武汉二中2016—2017学年度上学期期末考试
高二数学试卷
命题学校:武汉二中 命题教师: 审题教师:
试卷满分:150分
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.在武汉二中选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A、6 B、8 C、10 D、12
2.已知,命题“若,则”的否命题是( )
A、若,则 B、若,则
C、若,则 D、若,则
3.设是区间上的函数,如果对任意满足的都有,则称是上的升函数,则是上的非升函数应满足( )。
A、存在满足的使得
B、不存在满足且
C、对任意满足的都有
D、存在满足的都有
4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )
A、3 B、4 C、5 D、6
5.已知集合满足,则满足条件的组合
共有( )组。
A、4 B、8 C、9 D、27
6.设表示三条不同的直线,表示三个不同的平面,给出下列四个命题:①若,则;②若,是在内的射影,,则;③若,则其中真命题的个数为( )
A、0 B、1 C、2 D、3
7.“”是“直线与直线相互垂直”的( )条件。
A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分也非必要
8.已知中,,,在斜边上任取一点,则满足的概率为( )
A、 B、 C、 D、
9.如图,一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点,
再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点,则
它可以爬行的不同的最短路径有( )条。
A、40 B、60 C、80 D、120
10.已知椭圆和点、,若椭圆的某弦的中点在线段上,且此弦所在直线的斜率为,则的取值范围为( ) 。
A、 B、 C、 D、
11.如图,在四棱锥中,侧面是边长为4的正三角形,
底面为正方形,侧面⊥底面,为底面
内的一个动点,且满足,则点到直线的最短距
离为( )。
A、 B、 C、 D、
12.已知双曲线的离心率为2,过右焦点作直线交该双曲线于、两点,为轴上一点,且,若,则( )。
A、2 B、4 C、8 D、16
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.将4034与10085的最大公约数化成五进制数,结果为 。
14.我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军!在一次比赛中,需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组(一组3个队,一组4个队)进行小组预赛,则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为 。
15.在四棱柱中,底面为矩形,,且。则异面直线与所成角的余弦值为 。
16.如图,为抛物线上的两点,为抛物线的焦点
且,为直线上一点且横坐标为,连结
。若,则 。
三、解答题(第17题10分,其余每题12分,共计70分)
17.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算:
(1)能组成多少个没有重复数字的三位数?
(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数?
(3)求即144的所有正约数的和。
(注:每小题结果都写成数据形式)
18.已知命题:不等式对任意实数恒成立;命题:存在实数满足;命题:不等式有解。(1)若为真命题,求的取值范围.(2)若命题、 恰有两个是真命题,求实数的取值范围。
19.水是万物之本、生命之源,节约用水,从我做起。我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9
组,制成了如图所示的频率分布直方图。(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
20.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由。
21.甲乙两人下棋比赛,规定谁比对方先多胜两局谁就获胜,比赛立即结束;若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛。比赛过程中,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛相互独立。求:(1)比赛两局就结束且甲获胜的概率;(2)恰好比赛四局结束的概率;(3)在整个比赛过程中,甲获胜的概率。
22.已知椭圆C: ()的离心率为 ,,,,的面积为1。(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为2的直线与椭圆交于、两点,求直线的方程;(3)在上是否存在一点使得过的任一直线与椭圆若有两个交点、则都有为定值?若存在,求出点的坐标及相应的定值。
武汉二中2016—2017学年度上学期期末考试
高二数学参考答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
A
B
D
C
B
C
B
A
C
C
二、填空题
13、 14、 15、 16、
三、解答题
17、解:(1)百位数子只能是2、3、4、6中之一,百位数字确定后,十位和个位
数字的组成共有种方法,所以可以组成没有重复数字的三位数共有
个 分
(2)由题意,能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成。共有
个 分
(3), ∴ 144的所有正约数的和为
10 分
18、解:(1)若命题为真命题,则对任意实数恒成立
∴ ,即。3分
若命题为真命题,则,
∴
又∵为真命题, ∴ 6分
即的取值范围为 7分
(2)若不等式有解,则
当时,显然有解;当时,有解;
当时,∵有解, ∴ , ∴,
∴ 不等式有解等价于,10分
∴ 若命题、 恰有两个是真命题,则必有或
即的取值范围为。12分
19、解:(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1
∵ 频率=(频率/组距) 组距
∴
∴ 4分
(2)由图,不低于3吨人数所占百分比为
∴ 全市月均用水量不低于3吨的人数为:(万) 8分
(3)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:
即的居民月均用水量小于2.5吨,
同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故
假设月均用水量平均分布,则(吨).
注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。 12分
20、(1)证明:∵ 面面,,
∴ 面 ∴
又∵ ∴ 面 ∴ 3分
(2)取中点为,连结,,
∵ ∴ ∵ ∴
以为原点,如图建系,易知,,,,
则,,,。
设为面的法向量,则
,则与面夹角有
7分
(3)假设存在点使得面,设,,由(2)知,,,,,
∴ ,
∵ 面,为的法向量, ∴
即 ∴
综上所述,存在点,即当时,点即为所求。 12分
21、解:(1)由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜,概率为
; 3分
(2)由题意知前两局比赛为平手,第三、第四局比赛为同一个人胜,其概率为
; 7分
(3)由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手,第三、第四比赛两人也为平手,第五、第六局都为甲获胜,或者在第一、第二局比赛两人为平手,第三、第四局比赛两人也为平手,第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜。其概率为
。12分
22、解:(1)由已知,,又,解得,
∴ 椭圆的方程为。 3分
(2)设直线的方程为,则由可得,
即
∵ ∴
∴ 直线的方程为即。7分
(3)设、、,当直线不为轴时的方程为,
联立椭圆方程得:
8分
10分
∴ 当且仅当即时
(定值)。
即 在轴上存在点使得为定值5,点的坐标为或。 经检验,当直线为轴时上面求出的点也符合题意。
12分
(也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论)