+，
∴=+…+（n﹣1）×+n，
∴=++…+﹣n=﹣n，
∴Tn=﹣＜．
21．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．
（1）求曲线C的方程；
（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；
（2）求出直线AB的斜率，可得直线DE的方程，利用抛物线的定义建立方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等
∴由抛物线的定义得曲线C为抛物线， =1
∴轨迹方程为：y2=4x．
（2）设M（x0，y0），直线MA的斜率为k，直线MB的斜率为﹣k，k≠0，
直线MA的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），将y2=4x代入整理得到ky2﹣4y+4y0﹣4kx0=0，
则yA=﹣y0，
又yA﹣y0=k（xA﹣x0），整理得到xA=﹣，
将其中的k换成﹣k，得到xB=+，yB=﹣﹣y0，
那么直线AB的斜率k=﹣，
∴直线DE的斜率为，方程为y=（x﹣1），
代入y2=4x，可得=0，
∴x1+x2=2+，
∵|DE|=8，
∴2++2=8，
∴y0=±2，x0=1，∴M（1，±2）．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为kOA，kOM，kOB，若kOA，﹣kOM，kOB成等差数列，求直线l的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；
（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合kOA，﹣kOM，kOB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．
【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=2，b2=1．
∴椭圆C的方程为；
（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．
联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
则．
∵kOA，﹣kOM，kOB成等差数列，
∴kOA+kOB+2kOM=
==
=4k==．
即k=．
∴直线l的方程为y=．
2017年2月1日
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