湖北襄阳市2017届高三数学上学期期末试卷(理科带解析)
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资料简介
‎2016-2017学年湖北省襄阳市高三(上)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合M={x|x2﹣x﹣2<0},N={x|x≤k},若M∩N=M,则k的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,2] B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,+∞) D.[2,+∞)‎ ‎2.已知复数z1=3+ai,z2=a﹣3i(i为虚数单位),若z1•z2是实数,则实数a的值为(  )‎ A.0 B.±3 C.3 D.﹣3‎ ‎3.函数f(x)=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎4.若经过点(﹣4,a),(﹣2,6)的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直,则a的值为(  )‎ A. B. C.10 D.﹣10‎ ‎5.若x,y满足条件,则z=2x﹣y的最小值为(  )‎ A.﹣1 B.1 C.2 D.﹣2‎ ‎6.已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2θ=2sin2β,则(  )‎ A.cosβ=2cosα B.cos2β=2cos2α C.cos2β=2cos2α D.cos2β=﹣2cos2α ‎7.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第十日所织尺数为(  )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎9.已知双曲线过点P(4,2),且它的渐近线与圆相切,则该双曲线的方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.若定义域为R的函数f(x)满足:对任意两个不相等的实数x1,x2,都有,记:a=4f(0.25),b=0.5f(2),c=0.2f(5),则(  )‎ A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a ‎11.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=9,a2a4=21,数列{bn}满足,若Sn>2,则n的最小值为(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎12.已知下列四个命题:p1:若f(x)=2x﹣2﹣x,则∀x∈R,f(﹣x)=﹣f(x);p2:若函数为R上的单调函数,则实数a的取值范围是(0,+∞);p3:若函数f(x)=xlnx﹣ax2有两个极值点,则实数a的取值范围是;p4:已知函数f(x)的定义域为R,f(x)满足且f(x)=f(x+2),,则方程f(x)=g ‎(x)在区间[﹣5,1]上所有实根之和为﹣7.其中真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.等边△ABC的边长为2,则在方向上的投影为  .‎ ‎14.已知x+y=2(x>0,y>0),则的最大值为  .‎ ‎15.已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ln(﹣x)﹣3x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为  .‎ ‎16.已知函数f(x)=x2+2x+a,g(x)=lnx﹣2x,如果存在,使得对任意的,都有f(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共5小题,满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(12分)已知函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当时,求函数f(x)的最大值和最小值.‎ ‎18.(12分)设各项均为正数的等比数列{an}中,a1a3=64,a2+a4=72.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2))设,Sn是数列{bn}的前n项和,不等式Sn>loga(a﹣2)对任意正整数n恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎19.(12分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CD1的中点,AA1=AD=1,AB=2..‎ ‎(1)求证:EF∥平面BCC1B1;‎ ‎(2))求证:平面CD1E⊥平面D1DE;‎ 在线段CD1上是否存在一点Q,使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°,若存在,求 的值,不存在,说明理由.‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ F E D C B A ‎20.(12分)已知椭圆的焦点为F1,F2,P是椭圆C上一点,若PF1⊥PF2,,△PF1F2的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2))如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A,B,求实数m的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=ax2﹣(a+1)x+lnx(a>0),x=是函数的一个极值点.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2))定义:定义域为M的函数y=h(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若>0在M内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.