2016-2017学年湖北省襄阳市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x≤k}，若M⊂N，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[2，+∞）
2．已知复数z1=3+ai，z2=a﹣3i（i为虚数单位），若z1•z2是实数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
3．函数f（x）=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
4．若经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，则a的值为（ ）
A． B． C．10 D．﹣10
5．若x，y满足条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
6．已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（ ）
A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2α
C．cos2β=2cos2α D．cos2β=﹣2cos2α
7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．已知双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥β，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．若a∥b，b∥α，α∥β，则a∥β D．若a⊥α，a⊥β，b⊥β，则b⊥α
11．若定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不相等的实数x1，x2，都有，记：a=4f（0.25），b=0.5f（2），c=0.2f（5），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
12．在数列{an}中，若存在非零实数T，使得成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．若数列{bn}满足bn+1=|bn﹣bn﹣1|，且b1=1，b2=a（a≠0），则当数列{bn}的周期最小时，其前2017项的和为（ ）
A．672 B．673 C．3024 D．1346
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量满足，且，则λ= ．
14．已知x+y=2（x＞0，y＞0），则的最大值为 ．
15．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 ．
16．已知数列{an}，其前n项和为Sn，给出下列命题：
①若{an}是等差数列，则三点共线；
②若{an}是等差数列，则；
③若，则数列{an}是等比数列；
④若，则数列{an}是等比数列．
其中证明题的序号是 ．
三、解答题：（本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
18．（12分）设各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3=64，a2+a4=72．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2））设，Sn是数列{bn}的前n项和，不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
D1
C1
B1
A1
F
E
D
C
B
A
19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．．
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
（2））求证：平面CD1E⊥平面D1DE；
（3）求三棱锥F﹣D1DE的体积．
20．（12分）已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2））如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A，B，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=4lnx﹣x，g（x）=ax2+ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2））若af（x）＞g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
请考生从第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）证明：．
2016-2017学年湖北省襄阳市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={x|x≤k}，若M⊂N，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[2，+∞）
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】求出集合N中不等式的解集，根据两集合的交集为M，利用M⊂N，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围．
【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x≤k}，M⊂N，
∴k≥2．
故选D．
【点评】此题考查交集及其运算，以及集合间的包含关系，比较基础．
2．已知复数z1=3+ai，z2=a﹣3i（i为虚数单位），若z1•z2是实数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接把z1，z2代入z1•z2，再利用复数代数形式的乘法运算化简，由已知条件得虚部等于0，求解即可得答案．
【解答】解：由z1=3+ai，z2=a﹣3i，
得z1•z2=（3+ai）（a﹣3i）=6a+（a2﹣9）i，
∵z1•z2是实数，
∴a2﹣9=0，解得a=±3．
故选：B．
【点评】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．函数f（x）=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】二分法的定义．
【分析】由函数的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+3x﹣7在其定义域上单调递增，
∴f（2）=ln2+2×3﹣7=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+9﹣7=ln3+2＞0，
∴f（2）f（3）＜0．
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（2，3），
故选：C．
【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．
4．若经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，则a的值为（ ）
A． B． C．10 D．﹣10
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．
【分析】求两直线垂直与斜率之间的关系，建立方程，即可求得a的值．
【解答】解：∵经过点（﹣4，a），（﹣2，6）的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直，
∴=﹣1，解得：a=10．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线垂直与斜率之间的关系，是基础的计算题．
5．若x，y满足条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．
【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，
经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．
由，解得A（0，2）．
此时z的最大值为z=2×0﹣2=﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．考查计算能力．
6．已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（ ）
A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2α
C．cos2β=2cos2α D．cos2β=﹣2cos2α
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的条件，可得结论．
【解答】解：∵已知sinθ+cosθ=2sinα，则1+sin2θ=4sin2α，即sin2θ=4sin2α﹣1，
又sin2θ=2sin2β，∴4sin2α﹣1=2sin2β，即4•﹣1=2•，
即 cos2β=2cos2α，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．
7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，
四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，
圆锥的底面半径是1、高是2，
∴所求的体积V==，
故选：B．
【点评】
本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
8．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】数列的应用．
