玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期中考试
理科数学试卷
命题人：金志文
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.
1．已知集合M={x|2x1}，N={x|﹣2x2}，则RM∩N=（ ）
A．[﹣2，1] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，2]
2．“x2”是“x2+x﹣60”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则a，b，c三者的大小关系是（ ）
A．bca B．bac C．abc D．cba
4．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（ ）
A．16 B．22 C．29 D．33
6．直线2x+3y﹣9=0与直线6x+my+12=0平行，则两直线间的距离为（ ）
A． B． C．21 D．13
7．某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方
格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体
积为（ ）
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知m，nR，且m﹣2n+6=0，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能
是（ ）
A．求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和
B．求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和
C．求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和
D．求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和
11．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底
面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，
若四棱锥的体积为，则该球的体积为（ ）
A．64π B．8π
C．24π D．6π
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣2）的对称轴为x=2，f（x+1）= （f（x）≠0），且f（x）在区间（1，2）上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（ ）
A．f（sinα）f（cosβ） B．f（sinα）f（cosβ）
C．f（sinα）=f（cosβ） D．以上情况均有可能
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．在等比数列{an}中，已知=8，则=__________
14． 已知变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x-y的最大值是________
15．将函数f（x）=sin(2x)的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是__________
16．由直线x+2y﹣7=0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为__________
二．解答题（共6小题）
17．(本小题满分10分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=，a2+b2=10，求△ABC的面积．
18．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
[10，15）
10
0.25
[15，20）
25
n
[20，25）
m
p
[25，30）
2
0.05
合计
M
1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
19．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=AB=1，点E在棱AB上移动．
（1）证明： B1C⊥平面D1EA；
（2）若BE=，求二面
角D1﹣EC﹣D的大小．
20．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=nan﹣2n（n﹣1），首项=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Mn，求证：Mn．
21．(本小题满分12分)已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y=2x﹣8相切于点P（4，0）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程．
22．(本小题满分12分)已知函数（kR），且满足f（﹣1）=f（1）．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数，x[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期中考试
理科数学试卷答案
一． 选择题（共12小题）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
A
A
C
B
B
C
A
C
B
A
二、填空题
13． 4 14．2
15． 16．
二．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，
∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin（B+C）=sinA，
∴cosC=，∵0＜C＜π，∴∠C=．（5分）
（2）∵c=，a2+b2=10，，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
即7=10﹣ab，解得ab=3，
∴△ABC的面积S===．（5分）
18． 【解答】（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M=40．
因为频数之和为40，所以．
因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以．（4分）
（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．（7分）
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人
设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30）内的人为{b1，b2}．
则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分）
而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为．（12分）
19．
（6分）
（6分）
20．【解答】解：（1）Sn=nan﹣2n（n﹣1），
当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1﹣2（n﹣1）（n﹣2），
相减可得an=nan﹣2n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1+2（n﹣1）（n﹣2），
化为an=an﹣1+4，
则{an}为首项为1，公差为4的等差数列，
即有an=1+4（n﹣1）=4n﹣3；（6分）
（2）证明：==（﹣），
前n项和为Mn=（1﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣），
由（1﹣）在自然数集上递增，可得n=1时取得最小值，
且（1﹣）＜，
则≤Mn＜．（6分）
21．【解答】解：（1）由已知，得圆心在经过点P（4，0）且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，
所以求得圆心C（2，1），半径为．
所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（6分）
（2）①当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，即.
因为|MN|=2，圆C的半径为，所以圆心到直线的距离d=2
,解得，所以直线,
②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意
综上直线l为或x=4（12分）
22．已知函数（kR），且满足f（﹣1）=f（1）．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数，x [0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）=f（1），
即∴（3分）
（2）由题意知方程即方程无解，
令，则函数y=g（x）的图象与直线y=a无交点
∵
任取x1、x2R，且x1＜x2，则，
∴．∴，
∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是单调减函数．
∵，∴．
∴a的取值范围是（﹣∞，0]．（7分）
注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分． …9分
（3）由题意h（x）=4x+m×2x，x [0，log23]，
令t=2x [1，3]，φ（t）=t2+mt，t [1，3]，
∵开口向上，对称轴．
当，，m=﹣1
当，，m=0（舍去）
当，即m＜﹣6，φ（t）min=φ（3）=9+3m=0，m=﹣3（舍去）
∴存在m=﹣1得h（x）最小值为0（12分）
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