26.3 第1课时 二次函数问题的实际应用
知识点 1 二次函数与运动路线问题
1.小斌在今年的学校秋季运动会跳远比赛中跳出了满意的一跳,如图26-3-1,函数h=3.5t-4.9t2(t的单位:s,h的单位:m)可以描述他跳跃时重心高度随时间的变化情况,则他起跳后到重心最高时所用的时间大约是( )
图26-3-1
A.0.71 s B.0.70 s
C.0.63 s D.0.36 s
2.某公园有一个圆形喷水池,喷出的水流呈抛物线形,一条水流的高度h(单位:m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2,那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A.6 s B.4 s C.3 s D.2 s
知识点 2 二次函数与拱桥问题
3.2018·绵阳如图26-3-2是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加________m.
图26-3-2
4.如图26-3-3所示,一座大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒.
图26-3-3
知识点 3 二次函数与商品销售问题
5.某商店经营儿童玩具,已知所获利润y(元)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y=-x2+24x+2956,则获利最多为( )
A.3144元 B.3100元
C.144元 D.2956元
6.一件工艺品的进价为100元,标价135元出售,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价( )
A.5元 B.10元
C.0元 D.3600元
7.某商场以每件50元的价格购进一种商品,销售中发现这种商品每天的销售量m(件)
与每件的销售价格x(元)满足一次函数关系,其图象如图26-3-4所示,则该商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数关系式为____________.
图26-3-4
8.2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=;③足球被踢出9 s时落地;④足球被踢出1.5 s时,距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.2017·文登区期中某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5 m(如图26-3-5),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
图26-3-5
A.50 m B.100 m
C.160 m D.200 m
10.2017·鞍山某网络经销商销售一款夏季时装,进价为每件60元,售价为每件130元,每天销售30件,每销售一件需缴纳网络平台管理费4元.未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动,即从第一天起每天的单价均比前一天降低1元,通过市场调查发现,该时装单价每降低1元,每天销售量增加5件,设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)在这30天内,哪一天的利润是6300元?
(3)设第x天的利润为w元,试求出w与x之间的函数关系式,并求出哪一天的利润最大,最大利润是多少.
11.2018·眉山传统节日——端午节即将来临,某企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价为每只4元,按要求在20天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:
y=
(1)李明第几天生产的粽子数量为280只?
(2)如图26-3-6,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元(利润=出厂价-成本).
图26-3-6
12.为备战奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光.如图26-3-7(示意图),已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G.建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)当球上升的最大高度为3.2米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围);
(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5米的点F处有一队员,他起跳后的最大高度为3.1米,则这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明;
(3)若队员发球既要过球网,又不出边界,则排球飞行的最大高度h(单位:米)的取值范围是多少(排球压线不算出界)?
图26-3-7
详解详析
1.D
2.A [解析] 当水流回落到地面时高度h为0,把h=0代入h=30t-5t2,得5t2-30t=0,解得t1=0(舍去),t2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间是6 s.故选A.
3.(4 -4) [解析] 如图,建立平面直角坐标系,设x轴通过AB,y轴通过AB的中点O且通过点C,则通过画图可得知O为原点,
抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB均可求出,为AB的一半2 m,抛物线顶点C的坐标为(0,2).
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,代入A点坐标(-2,0),得到a=-0.5,所以抛物线的表达式为y=-0.5x2+2,
当水面下降2 m,水面的宽度可转化为:当y=-2时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离.
把y=-2代入抛物线的表达式,得
-2=-0.5x2+2,解得x=±2 ,所以水面宽度增加到4 m,则比原先的宽度增加了(4 -4)m.
4.36 [解析] 因为抛物线是轴对称图形,由题意知抛物线的对称轴为直线x=18.又当x=0时,y=0,所以小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒.
5.B
6.A [解析] 设每件需降价x元,每天获利y元,
则y=(135-x-100)(100+4x),
即y=-4(x-5)2+3600.∵-4<0,
∴当x=5时,每天获得的利润最大.故选A.
7.y=-x2+150x-5000
8.B [解析] 由题意,抛物线的表达式为y=at(t-9),把(1,8)代入可得a=-1,
∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25,
∴足球距离地面的最大高度为20.25 m,故①错误;
抛物线的对称轴是直线t=4.5,故②正确.
∵当t=9时,y=0,
∴足球被踢出9 s时落地,故③正确.
∵t=1.5时,y=11.25,故④错误.
∴正确的有②③.
故选B.
9.C [解析] 建立如图所示的直角坐标系,则点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,0.5),点D的坐标为(0.2,0),点F的坐标为(0.6,0).
设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x+1),把C(0,0.5)代入得a=-0.5,
所以抛物线的表达式为y=-0.5x2+0.5.
当x=0.2时,y=-0.5×0.22+0.5=0.48,
当x=0.6时,y=-0.5×0.62+0.5=0.32,
所以DE=0.48,FP=0.32,
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2(DE+FP)=2×(0.48+0.32)=1.6(m),
所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度=100×1.6=160(m).
故选C.
10.解:(1)y=5x+30(1≤x≤30且x为整数).
(2)根据题意,得(130-x-60-4)(5x+30)=6300,
即x2-60x+864=0,
解得x=24或x=36(舍去),
∴在这30天内,第24天的利润是6300元.
(3)根据题意,得w=(130-x-60-4)(5x+30)=-5x2+300x+1980=-5(x-30)2+6480(1≤x≤30且x为整数).
∵a=-5<0,
∴函数有最大值,
∴当x=30时,w有最大值为6480,
∴第30天的利润最大,最大利润是6480元.
11.解:(1)∵34×6=204<280,∴李明用的天数超过6天.
由题意可知20x+80=280,
解得x=10.
答:李明第10天生产的粽子数量为280只.
(2)由图象,得当0≤x≤10时,p=2;
当10<x≤20时,设p=kx+b,
把(10,2),(20,3)代入,得
解得
∴p=0.1x+1.
①当0≤x≤6时,w=(4-2)×34x=68x,当x=6时,w最大=408;
②当6<x≤10时,w=(4-2)×(20x+80)=40x+160,当x=10时,w最大=560;
③当10<x≤20时,w=(4-0.1x-1)×(20x+80)=-2x2+52x+240,
∵a=-2<0,
∴当x=-=13时,w最大=578.
综上,当x=13时,w有最大值,最大值为578,即第13天的利润最大,最大利润是578元.
12.解:(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7,3.2),
设抛物线的关系式为y=a(x-7)2+3.2,
将点C(0,1.8)的坐标代入,得49a+3.2=1.8,
解得a=-,
∴排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式为y=-(x-7)2+.
(2)由题意当x=9.5时,y=-×(9.5-7)2+≈3.02<3.1,
故这次她可以拦网成功.
(3)设抛物线的关系式为y=a(x-7)2+h,
将点C(0,1.8)的坐标代入,得49a+h=1.8,即a=,
∴此时抛物线的关系式为y=(x-7)2+h.
根据题意,得
解得h≥3.025,
故排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.