高二数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若方程表示一个圆,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.以和为端点的线段的中垂线方程是( )
A. B. C. D.
3.给出下列四个命题:
①已知,是常数,“”是“表示双曲线的充分不必要条件”;
②命题:“,”的否定是:“,”;
③已知命题和,若是假命题,则与中必一真一假;
④命题“若,则”的逆命题是假命题.
其中真命题的序号是( )
A.①②④ B.①③④ C.②④ D.②③
4.已知双曲线的焦距为10,点在的渐近线上,则的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知向量,(),则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.若直线与直线平行,则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
7.椭圆内有一点,则以为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.与圆外切,同时与圆内切的圆的圆心在( )
A.一个圆上 B.一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D.一条抛物线上
9.设表示两条不同的直线,表示三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则;
②若,,则;
③若,,则;
④若,,,则.
其中正确命题的序号是( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④
10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于,两点,为坐标原点,若双曲线的离心率为2,的面积为.则的值为( )
A.1 B. C.2 D.3
第Ⅱ卷(共80分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
12.以抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .
13.已知直线与圆交于两点,若,则直线在轴上的截距为 .
14.设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且满足,,则的值等于 .
15.已知椭圆与轴的正半轴交于点,若在第一象限的椭圆上存在一点,使得(为坐标原点),则该椭圆离心率的取值范围是 .
三、解答题 (本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16. (本小题满分12分)
已知圆经过点和且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)求倾斜角为且与圆相切的直线的方程.
17. (本小题满分12分)
如图:在斜三棱柱中,四边形是菱形,四边形是矩形,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
18. (本小题满分12分)
设抛物线的焦点为,是抛物线上横坐标为4的点,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点且斜率为1的直线交抛物线于两点,为坐标原点,求的面积.
19. (本小题满分12分)
在如图所示的几何体中,平面,,四边形为矩形,,,是棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为,且与直线相交于两点.
(1)若椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点,且以椭圆上任一点和左右焦点,为顶点的的周长为,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,求弦的长;
(3)当椭圆的离心率满足,且以为直径的圆经过坐标原点,求椭圆长轴长的取值范围.
天津市部分区2016~2017学年度第一学期期末考试
高二数学(理科)试卷参考答案
一、选择题
1-5:ADCBD 6-10:DABBC
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题
16.解:(1)解法一:
所以圆的方程为 . …………………………………………6分
解法二:
依题意易得线段的中垂线方程为 .…………………………………3分
联立方程组
解得
所以圆心 ,
所以圆 的方程为 .………………………………………6分
(2)直线的倾斜角为
∴ ………………………………………8分
∴可设直线的方程为
由(Ⅰ)可知圆心到直线的距离
………………………………………11分
解得
∴直线的方程为 ………………………………………12分
17.解:(1)
∴
∴………………2分
又四边形是矩形
∴………………3分
又
∴平面
又平面
∴平面平面 ………………………………………6分
(2)取的中点,连结
,
∴为正三角形
∴ …………………………8分
由(Ⅰ)可知平面
平面]
∴平面平面
又平面平面
∴平面
∴是在平面上的投影
∴是直线与平面所成的角 …………………………10分
在中,
∴
∴直线与平面所成角的正切值为. …………………………12分
18. 解:(1)抛物线的准线方程为:
由抛物线的定义可知:
∴
∴抛物线的标准方程为. …………………………………………4分
(2)由已知,,直线的方程为,……………………6分
联立 消得:,
所以 ……………………………8分
所以 , …………………10分
又因为到直线的距离 ,
所以 . ……………………………………12分
19.解:
(1)连接交于,连接
四边形为矩形
∴为的中点,
又是中点
∴ ………………………………2分
,
∴ ………………………………3分
(2)如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,
依题意得,,,,,,,………………………………………………4分
易得, …………………5分
………………………6分
∴所求异面直线与所成角的余弦值为………………………7分
(3)由题意可知:
平面的一个法向量为 …………………………8分
又可解得
故设平面的一个法向量为
则即不妨令,可得 ……10分
于是
所以二面角的余弦值为 …………………………12分
20. 解: (1)由题意可知: …………………………1分
…………………………2分
∴
∴
∴椭圆的方程为: ……………………………3分
(2) 设点,
由方程组消去,整理得 ………………4分
求解可得, ………………………………5分
………………………………6分
(3)由方程组
消去,整理得
设点,
, ……………………………7分
以为直径的圆经过坐标原点,∴
∴
∴① ……………………………8分
又 ∴
由①可知 ………………………………10分
∴
∴ ∴ ……………………………12分