2016-2017学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2xy+y2=0 B．x（x+3）=x2﹣1 C．x2﹣2x=3 D．x+=0
3．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
4．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
7．在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
8．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程x2﹣6x﹣5=0，可化为（x﹣3）2=4
B．方程y2﹣2y﹣2015=0，可化为（y﹣1）2=2015
C．方程a2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25
D．方程2x2﹣6x﹣7=0，可化为
9．如图所示，在△ABC中，∠CAB=70°，现将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′，若BB′∥AC′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
10．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
11．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为（ ）
A．10 B． C．11 D．
12．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．方程x2﹣3=0的根是 ．
14．如图：M为反比例函数图象上一点，MA⊥y轴于A，S△MAO=2时，k= ．
15．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为 ．
16．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
17．如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为 ．
18．如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=，点D的坐标是（7，0），∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19．（1）3x（x﹣1）=2x﹣2；
（2）解方程：x2﹣6x+5=0（配方法）．
20．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
21．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．
22．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．
23．如图，某建筑工程队利用一面墙（墙的长度不限），用40米长的篱笆围成一个长方形的仓库．
（1）求长方形的面积是150平方米，求出长方形两邻边的长；
（2）能否围成面积220平方米的长方形？请说明理由．
24．图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形．
（1）如图1，连接DE，BG，M为线段BG的中点，连接AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
25．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
2016-2017学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．在下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2xy+y2=0 B．x（x+3）=x2﹣1 C．x2﹣2x=3 D．x+=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：
A、方程含有两个未知数，故不是；
B、方程的二次项系数为0，故不是；
C、符合一元二次方程的定义；
D、不是整式方程．
故选C．
3．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x=2，
故选D．
4．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出组成的数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数为4，
所以组成的数是偶数的概率==．
故选A．
5．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．
【解答】解：连接OA，
∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=×6=3cm，
∵⊙O的半径为5cm，
∴OC===4cm，
故选B．
6．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【考点】正多边形和圆；切线的性质．
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴OG=OA•sin60°=2×=，
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．
故选B．
7．在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1﹣k＞0即可．
【解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1﹣k＞0，
解得k＜1．
故选A．
8．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程x2﹣6x﹣5=0，可化为（x﹣3）2=4
B．方程y2﹣2y﹣2015=0，可化为（y﹣1）2=2015
C．方程a2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25
D．方程2x2﹣6x﹣7=0，可化为
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】配方法解方程：把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：A、由原方程得到：方程x2﹣6x+32=5+32，可化为（x﹣3）2=14，故本选项错误；
B、由原方程得到：方程y2﹣2y+12=2015+12，可化为（y﹣1）2=2016，故本选项错误；
C、由原方程得到：方程a2+8a+42=﹣9+42，可化为（a+4）2=7，故本选项错误；
D、由原方程得到：方程x2﹣3x+（）2=+（）2，可化为，故本选项正确；
故选：D．
9．如图所示，在△ABC中，∠CAB=70°，现将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AB′C′，连接BB′，若BB′∥AC′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【考点】旋转的性质．
【分析】由旋转的性质得出∠C′AB′=∠CAB=70°，AB′=AB，得出∠AB′B=∠ABB′，由平行线得出∠AB′B=∠C′AB′=70°，由三角形内角和求出∠BAB′，即可得出∠CAB′的度数．