问:函数y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”,若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程](共1小题,满分10分)‎ ‎22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](共1小题,满分0分)‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+a|+|x+|(a>0)‎ ‎(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)>3的解集;‎ ‎(Ⅱ)证明:.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年湖北省襄阳市高三(上)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合M={x|x2﹣x﹣2<0},N={x|x≤k},若M∩N=M,则k的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,2] B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,+∞) D.[2,+∞)‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用.‎ ‎【分析】求出集合N中不等式的解集,根据两集合的交集为M,得到M为N的子集,列出关于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范围.‎ ‎【解答】解:∵M∩N=M,‎ ‎∴M⊆N,‎ ‎∵M={x|﹣1<x<2},N={x|x≤k},‎ ‎∴k≥2.‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题常考了交集及其运算,以及集合间的包含关系,其中根据题意得出M是N的子集是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.已知复数z1=3+ai,z2=a﹣3i(i为虚数单位),若z1•z2是实数,则实数a的值为(  )‎ A.0 B.±3 C.3 D.﹣3‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接把z1,z2代入z1•z2,再利用复数代数形式的乘法运算化简,由已知条件得虚部等于0,求解即可得答案.‎ ‎【解答】解:由z1=3+ai,z2=a﹣3i,‎ 得z1•z2=(3+ai)(a﹣3i)=6a+(a2﹣9)i,‎ ‎∵z1•z2是实数,‎ ‎∴a2﹣9=0,解得a=±3.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.函数f(x)=lnx+3x﹣7的零点所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ ‎【考点】二分法的定义.‎ ‎【分析】由函数的解析式求得f(2)f(3)<0,再根据根据函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=lnx+3x﹣7在其定义域上单调递增,‎ ‎∴f(2)=ln2+2×3﹣7=ln2﹣1<0,f(3)=ln3+9﹣7=ln3+2>0,‎ ‎∴f(2)f(3)<0.‎ 根据函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间是(2,3),‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查求函数的值,函数零点的判定定理,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.若经过点(﹣4,a),(﹣2,6)的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直,则a的值为(  )‎ A. B. C.10 D.﹣10‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的斜率.‎ ‎【分析】求两直线垂直与斜率之间的关系,建立方程,即可求得a的值.‎ ‎【解答】解:∵经过点(﹣4,a),(﹣2,6)的直线与直线x﹣2y﹣8=0垂直,‎ ‎∴=﹣1,解得:a=10.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了两直线垂直与斜率之间的关系,是基础的计算题.‎ ‎ ‎ ‎5.若x,y满足条件,则z=2x﹣y的最小值为(  )‎ A.﹣1 B.1 C.2 D.﹣2‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最小值.‎ ‎【解答】解:作出约束条件对应的平面区域(阴影部分),‎ 由z=2x﹣y,得y=2x﹣z,‎ 平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z,‎ 经过点A时,直线y=2x﹣z的截距最大,此时z最小.‎ 由,解得A(0,2).‎ 此时z的最大值为z=2×0﹣2=﹣2,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎6.已知sinθ+cosθ=2sinα,sin2θ=2sin2β,则(  )‎ A.cosβ=2cosα B.cos2β=2cos2α C.cos2β=2cos2α D.cos2β=﹣2cos2α ‎【考点】三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的条件,可得结论.‎ ‎【解答】解:∵已知sinθ+cosθ=2sinα,则1+sin2θ=4sin2α,即sin2θ=4sin2α﹣1,‎ 又sin2θ=2sin2β,∴4sin2α﹣1=2sin2β,即4•﹣1=2•,‎ 即 cos2β=2cos2α,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥,由三视图求出几何元素的长度,由锥体的体积公式求出几何体的体积.‎ ‎【解答】解:由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥,‎ 四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2,‎ 圆锥的底面半径是1、高是2,‎ ‎∴所求的体积V==,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.‎ ‎ ‎ ‎8.《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第十日所织尺数为(  )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎【考点】数列的应用.