【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数．
【解答】解：设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，
由已知得，
解得a1=1，d=1，
∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
9．已知双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：由题意，，
∴a=2，b=2，
∴双曲线的方程为=1，
故选A．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，直线与圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，考查方程思想，化简、计算能力．
10．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥β，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．若a∥b，b∥α，α∥β，则a∥β D．若a⊥α，a⊥β，b⊥β，则b⊥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、若a∥α，b∥β，则a、b关系不定，不正确；
B、若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α、β平行或相交，不正确；
C、若b∥α，α∥β，则b∥β或b⊂β，又a∥b，则a∥β或a⊂β，不正确；
D、若a⊥α，a⊥β，则α∥β，又b⊥β，则b⊥α，正确．
故选D．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查线线位置关系，属于中档题．
11．若定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不相等的实数x1，x2，都有，记：a=4f（0.25），b=0.5f（2），c=0.2f（5），则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】∴对任意两个不等的正实数x1，x2，都有⇒，令g（x）=，易得g（x）在（0，+∞）上递减即可．
【解答】解：定义域为R的函数f（x）满足：对任意两个不等的实数x1，x2，都有，
∴对任意两个不等的正实数x1，x2，都有⇒，
令g（x）=，易得g（x）在（0，+∞）上递减，a=4f（0.25）=g（0.25），b=0.5f（2）=g（2），c=0.2f（5）=g（5），
∴g（0.25）＞g（2）＞g（5），⇒a＞b＞c．故选：A．
【点评】本题考查了构造新函数，函数的单调性的运用，属于基础题．
12．在数列{an}中，若存在非零实数T，使得成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．若数列{bn}满足bn+1=|bn﹣bn﹣1|，且b1=1，b2=a（a≠0），则当数列{bn}的周期最小时，其前2017项的和为（ ）
A．672 B．673 C．3024 D．1346
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】首先要弄清题目中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期情况分类讨论，从而将a值确定，进而将数列的前2017项和确定．
【解答】解：若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，
该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列；
若其最小周期为2，则有a3=a1，即|a﹣1|=1，a﹣1=1或﹣1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，…，由此可见，此时它并不是以2为周期的数列．
综上所述，当数列{xn}的周期最小时，其最小周期是3，a=1，又2017=3×672+2，
故此时该数列的前2017项和是672×（1+1+0）+2=1346．
故选：D
【点评】此题考查对新概念的理解，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量满足，且，则λ= ±2 ．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】由题意和向量的坐标运算求出的坐标，由向量模的坐标运算列出方程求出λ的值．
【解答】解：因为，，
所以==，
又，则，
解得λ=±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，以及向量模的坐标运算，属于基础题．
14．已知x+y=2（x＞0，y＞0），则的最大值为 6 ．
【考点】基本不等式．
【分析】利用配方法，结合二次函数的图象与性质，即可求出的最大值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=2，
∴2≥2，
∴0＜xy≤1，当且仅当x=y=1时取“=”；
∴=（x+y）2﹣2xy+4
=22﹣2+2=6﹣2≤6，
即的最大值是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．
15．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 [，+∞） ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】由当x＜0时，f（x）=﹣x2，x≥0时，f（x）=x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，计算即可得出答案．
【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣x2递增
，当x≥0时，f（x）=x2递增，
函数f（x）=，在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，
即：t≥（﹣1）x在 x∈[t，t+2]恒成立，
∴t≥（﹣1）（t+2），
解得：t≥，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，难度适中，关键是掌握函数的单调性的运用．
16．已知数列{an}，其前n项和为Sn，给出下列命题：
①若{an}是等差数列，则三点共线；
②若{an}是等差数列，则；
③若，则数列{an}是等比数列；
④若，则数列{an}是等比数列．
其中证明题的序号是 ①② ．
【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．
【分析】①根据等差数列的前n项和公式和和一次函数的性质进行判断；
②若{an}是等差数列，利用等差数列前n项和公式，求出Sm、S2m﹣Sm、S3m﹣S2m（m∈N*）即可判断是否是等差数列；
③首先，根据所给关系式，得到a2=，a3=，从而很容易判断该数列不是等比数列．
④根据等比数列的性质和递推公式进行判断．
【解答】解：①∵等差数列{an}前n项和为Sn=na1+，
∴=（a1﹣）+n，
∴数列{}关于n的一次函数（d≠0）或常函数（d=0），故三点共线，正确；
②设等比数列{an}的公差为d，A=Sm，B=S2m﹣Sm，C=S3m﹣S2m则
B=S2m﹣Sm=am+1+am+2+…+a2m，C=S3m﹣S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m，
则B﹣A=am+1+am+2+…+a2m﹣（a1+a2+…+am）=m2d，
C﹣B=a2m+1+a2m+2+…+a3m﹣（am+1+am+2+…+a2m）=m2d，
则B﹣A=C﹣B，即A，B，C成等差数列，
即成等比数列，正确；
③∵Sn+1=Sn+2，a1=1，
∴a1+a2=a1+2，
解得a2=，
∴a1+a2+a3=（a1+a2）+2，即1++a3=（1+）+2，
解得a3=，
∴≠，
∴数列{an}不是等比数列，错误；
④当an=0时，成立，但是数列{an}不是等比数列，错误；
故答案是：①②．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的基本性质，通过对数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．
三、解答题：（本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2016秋•湖北期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【考点】正弦函数的图象；三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间．
（2）当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数=sin2x+（1+cos2x）
=2（sin2x+cos2x）+=2sin（2x+）+．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
同理，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，
求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）当时，2x+∈[﹣，π]，
故当2x+=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣+=0，