【解答】解：由旋转的性质得：∠C′AB′=∠CAB=70°，AB′=AB，
∴∠AB′B=∠ABB′，
∵BB′∥AC′，
∴∠AB′B=∠C′AB′=70°，
∴∠ABB′=70°，
∴∠BAB′=180°﹣70°﹣70°=40°，
∴∠CAB′=∠CAB﹣∠BAB′=70°﹣40°=30°；
故选：C．
10．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
【解答】解：∵二次函数的解析式y=（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），
∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；
而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，
∴x≤3，
∴x﹣m≤0，
∴m≥3．
故选C．
11．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为（ ）
A．10 B． C．11 D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】连接OA、OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．根据题意可知四边形BOCD为矩形，从而可知：BP=8+x，设AB的长为x，在Rt△AOB和Rt△OBP中，由勾股定理列出关于x的方程解得x的长，从而可计算出PA的长度．
【解答】解：如图所示．连接OA、OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．
设AB的长为x，在Rt△AOB中，OB2=OA2﹣AB2=16﹣x2，
∵l与圆相切，
∴OC⊥l．
∵∠OBD=∠OCD=∠CDB=90°，
∴四边形BOCD为矩形．
∴BD=OC=4．
∵直线l垂直平分PA，
∴PD=BD+AB=4+x．
∴PB=8+x．
在Rt△OBP中，OP2=OB2+PB2，即16﹣x2+（8+x）2=102，解得x=．
PA=2AD=2×=．
故选：B．
12．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，则可对②
进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x=﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．方程x2﹣3=0的根是 x=± ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值．
【解答】解：方程整理得：x2=3，
开方得：x=±，
故答案为：x=±
14．如图：M为反比例函数图象上一点，MA⊥y轴于A，S△MAO=2时，k= ﹣4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△AOM=|k|=2，然后根据k＜0去绝对值得到k的值．
【解答】解：∵AB⊥x轴，
∴S△AOM=|k|=2，
∵k＜0，
∴k=﹣4．
故答案为﹣4．
15．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为 60° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，然后由直角三角形的两个锐角互余、同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=60°．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°．
16．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＞﹣4 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：由已知得：
△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
17．如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为60°，30°，已知直径AB=，连接PB交OQ于M，则QM的长为 2﹣3 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【分析】先由条件可得到△OPB为等边三角形，并且OM为等边三角形OPB的高，再根据等边三角形的高为边长的倍计算出OM，即可得到QM．
【解答】解：∵∠BOP=60°，OP=OB，
∴△OPB为等边三角形，
而∠BOQ=30°，
∴OM为等边三角形OPB的高，
∴OM=OB，
而AB=，
∴OM=×2=3，
∴QM=2﹣3．
故答案为2﹣3．
18．如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=，点D的坐标是（7，0），∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 （4，3） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据旋转的性质，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x轴于F，再根据点C在BD上确定出∠PDB=45°并求出PD的长，然后求出∠PDO=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DPF=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DF=PD，利用勾股定理列式求出PF，再求出OF，即可得到点P，即旋转中心的坐标．
【解答】解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，
连接PD，过P作PF⊥x轴于F，
∵点C在BD上，
∴点P到AB、BD的距离相等，都是BD，即×6=3，
∴∠PDB=45°，
PD=3×=6，
∵∠BDO=15°，
∴∠PDO=45°+15°=60°，
∴∠DPF=30°，
∴DF=PD=×6=3，
∵点D的坐标是（7，0），
∴OF=OD﹣DF=7﹣3=4，
由勾股定理得，PF===3，
即P点的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19．（1）3x（x﹣1）=2x﹣2；
（2）解方程：x2﹣6x+5=0（配方法）．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（3x﹣2）=0，
x﹣1=0，3x﹣2=0，
x1=1，x2=；
（2）x2﹣6x+5=0，
x2﹣6x=﹣5，
x2﹣6x+9=﹣5+9，
（x﹣3）2=4，
x﹣3=±2，
x1=﹣1，x2=﹣5．
20．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停
止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为： =．
21．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．
【考点】直线与圆的位置关系；圆周角定理．
【分析】（1）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以证出结论；
