2018年秋九年级期中考试数学科试卷
一、选择题（每题4分，共40分）.
1.下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.若 是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4.用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C. D．
5．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．1cm，cm，2cm，cm
C．1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cm D．1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为.若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C. D．
8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C. D．
9．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C． D．
10．如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）．
11.使有意义的的取值范围是 ．
12.方程的根是
13．小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是 米．
14．已知2＜a＜3，化简： ．
15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= ．
16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD= ； ②图中阴影部分面积为 ．
三、解答题（共86分）．
17．计算：(8分)
(1)(2－4＋3)×5； (2)－－＋(－1)0.
18.解方程： (8分)
19．先化简，再求值： ，其中 (8分)
20．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2=0．求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．(8分)
21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。(请根据题意画出图形，写出已知， 求证并证明) (8分)
22. (8分)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
23．(8分)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，1），将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD（点A与点C对应，点B与D对应）．
（1）请在图中画出线段CD；
（2）请直接写出点A、B的对应点坐标C（______，______），D（______，______）；
（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标（___，___）．
24．(8分)如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）当AD= ，时，求AF的长．
25. (10分) 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了%，但销售均价比去年减少了%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求的值．
26. (12分) 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．
（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 （填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=DB（其中0＜＜ ），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．
2018年秋九年级期中考试数学科试卷参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）.
1.下列根式是最简二次根式的是（C）
A． B． C． D．
2.下列计算，正确的是（D）
A． B． C． D．
3.若 是方程 的一个根，则 的值为（D）
A． B． C． D．
4.用配方法解方程时，配方结果正确的是（ B ）
A． B． C. D．
5．已知 ，则 的值为（ D ）
A． B． C． D．
6．下列各组线段的长度成比例的是（ B ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．1cm，cm，2cm，cm
C．1.5cm，2.5cm，4.5cm， 6.5cm D．1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm
7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为.若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ A ）
A． B．
C. D．
8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ D ）
A． B． C. D．
9．如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（D）
A．∠C=∠E B．∠B=∠ADE C． D．
10．如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为（C）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）．
11.使有意义的的取值范围是 x≥6 ．
12.方程的根是 ,
13．小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是 4 米．
14．已知2＜a＜3，化简： 1 ．
15．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= 1 ．
16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD= 10 ； ②图中阴影部分面积为 ．
三、解答题（共86分）．
17．计算：
(1)(2－4＋3)×5； (2)－－＋(－1)0.
(1)原式＝80－10；
(2)原式＝＋1.
18.解方程：
解：（x-3）(x-1)=3
x2-4x+3=3，
x2-4x=0，
x(x-4)=0,
x1=0,x2=4.
19．先化简，再求值： ，其中
解：原式=x2﹣2+x﹣x2=x﹣2，
当x= +2时，
原式= +2﹣2= ．
20．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣2=0．求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
证明：∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m﹣2）
=4m2+4m+1﹣4m2﹣4m+8=9＞0，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根．
21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。(请根据题意画出图形，写出已知， 求证并证明)
22.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得
2（1+x）2=2.88，
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．
（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4
答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
23．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，﹣1），B（3，1），将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD（点A与点C对应，点B与D对应）．
（1）请在图中画出线段CD；
（2）请直接写出点A、B的对应点坐标C（______，______），D（______，______）；
（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标（___，___）．
解：（1）如图，CD为所作；
（2）C（1，1），D（﹣1，4）；
（3）P（0.5，0）．
故答案为1，1；﹣1，4；0.5，0．
24．如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）当AD= ，时，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠D=90°，
∴△ABF∽△EAD．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=2
∵=，
∴DE=CD=，
在Rt△ADE中，AE===，
∵△ABF∽△EAD，
∴=，
∴=，
∴AF=2．
25. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了%，但销售均价比去年减少了%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求的值．
解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y1=0，y2=0.125
∴m1=0（舍去），m2=12.5
∴m2=12.5，
答：m的值为12.5．
26. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．
（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS （填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=DB（其中0＜＜ ），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．
解答证明：（1）如图2，
作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=BC，
∴BC=2AE，
故答案为AAS
（2）如图3，
连接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，
∴AD=CD，
∵点E是DC中点，
∴DE=CD=AD，
∴tan∠DAE===，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE=，
∴，
∴CG=×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∵CD=AC，CE=CD=AC，
∴，
∴AC=4；
∴AB=4；
（3）如图4，
过点D作DG⊥BC，设DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG=a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），
过点A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°．
∴BH=a（k+1），
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2a（k+1），
∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），
过D作DN⊥AC交CA延长线与N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN=ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC．
∴，
∴，
∴NE=3ak（2k+1），
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），
∴=．
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