2016-2017学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，斜面体3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2+2x﹣3=0的两个根中，较小一个根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．将抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2向上平移1个单位后，其顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣1） C．（3，﹣2） D．（3，﹣1）
5．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2
7．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．如图是二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列说法错误的是（ ）
A．函数y的最大值是4
B．函效的图象关于直线x=﹣1对称
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
D．当﹣4＜x＜1时，函数值y＞0
9．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A．t=20v B．t= C．t= D．t=
10．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣3 B．k＞3 C．k＜3 D．k＜﹣3
11．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．方程100x2﹣3x﹣7=0两根之和等于 ．
14．若扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π）
15．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是 ．
16．如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以O为圆心OB长为半径的⊙O于点E，连接BD并延长交⊙O于点F，连接EF，则∠EFB的度数为 度．
17．若a为实数，则代数式的最小值为 ．
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是 cm．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．
（1）求A去北京的概率；
（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；
（3）求A，B分在同一组的概率．
20．四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，∠F=60°，求：
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度和∠EBD的度数．
21．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线BC的函数关系式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标．
22．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）若AF的长为2，求FG的长．
23．如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点，求m的值．
24．如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；
（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
2016-2017学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，斜面体3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
2．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．
故选A．
3．一元二次方程x2+2x﹣3=0的两个根中，较小一个根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+3）=0，
∴x﹣1=0或x+3=0，
解得：x=1或x=﹣3，
则两个根中，较小一个根为﹣3，
故选：B．
4．将抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2向上平移1个单位后，其顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣1） C．（3，﹣2） D．（3，﹣1）
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y=﹣（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），
∵向上平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）．
故选：D．
5．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由DE∥BC，EF∥AB，即可得△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，继而证得△ADE∽△EFC．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC．
∴图中相似三角形的对数是：3对．
故选C．
6．正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．1：2 B．：2 C．：1 D．：2
【考点】正多边形和圆．
【分析】首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．
【解答】解：如图：设正六边形的边长是a，则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线段OC，则AC=AB=a，
于是OC==a，
所以正六边形的边心距与边长之比为： a：a=：2．
故选：D．
7．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°，
∴∠A=∠D=60°．
故选C．
8．如图是二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列说法错误的是（ ）
A．函数y的最大值是4
B．函效的图象关于直线x=﹣1对称
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
D．当﹣4＜x＜1时，函数值y＞0
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出a＜0、二次函数对称轴为x=﹣1以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象，发现：
开口向下，a＜0，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）．
A、∵a＜0，
∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，A正确；
B、∵二次函数的对称轴为x=﹣1，
∴函效的图象关于直线x=﹣1对称，B正确；
C、当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，C正确；
D、∵二次函效的图象关于直线x=﹣1对称，且函数图象与x轴有一个交点（1，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点为（﹣3，0）．
∴当﹣3＜x＜1时，函数值y＞0，即D不正确．
故选D．
9．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A．t=20v B．t= C．t= D．t=
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【分析】根据路程=时间×速度可得vt=20，再变形可得t=．
【解答】解：由题意得：vt=20，
t=，
故选：B．
10．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣3 B．k＞3 C．k＜3 D．k＜﹣3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x
的增大而减小，
∴k+3＞0，解得k＞﹣3．
故选A．
11．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【解答】解：过O作OG垂于G，连接OC，
∵OC=，只有C、O、G三点在一条直线上OE最小，
连接OM，
∴OM=，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
∵AC•BC=AB•CF，
∴CF=，
∴OG=﹣=，
∴MG==，
∴MN=2MG=，
故选C．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．
【解答】解：
①因为图象与x轴两交点为（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，
对称轴x==﹣，
则对称轴﹣＜﹣＜0，且a＜0，
∴a＜b＜0，
由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故①正确；
②设x2=﹣2，则x1x2=，而1＜x1＜2，
∴﹣4＜x1x2＜﹣2，
∴﹣4＜＜﹣2，
∴2a+c＞0，4a+c＜0，故②③正确；
④由抛物线过（﹣2，0），则4a﹣2b+c=0，而c＜2，则4a﹣2b+2＞0，即2a﹣b+1＞0，故④正确．
综上可知正确的有4个，
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．方程100x2﹣3x﹣7=0两根之和等于 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：方程100x2﹣3x﹣7=0两根之和等于．
故答案为．
14．若扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 2π ．（结果保留π）
【考点】弧长的计算．
【分析】根据弧长公式可得．
【解答】解：根据题意知该扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π．
15．如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是 2：3 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形对应高的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴它们对应高的比是2：3．
故答案为：2：3．
16．如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以O为圆心OB长为半径的⊙O于点E，连接BD并延长交⊙O于点F，连接EF，则∠EFB的度数为 37.5 度．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，由△OBC是等边三角形，得到∠OBC=60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOB==75°，由圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵AB=BO，
∴∠AOB==75°，
∴AOB=37.5°，
故答案为：37.5．
17．若a为实数，则代数式的最小值为 3 ．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；二次根式的性质与化简．
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
【解答】解：∵ ==≥3，
∴代数式的最小值为3，
故答案为：3．
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是 cm．
【考点】垂径定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定；直角梯形．