当2x+=时，函数f（x）取得最大值为2+．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间和减区间，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•湖北期末）设各项均为正数的等比数列{an}中，a1a3=64，a2+a4=72．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2））设，Sn是数列{bn}的前n项和，不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）==，利用“裂项求和”方法可得Sn=．数列{Sn}单调递增，因此（Sn）min=．不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，只需loga（a﹣2）＜，利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】（1）解：设数列{an}的公比为q＞0，∵a1a3=64，a2+a4=72．
∴=64， =72，
∴q=2，a1=4
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1．
（2）解： ==，
Sn=+…+=1﹣=．
∴数列{Sn}单调递增，因此（Sn）min=．
不等式Sn＞loga（a﹣2）对任意正整数n恒成立，
只需loga（a﹣2）＜，
由a﹣2＞0得：a＞2，∴，a2﹣5a+4＜0，解得：1＜a＜4，
又a＞2，
∴实数a的取值范围是（2，4）．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2016秋•湖北期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CD1的中点，AA1=AD=1，AB=2．．
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
（2））求证：平面CD1E⊥平面D1DE；
（3）求三棱锥F﹣D1DE的体积．
D1
C1
B1
A1
F
E
D
C
B
A
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，推导出EBMF是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面BCC1B1．
（2）推导出D1D⊥CE，CE⊥DE，从而CE⊥平面D1DE，由此能证明平面CD1E⊥平面D1DE．
（3）由，能求出三棱锥F﹣D1DE的体积．
【解答】证明：（1）过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM，
∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1，FM=C1D1，（2分）
又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1，BE=C1D1，
∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM
又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B1．（4分）
（2）∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D1D⊥CE
在矩形ABCD中，DE2=CE2=2，∴DE2+CE2=4=CD2，（6分）
∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE，
∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE．（8分）
解：（3）三棱锥F﹣D1DE的体积：
=
==．（12分）
【点评】
本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12分）（2016秋•湖北期末）已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2））如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A，B，求实数m的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，根据PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
可得m2+n2=，m+n=2a， =1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）设AB的方程为：y=﹣x+n，与椭圆方程联立化为：5x2﹣8nx+4n2﹣4=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，代入直线y=x+m上，进而得出．
【解答】解：（Ⅰ）设|PF1|=m，|PF2|=n，
∵PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．
∴m2+n2=，m+n=2a， =1，
解得a=2，又c=，∴b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆C的方程为： =1．
（Ⅱ）设AB的方程为：y=﹣x+n．联立，化为：5x2﹣8nx+4n2﹣4=0，
△=64n2﹣20（4n2﹣4）＞0，解得．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=．y1+y2=﹣（x1+x2）+2n=．
线段AB的中点在直线y=x+m上，
∴+m，解得n=m，
代入，可得＜，解得，
∴实数m的取值范围是．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、得出问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2016秋•湖北期末）已知函数f（x）=4lnx﹣x，g（x）=ax2+ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2））若af（x）＞g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f′（x）=，x＞0，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）af（x）＞g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，等价于：4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，由此利用分类讨论思想和构造法，结合导数性质能求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=4lnx﹣x，（2分）
∴f′（x）=，x＞0，
由f′（x）=＞0，解得x＜4；由f′（x）＜0，得x＞4，
∴函数f（x）的单调递增区间是（0，4]，单调递减区间是[4，+∞）．（4分）
（2）af（x）＞g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，
等价于：4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
当a=0时，4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0不成立；
当a＞0时，4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0化为：＜4lnx﹣x2﹣2x，①
当a＜0时，4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0化为：，②
令h（x）=4lnx﹣x2﹣2x，（x＞0），
则h′（x）=﹣2x﹣2=﹣=﹣，（x＞0），（8分）
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h （x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数
∴h（x）max=h（1）=3，（10分）
因此①不成立，要②成立，只要，即a＜﹣．
∴所求a的取值范围是（﹣∞，﹣）．（12分）
【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
请考生从第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2，ρ2=，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．（2015•太原二模）已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）证明：．
【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．
【分析】（Ⅰ）当a=2时，求不等式即|x+2|+|x+|＞3，再利用对值的意义求得它的解集．
（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式，证得要证的结论．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3，即|x+2|+|x+|＞3．
而|x+2|+|x+|表示数轴上的x对应点到﹣2、﹣对应点的距离之和，
而0和﹣3对应点到﹣、对应点的距离之和正好等于3，
故不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣，或 x＞}．
（Ⅱ）证明：∵f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣+a||﹣+|
=（|m+a|+|﹣+a|）+（|m+|+|﹣+|）≥2（|m+|）=2（|m|+||）≥4，
∴要证得结论成立．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于中档题．
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