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德阳五中高2017级高二上期期中考试
数学试题
一. 选择题（共12小题，60分）
1．在空间直角坐标系中，已知M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），则MN的中点P到坐标原点O的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知集合A={（x，y）|y=5x}，B={（x，y）|x2+y2=5}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．a∥b，b⊂α，则a∥α B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b
C．a⊂α，b⊂α，b∥β，则a∥β D．α∥β，a⊂α，则a∥β
4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π
C．28π D．32π
5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（ ）
A． B．
C． D．
6．在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．f（x）=﹣x|x| B．f（x）=log0.5x
C．f（x）=﹣tanx D．f（x）=3x
9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则tanφ=（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）
A． f（x）= B．f（x）=
C．f（x）= D．f（x）=
11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA=AB，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，BC=4，若AM是BC边上的高，垂足为M，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（ ）
A．[﹣4，0] B．[﹣3，0]
C．[﹣2，0] D．[﹣1，0]
二. 填空题（共4小题，20分）
13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an= ．
14．若x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，则的最小值为 ．
15．如图，四边形ABCD中 ．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，则四面体A'﹣BCD体积的最大值为 ．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线；
其中正确的命题编号是 ．
三. 解答题（共6小题，70分）
17．（10分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（0，3），B（﹣2，1），C（4，3），M是BC边上的中点．
（1）求BC边的中线所在的直线方程；
（2）求点C关于直线AB对称点C’的坐标．
18．（12分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的正切值．
19．（12分）锐角△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且∥．
（1）求B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
20．（12分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=，AA1=，BB1=，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（1）求证：EF∥平面A1B1BA；
（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
21．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若，其中O为坐标原点，求|MN|．
22．（12分）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）试判断函数是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是
[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围．
参考答案
1-6 ACDCCB 7-12DACCAB
13． 2n 14． 15． 16． ①③④
17．解：（1）x+y-3=0
（2）设点C关于直线AB对称点C′的坐标为（a，b），
则AB为线段CC′的垂直平分线，
由直线AB的方程为：x﹣y+3=0，
故，
解得：a=0，b=7，
即点C关于直线AB对称点C′的坐标为C’（0，7）
18．解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，
∴圆锥的体积V==
=．
（2）
19．解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，
∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，
∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，
∴tan2B=﹣，
又B为锐角，∴2B∈（0，π），
∴2B=，
则B=；
（2）当B=，b=2时，
由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，
又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），
∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），
则S△ABC的最大值为．
20．（1）证明：连接A1B，在△A1BC中，
∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，
又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，
∴EF∥平面A1B1BA；
（2）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，
又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；
（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，
∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，
∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，
∴A1N平行且等于AE，
又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，
∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，
在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，
∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，
又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，
在RT△A1MB1中，A1B1==4，
在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，
∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°
21．（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由＜1，
故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．
（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1
=•k2+k•+1=，
由•=x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|=2．
22.解：（1）∵（x+1﹣1）﹣（x﹣1）2=﹣（x2﹣3x+1）＜0，即）（x+1﹣1）＜（x﹣1）2，
∴＞，即 ＞2，
即 f（x+1）＞2f（x）对一切x∈（3，+∞）恒成立，
故函数f（x）=是（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数．
（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x﹣1）=m•2x﹣1，…
当x∈[n，n+1）时，f（x）=mf（x﹣1）=m2f（x﹣2）=…=mnf（x﹣n）=mn•2x﹣n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）=mn•2x﹣n，n∈N*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0且mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），
即m≥2．
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