‎ ‎【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出第十日所织尺数.‎ ‎【解答】解:设第一天织a1尺,从第二天起每天比第一天多织d尺,‎ 由已知得,‎ 解得a1=1,d=1,‎ ‎∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础的计算题.‎ ‎ ‎ ‎9.已知双曲线过点P(4,2),且它的渐近线与圆相切,则该双曲线的方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线过点P(4,2),且它的渐近线与圆相切,建立方程,求出a,b,即可求出双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:由题意,,‎ ‎∴a=2,b=2,‎ ‎∴双曲线的方程为=1,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,直线与圆相切的条件,以及点到直线的距离公式,考查方程思想,化简、计算能力.‎ ‎ ‎ ‎10.若定义域为R的函数f(x)满足:对任意两个不相等的实数x1,x2,都有,记:a=4f(0.25),b=0.5f(2),c=0.2f(5),则(  )‎ A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a ‎【考点】函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.‎ ‎【分析】∴对任意两个不等的正实数x1,x2,都有⇒,令g(x)=,易得g(x)在(0,+∞)上递减即可.‎ ‎【解答】解:定义域为R的函数f(x)满足:对任意两个不等的实数x1,x2‎ ‎,都有,‎ ‎∴对任意两个不等的正实数x1,x2,都有⇒,‎ 令g(x)=,易得g(x)在(0,+∞)上递减,a=4f(0.25)=g(0.25),b=0.5f(2)=g(2),c=0.2f(5)=g(5),‎ ‎∴g(0.25)>g(2)>g(5),⇒a>b>c.故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了构造新函数,函数的单调性的运用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=9,a2a4=21,数列{bn}满足,若Sn>2,则n的最小值为(  )‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d,由知a1+a2+a3=9,a2a4=21,可得3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21,可得an.由数列{bn}满足,利用递推关系可得bn=,利用错位相减法求出Sn,解不等式Sn>2即可.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,由知a1+a2+a3=9,a2a4=21,‎ 可得3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21⇒a1=1,d=2.‎ ‎∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.‎ ‎, ⇒得,bn==‎ ‎,‎ ‎,,⇒.‎ ‎∵S1=,S2=,S3=,S4=,所以满足Sn>2的n的最小值为4.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列通项公式与错位相减求和、数列递推关系及其单调性,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.已知下列四个命题:p1:若f(x)=2x﹣2﹣x,则∀x∈R,f(﹣x)=﹣f(x);p2:若函数为R上的单调函数,则实数a的取值范围是(0,+∞);p3:若函数f(x)=xlnx﹣ax2有两个极值点,则实数a的取值范围是;p4:已知函数f(x)的定义域为R,f(x)满足且f(x)=f(x+2),,则方程f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上所有实根之和为﹣7.其中真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】p1:根据奇函数的定义判定即可;‎ p2:求出函数的导数,通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的范围即可;‎ p3:先求导函数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点,等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象.由图可求得实数a的取值范围 p4:将方程根的问题转化为函数图象的交点问题,由图象读出即可.‎ ‎【解答】解:关于命题p1:根据奇函数的定义可知,‎ f(﹣x)=2﹣x﹣2x=﹣f(x),故∀x∈R,f(﹣x)=﹣f(x),‎ 故命题p1正确;‎ 关于命题p2:f′(x)=;‎ ‎∴(1)若a>0,x≥0时,f′(x)≥0,‎ 即函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且ax2+1≥1;‎ 要使f(x)在R上为单调函数则x<0时,a(a+2)>0,‎ ‎∵a>0,∴解得a>0,并且(a+2)eax<a+2,‎ ‎∴a+2≤1,解得a≤﹣1,不符合a>0,‎ ‎∴这种情况不存在;‎ ‎(2)若a<0,x≥0时,f′(x)≤0,‎ 即函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且ax2+1≤1;‎ 要使f(x)在R上为单调函数,则x<0时,a(a+2)<0,‎ 解得﹣2<a<0,并且(a+2)eax>a+2,‎ ‎∴a+2≥1,解得a≥﹣1,∴﹣1≤a<0;‎ 综上得a的取值范围为[﹣1,0);‎ 故命题p2是假命题;‎ 关于命题p3:由题意,y′=lnx+1﹣2ax 令f′(x)=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1,‎ 函数y=xlnx﹣ax2有两个极值点,等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点,‎ 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点,‎ 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)‎ 当a=时,直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切,‎ 由图可知,当0<a<时,y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点.