【分析】本题的综合性质较强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质可知．
【解答】解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，
则四边形AECB是矩形，
CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，
∵∠AOD=90°，AO=OD，
所以△AOD是等腰直角三角形，
AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°
∴∠ODC+∠OAB=90°，
∵∠ODC+∠DOC=90°，
∴∠DOC=∠BAO，
∵∠B=∠C=90°
∴△ABO≌△OCD，
∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，
由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，
得AD=2cm，
∴AO=OD=2cm，
S△AOD=AO•DO=AD•OF，
∴OF=cm．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．
（1）求A去北京的概率；
（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；
（3）求A，B分在同一组的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）由某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A，B都去北京的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）由（2）可求得A，B分在同一组的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，
∴A去北京的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，A，B都去北京的有2种情况，
∴A，B都去北京的概率为： =；
（3）由（2）得：A，B分在同一组的有4种情况，
∴A，B分在同一组的概率为： =．
20．四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，∠F=60°，求：
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度和∠EBD的度数．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】（1）由于△ADF旋转一定角度后得到△ABE，根据旋转的性质得到旋转中心为点A，∠DAB等于旋转角，于是得到旋转角为90°；
（2）根据旋转的性质得到AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°，则∠ABE=90°﹣60°=30°，解直角三角形得到AD=4，∠ABD=45°，所以DE=4﹣4，然后利用∠EBD=∠ABD﹣∠ABE计算即可．
【解答】解：（1）∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，
∴旋转中心为点A，∠DAB等于旋转角，
∴旋转角为90°；
（2）∵△ADF以点A为旋转轴心，顺时针旋转90°后得到△ABE，
∴AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°，
∴∠ABE=90°﹣60°=30°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=4，∠ABD=45°，
∴DE=4﹣4，
∠EBD=∠ABD﹣∠ABE=15°．
21．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线BC的函数关系式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．
【分析】（1）令y=0得﹣x2+3x+4=0解得方程的解即为A、B两点坐标；
（2）令x=0，解得抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C的坐标，设直线BC的函数关系式y=kx+b，解得k和b的值即可得出直线BC的函数关系式；
（3）求得抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴，设对称轴与直线BC的交点记为D，求得D点坐标，设点P的坐标，表示出PD，再根据三角形的面积公式得出点P的坐标．
【解答】解：（1）由﹣x2+3x+4=0解得x=﹣1或x=4，
所以A、B两点坐标为（﹣1，0）和（4，0）；
（2）抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C坐标为（0，4），由（1）得，B（4，0），
设直线BC的函数关系式y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4；
（3）抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴为x=，
对称轴与直线BC的交点记为D，则D点坐标为（，）．
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴设点P的坐标为（，m），
∴PD=|m﹣|，
∴S△PBC=OB•PD=4．
∴×4×|m﹣|=4，
∴m=或m=．
∴点P的坐标为（，）或（，）．
22．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）若AF的长为2，求FG的长．
【考点】切线的性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）连结OD，根据切线的性质由DF是圆的切线得∠ODF=90°，再根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，而OD=OC，所以∠ODC=60°=∠A，
于是可判断OD∥AB，根据平行线的性质得DF⊥AB；
（2）在Rt△ADF中，由∠A=60°得到∠ADF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2AF=4，再证明OD为△ABC的中位线，则AD=CD=4，即AC=8，
所以AB=8，BF=AB﹣AF=6，然后在Rt△BFG中，根据正弦的定义计算FG的长．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，
而OD=OC，
∴∠ODC=60°，
∴∠ODC=∠A，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB；
（2）解：在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF=2×2=4，
而OD∥AB，点O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴AD=CD=4，即AC=8，
∴AB=8，
∴BF=AB﹣AF=6，
∵FG⊥BC，
∴∠BGF=90°，
在Rt△BFG中，sinB=sin60°=，
∴FG=6×=3．
23．如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=的图象有且只有一个交点，求m的值．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点A在反比例函数的图象上，结合反比例函数图象上的点的坐标特征即可得出反比例函数的解析式；由点B的横坐标以及反比例函数的解析式即可得出点B的坐标，再由A、B点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数得解析式；
（2）结合（1）中得结论找出平移后的直线的解析式，将其代入反比例函数解析式中，整理得出关于x的二次方程，令其根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（2，2）在反比例函数的图象上，
∴k=4．
∴反比例函数的解析式为．
又∵点B（，n）在反比例函数的图象上，
∴，解得：n=8，
即点B的坐标为（，8）．
由A（2，2）、B（，8）在一次函数y=ax+b的图象上，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=﹣4x+10．
（2）将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=﹣4x+10﹣m，
∵直线y=﹣4x+10﹣m与双曲线有且只有一个交点，
令，得4x2+（m﹣10）x+4=0，
∴△=（m﹣10）2﹣64=0，
解得：m=2或m=18．
24．如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；
（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；
（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；
（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．
【解答】（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．
（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．
（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，
如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°．
②当点E的像E′与点N重合时，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．
所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
25．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；
（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．
【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，
得 解得：，
∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（3，3），
又∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=2，
∴S△ABC=×2×3=3；
（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，
设点P（m，﹣m2+4m），
根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，
∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，
6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），
∴3m2﹣15m=0，
m1=0（舍去），m2=5，
∴点P坐标为（5，﹣5）．
（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，
则△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，
∴M（1，2），N（2，0），
由勾股定理得：MC==，
∴S△CMN=××=；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，
得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM=CD=5，MD=ME=2，
由勾股定理得：CM==，
∴S△CMN=××=；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，
同理得：CN==，
∴S△CMN=××=17；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN==，
∴S△CMN=××=5；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．
2017年2月6日
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