赣州市2018-2019学年第一学期五校期中联考
高三数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知 则等于（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减少的 B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减少的 D．在x＝2处取极大值
5. （ ）
A．0 B． C． D．1
6．下列求导运算正确的是( )
A．(cos x)′＝sin x B．(ln 2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2ex)′＝2xex
7 ．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式为( )
A．y＝sin x B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
8.三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9.函数错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
10.已知＝5，则tanα的值是( )
A. B．2 C．－2 D．－
11.已知错误！未找到引用源。是定义在错误！未找到引用源。上的奇函数，当错误！未找到引用源。时， 错误！未找到引用源。，则函数错误！未找到引用源。的零点的集合为（ ）
A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。
12. 对于函数错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。，若存在错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。，则称函数错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。互为“零点密切函数”，现已知函数错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。互为“零点密切函数”，则实数错误！未找到引用源。的取值范围是( )
A．[3,4] B.[1,2] C.[-1,3] D.[-3,1]
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sin(π－θ)＝－，且θ∈，则tan(2π－θ)＝
14.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)1时求函数g(x)的最小值.
18.（12分）已知函数f(x)＝4cosωx·sin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间上的单调增区间．
19．（12分）已知△ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csin A＝
acos C.
(1)求角C；
(2)若c＝，且sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，求△ABC的面积．
20. （12分）已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.
(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围.
21．（12分）已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
22．（12分）设函数，，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若存在极值点，且，其中，求证：.
赣州市2018-2019学年第一学期五校期中联考
高三数学（理科）试卷参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
C
B
B
C
D
D
B
D
A
二．填空题：
13. 14. (3,5) 15. 7 16．
三．解答题：共70分。解答题应写出文字说明，证题过程或演算步骤。
17.（10分）
解：（1）若x>0,则-x0),
∴f(x)= --------5分
(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,
当a>1时，a+1>2，g(x)=x2-2x-2ax+2)在[1,2]上单调递减， ----------8分
g(x)在[1,2]上的最小值为g(2)=2-4a 。 ----------10分
18. （12分）
解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋. ------4分
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1. -----6分
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤. ------7分
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
综上可知，f(x)在区间上单调递增。 ------------ 12分
19．（12分）
解：(1)根据＝，可得csin A＝asin C， ----------2分
又因为csin A＝acos C，所以asin C＝acos C， ---------4分
所以sin C＝cos C，所以tan C＝＝，
因为C∈(0，π)，所以C＝. ------------6分
(2)因为sin C＋sin(B－A)＝5sin 2A，sin C＝sin(A＋B)，
所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝5sin 2A，
所以2sin Bcos A＝5×2sin Acos A.
因为△ABC为斜三角形，所以cos A≠0，
所以sin B＝5sin A. ----------8分
由正弦定理可知b＝5a， ①
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以21＝a2＋b2－2ab×＝a2＋b2－ab， ②
由①②解得a＝1，b＝5， -----------10分
所以S△ABC＝absin C＝×1×5×＝. ---------12分
20. （12分）
解：(1)f′(x)＝－3x2＋12.
当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.
当f′(x)＞0时，－2＜x＜2；当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2.
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增．-------3分
∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m. ，
f(x)极大值＝f(2)＝16＋m.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32. ---------------6分
(2)由(1)知要使函数y＝f(x)有三个零点，必须----------10分
即∴－16＜m＜16.
∴m的取值范围为(－16,16)． --------------12分
21．（12分）
解：(1)由已知得f′(x)＝，
所以f′(1)＝1＝a，所以a＝2. --------3分
又因为g(1)＝0＝a＋b，所以b＝－1，
所以g(x)＝x－1. --------6分
(2)因为φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数．
所以φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立． --------9分
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
因为x＋∈[2，＋∞)，
所以2m－2≤2，m≤2.
故实数m的取值范围是(－∞，2]． ----------12分
22．（12分）
解：（1）由，可得，下面分两种情况讨论：
① 时，有恒成立，所以的单调递增区间为．-----2分
②当时，令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表：
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．---6分
（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且．由题意，
得，即， -----7分
进而，
又，且， ---------10分
由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，
因此，所以． -------- 12分
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