‎ 则实数a的取值范围是(0,);‎ 故命题p3正确,‎ 关于命题p4:‎ ‎∵,且f(x+2)=f(x),‎ ‎∴f(x﹣2)﹣2=;‎ 又,‎ ‎∴g(x﹣2)﹣2=,‎ 当x≠2k﹣1,k∈Z时,‎ 上述两个函数都是关于(﹣2,2)对称,‎ ‎;‎ 由图象可得:方程f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的实根有3个,‎ x1=﹣3,x2满足﹣5<x2<﹣4,x3满足0<x3<1,x2+x3=﹣4;‎ ‎∴方程f(x)=g(x)在区间[﹣5,1]上的所有实根之和为﹣7.‎ 故命题p4正确;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查均值不等式,主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷 ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.等边△ABC的边长为2,则在方向上的投影为 ﹣1 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】可求出向量AB,BC的数量积,由在方向上的投影为,计算即可.‎ ‎【解答】解:∵ =||•||•cos(π﹣B)=2×2×(﹣cos)=﹣2,‎ ‎∴在方向上的投影为==﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积的定义,投影概念,注意向量的夹角,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.已知x+y=2(x>0,y>0),则的最大值为 6 .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用配方法,结合二次函数的图象与性质,即可求出的最大值.‎ ‎【解答】解:∵x>0,y>0,x+y=2,‎ ‎∴2≥2,‎ ‎∴0<xy≤1,当且仅当x=y=1时取“=”;‎ ‎∴=(x+y)2﹣2xy+4‎ ‎=22﹣2+2=6﹣2≤6,‎ 即的最大值是6.‎ 故答案为:6.‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎15.已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ln(﹣x)﹣3x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 4x+y﹣1=0 .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】设x>0,则﹣x<0,运用已知解析式和奇函数的定义,可得x>0的解析式,求得导数,代入x=1,计算得到所求切线的斜率,即可求出切线方程..‎ ‎【解答】解:设x>0,则﹣x<0,f(﹣x)=lnx+3x,‎ 由f(x)为奇函数,可得f(﹣x)=﹣f(x),‎ 即f(x)=﹣lnx﹣3x,x>0.‎ 导数为f′(x)=﹣﹣3,‎ 则曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为﹣4,‎ ‎∵f(1)=﹣3,‎ ‎∴.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+3=﹣4(x﹣1),即4x+y﹣1=0,‎ 故答案为4x+y﹣1=0.‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性的定义的运用:求解析式,考查导数的运用:求切线的斜率,求得解析式和导数是解题的关键,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.已知函数f(x)=x2+2x+a,g(x)=lnx﹣2x,如果存在,使得对任意的,都有f(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是 (﹣∞,ln2﹣] .‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】求导函数,分别求出函数f(x)的最小值,g(x)的最小值,进而可建立不等关系,即可求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:求导函数,可得g′(x)=﹣2=,x∈[,2],g′(x)<0,‎ ‎∴g(x)min=g(2)=ln2﹣4,‎ ‎∵f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a﹣1,‎ ‎∴f(x)在[,2]上单调递增,‎ ‎∴f(x)min=f()=+a,‎ ‎∵如果存在,使得对任意的,都有f(x1)≤g(x2)成立,‎ ‎∴+a≤ln2﹣4,‎ ‎∴a≤ln2﹣‎ 故答案为(﹣∞,ln2﹣]‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,解题的关键是转化为f(x)min≤g(x)min.‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共5小题,满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(12分)(2016秋•湖北期末)已知函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当时,求函数f(x)的最大值和最小值.‎ ‎【考点】正弦函数的图象;三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,求得函数f(x)的单调区间.‎ ‎(2)当时,利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:(1)函数=sin2x+(1+cos2x)‎ ‎=2(sin2x+cos2x)+=2sin(2x+)+.‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,‎ 可得函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.‎ 同理,令2kπ+≤2x+≤2kπ+,‎ 求得kπ+≤x≤kπ+,可得函数的增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.‎ ‎(2)当时,2x+∈[﹣,π],‎ 故当2x+=﹣时,函数f(x)取得最小值为﹣+=0,‎ 当2x+=时,函数f(x)取得最大值为2+.‎ ‎【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的增区间和减区间,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016秋•湖北期末)设各项均为正数的等比数列{an}中,a1a3=64,a2+a4=72.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2))设,Sn是数列{bn}的前n项和,不等式Sn>loga(a﹣2)对任意正整数n恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎(2)==,利用“裂项求和”方法可得Sn=.数列{Sn}单调递增,因此(Sn)min=.不等式Sn>loga(a﹣2)对任意正整数n恒成立,只需loga(a﹣2)<,利用对数函数的单调性即可得出.‎ ‎【解答】(1)解:设数列{an}的公比为q>0,∵a1a3=64,a2+a4=72.‎ ‎∴=64, =72,‎ ‎∴q=2,a1=4‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n+1.‎ ‎(2)解: ==,‎ Sn=+…+=1﹣=.‎ ‎∴数列{Sn}单调递增,因此(Sn)min=.‎ 不等式Sn>loga(a﹣2)对任意正整数n恒成立,‎ 只需loga(a﹣2)<,‎ 由a﹣2>0得:a>2,∴,a2﹣5a+4<0,解得:1<a<4,‎ 又a>2,‎ ‎∴实数a的取值范围是(2,4).‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、对数函数的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016秋•湖北期末)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是AB,CD1的中点,AA1=AD=1,AB=2..‎ ‎(1)求证:EF∥平面BCC1B1;‎ ‎(2))求证:平面CD1E⊥平面D1DE;‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ F E D C B A 在线段CD1上是否存在一点Q,使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°,若存在,求的值,不存在,说明理由.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(1)过F作FM∥C1D1交CC1于M,连结BM,推导出EBMF是平行四边形,从而EF∥BM,由此能证明EF∥平面BCC1B1.‎ ‎(2)推导出D1D⊥CE,CE⊥DE,从而CE⊥平面D1DE,由此能证明平面CD1E⊥平面D1DE.‎ ‎(3)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系,利用向量法能求出线段CD1上存在一点Q,使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°,且 ‎=.‎ ‎【解答】证明:(1)过F作FM∥C1D1交CC1于M,连结BM,‎ ‎∵F是CD1的中点,∴FM∥C1D1,FM=C1D1,(2分)‎ 又∵E是AB中点,∴BE∥C1D1,BE=C1D1,‎ ‎∴BE∥FM,BE=FM,EBMF是平行四边形,‎ ‎∴EF∥BM 又BM在平面BCC1B1内,∴EF∥平面BCC1B1.‎ ‎(4分)‎ ‎(2)∵D1D⊥平面ABCD,CE在平面ABCD内,‎ ‎∴D1D⊥CE 在矩形ABCD中,DE2=CE2=2,‎ ‎∴DE2+CE2=4=CD2,(6分)‎ ‎∴△CED是直角三角形,∴CE⊥DE,‎ ‎∴CE⊥平面D1DE,‎ ‎∵CE在平面CD1E内,∴平面CD1E⊥平面D1DE.(8分)‎ 解:(3)以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系,‎ 则C(0,2,0),E(1,1,0),D1(0,0,1)‎ 平面D1DE的法向量为=(﹣1,1,0),‎ 设=(0,2λ,﹣λ),(0<λ<1),则Q(0,2λ,1﹣λ),‎ 设平面DEQ的法向量为=(x,y,z),‎ 则,令y=1,则=(﹣1,1,),(10分)‎ ‎∵二面角Q﹣DE﹣D1为45°,∴cos45°===,‎ 由于0<λ<1,∴﹣1,‎ ‎∴线段CD1上存在一点Q,使得二面角Q﹣DE﹣D1为45°,且 ‎=.(12分)‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2016秋•湖北期末)已知椭圆的焦点为F1,F2,P是椭圆C上一点,若PF1⊥PF2,,△PF1F2的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2))如果椭圆C上总存在关于直线y=x+m对称的两点A,B,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设|PF1|=m,|PF2|=n,根据PF1⊥PF2,,△PF1F2的面积为1.‎ 可得m2+n2=,m+n=2a, =1,联立解出即可得出.‎ ‎(Ⅱ)设AB的方程为:y=﹣x+n,与椭圆方程联立化为:5x2﹣8nx+4n2﹣4=0,△>0,设A(x1,y1),B(x2,y2).利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点坐标,代入直线y=x+m上,进而得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设|PF1|=m,|PF2|=n,‎ ‎∵PF1⊥PF2,,△PF1F2的面积为1.‎ ‎∴m2+n2=,m+n=2a, =1,‎ 解得a=2,又c=,∴b2=a2﹣c2=1.‎ ‎∴椭圆C的方程为: =1.‎ ‎(Ⅱ)设AB的方程为:y=﹣x+n.联立,化为:5x2﹣8nx+4n2﹣4=0,‎ ‎△=64n2﹣20(4n2﹣4)>0,解得.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=.y1+y2=﹣(x1+x2)+2n=.‎ 线段AB的中点在直线y=x+m上,‎ ‎∴+m,解得n=m,‎ 代入,可得<,解得,‎ ‎∴实数m的取值范围是.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、得出问题,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2016秋•湖北期末)已知函数f(x)=ax2﹣(a+1)x+lnx(a>0),x=是函数的一个极值点.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2))定义:定义域为M的函数y=h(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若>0在M内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.问:函数y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“‎ 类对称点”,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)利用导数和函数的极值的关系,进而即可得出答案;‎ ‎(2)利用“类对称点”的定义及导数即可得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)∵f′(x)=ax﹣a﹣1+,‎ 当a=1时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,无极值,‎ 当<1时,即a>1时,在区间(﹣∞,),(1,+∞)上,f′(x)>0,函数单调递增,‎ 在(,1)上,f′(x)<0,函数单调递减,‎ ‎∴当x=时,函数有极大值,故=,解得a=4,‎ 当>1时,即0<x<1时,在区间(﹣∞,1),(,+∞)上,f′(x)>0,函数单调递增,‎ 在(1,,)上,f′(x)<0,函数单调递减,‎ 当x=1时,函数f (x)有极大值,不满足条件 故求实数a的值为4.‎ ‎(2)由(Ⅰ)可得f(x)=2x2﹣5x+lnx,‎ ‎∴f′(x)=4x﹣5+=,‎ 点(x0,f(x0))处的切线方程为l:y=g(x)=(x﹣x0)+2x02﹣5x0+lnx0,‎ 函数y=f(x)存在“类对称点“等价于:‎ 当0<x<x0时,f(x)﹣g(x)<0恒成立,‎ 当x>x0时,f(x)﹣g(x)>0恒成立,‎ 令φ(x)=f(x)﹣g(x)=2x0x2﹣(4x02+1)x+x0lnx+2x03+x0﹣x0lnx0,‎ 则φ(x0)=2x03﹣4x03﹣x0+x0lnx0+2x03+x0﹣x0lnx0=0,‎ ‎∴φ′(x)= [4x0x2﹣(4x02+1)+x0]=(4x0x﹣1)(x﹣x0)‎ 当0<x<x0时,要使f(x)﹣g(x)<0恒成立,只需要φ(x)在(0,x0)是增函数,‎ 只要4x0x﹣1<0,即x<在(0,x0)上恒成立,‎ ‎∴x0≤,‎ 解得0<x0≤,‎ 当x>x0时,f(x)﹣g(x)>0恒成立,只需要φ(x)在(x0,+∞)是增函数,‎ 只要4x0x﹣1>0,即x>在(x0,+∞))上恒成立,‎ ‎∴x0≥,‎ 解得x0≥,‎ ‎∴存在“类对称点”,”类对称点“的横坐标为 ‎【点评】本题考察了函数的单调性,导数的应用,新概念的引出,渗透了分类讨论思想,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程](共1小题,满分10分)‎ ‎22.(10分)(2015•新课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1和ρ2的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2,‎ 故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:‎ ‎(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,‎ 化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.‎ ‎(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入 圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,‎ 可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,‎ 求得ρ1=2,ρ2=,‎ ‎∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,‎ ‎△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=.‎ ‎【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲](共1小题,满分0分)‎ ‎23.(2015•太原二模)已知函数f(x)=|x+a|+|x+|(a>0)‎ ‎(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)>3的解集;‎ ‎(Ⅱ)证明:.‎ ‎【考点】绝对值三角不等式;基本不等式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当a=2时,求不等式即|x+2|+|x+|>3,再利用对值的意义求得它的解集.‎ ‎(Ⅱ)由条件利用绝对值三角不等式、基本不等式,证得要证的结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)>3,即|x+2|+|x+|>3.‎ 而|x+2|+|x+|表示数轴上的x对应点到﹣2、﹣对应点的距离之和,‎ 而0和﹣3对应点到﹣、对应点的距离之和正好等于3,‎ 故不等式f(x)>3的解集为{x|x<﹣,或 x>}.‎ ‎(Ⅱ)证明:∵f(m)+f(﹣)=|m+a|+|m+|+|﹣+a||﹣+|‎ ‎=(|m+a|+|﹣+a|)+(|m+|+|﹣+|)≥2(|m+|)=2(|m|+||)≥4,‎ ‎∴要证得结论成立.‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式、基本不等式的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎

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