（2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，继而证得结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°﹣∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠BAF=∠DAE．
22．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）因为点（﹣1，0），（0，3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，可代入确定b、c的值；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据图象确定y＞0时，x的取值范围；
（3）根据二次函数的增减性，确定2≤x≤4时，y的最大值．
【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得
解得，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3
（2）把x=0代入y=﹣x2+bx+c中，
得﹣x2+bx+c=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
所以当﹣1＜x＜3，y＞0；
（3）由y=﹣x2+2x+3
=﹣（x﹣1）2+4，
抛物线的对称轴为直线x=1，
则当2≤x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x=2时，y的最大值是3．
23．如图，某建筑工程队利用一面墙（墙的长度不限），用40米长的篱笆围成一个长方形的仓库．
（1）求长方形的面积是150平方米，求出长方形两邻边的长；
（2）能否围成面积220平方米的长方形？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）首先设垂直于墙的一边长为xm，得：长方形面积=150，进而求出即可；
（2）利用一元二次方程的根的判别式判断得出即可．
【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为xm，得：x（40﹣2x）=150，
即x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15，
当x=5时，40﹣2x=30，
当x=15时，40﹣2x=10，
∴长方形两邻边的长为5m，30m或15m，10m；
（2）设垂直于墙的一边长为ym，得：y（40﹣2y）=220，
即y2﹣20y+110=0，
∵△＜0，
该方程无解
∴不能围成面积是220平方米的长方形．
24．图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形．
（1）如图1，连接DE，BG，M为线段BG的中点，连接AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】（1）AM=DE，AM⊥DE，理由是：先证明△DAE≌△BAG，得DE=BG，∠AED=∠AGB，再根据直角三角形斜边的中线的性质得AM=BG，AM=BM，则AM=DE，由角的关系得∠MAB+∠AED=90°，所以∠AOE=90°，即AM⊥DE；
（2）AM=DE，AM⊥DE，理由是：作辅助线构建全等三角形，证明△MNG≌△MAB和△AGN≌△EAD可以得出结论．
【解答】解：（1）AM=DE，AM⊥DE，理由是：
如图1，设AM交DE于点O，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AD=AB，
∵∠DAE=∠BAG，
∴△DAE≌△BAG，
∴DE=BG，∠AED=∠AGB，
在Rt△ABG中，
∵M为线段BG的中点，
∴AM=BG，AM=BM，
∴AM=DE，
∵AM=BM，
∴∠MBA=∠MAB，
∵∠AGB+∠MBA=90°，
∴∠MAB+∠AED=90°，
∴∠AOE=90°，即AM⊥DE；
（2）AM=DE，AM⊥DE，理由是：
如图2，延长AM到N，使MN=AM，连接NG，
∵MN=AM，MG=BM，∠NMG=∠BMA，
∴△MNG≌△MAB，
∴NG=AB，∠N=∠BAN，
由（1）得：AB=AD，
∴NG=AD，
∵∠BAN+∠DAN=90°，
∴∠N+∠DAN=90°，
∴NG⊥AD，
∴∠AGN+∠DAG=90°，
∵∠DAG+∠DAE=∠EAG=90°，
∴∠AGN=∠DAE，
∵NG=AD，AG=AE，
∴△AGN≌△EAD，
∴AN=DE，∠N=∠ADE，
∵∠N+∠DAN=90°，
∴∠ADE+∠DAN=90°，
∴AM⊥DE．
25．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．
①求点P的坐标；
②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；
（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点P的坐标，①用△POA的面积是△POB面积的倍，建立方程求解即可；②利用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可；
（3）分OB为边和为对角线两种情况进行求解，①当OB为平行四边形的边时，用MN∥OB，表示和用MN=OB，建立方程求解；
②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，设出M，N坐标用OH=BH，MH=NH，建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，1），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，
∴，
∴
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
（2）①由（1）知，A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
∵点P是第一象限抛物线上的一点，
∴设P（a，﹣a2+a+1），（（a＞0，﹣a2+a+1＞0），
∴S△POA=OA×Py=×2×（﹣a2+a+1）=﹣a2+a+1
S△POB=OB×Px=×1×a=a
∵△POA的面积是△POB面积的倍．
∴﹣a2+a+1=×a，
∴a=或a=﹣（舍）
∴P（，1）；
②如图1，
由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，
∴抛物线的对称轴为x=，抛物线与x轴的另一交点为C（﹣，0），
∵点A与点C关于对称轴对称，
∴QP+QA的最小值就是PC=；
（3）①当OB为平行四边形的边时，MN=OB=1，MN∥OB，
∵点N在直线AB上，
∴设M（m，﹣ m+1），
∴N（m，﹣m2+m+1），
∴MN=|﹣m2+m+1﹣（﹣m+1）|=|m2﹣2m|=1，
Ⅰ、m2﹣2m=1，
解得，m=1±，
∴M（1+，（1﹣））或M（1﹣，（1+））
Ⅱ、m2﹣2m=﹣1，
解得，m=1，
∴M（1，）；
②当OB为对角线时，OB与MN互相平分，交点为H，
∴OH=BH，MH=NH，
∵B（0，1），O（0，0），
∴H（0，），
设M（n，﹣ n+1），N（d，﹣d2+d+1）
∴，
∴或，
∴M（﹣（1+），（3+））或M（﹣（1﹣），（3﹣））；
即：满足条件的点M的坐标（1+，（1﹣））或（1﹣，﹣（1+））或（1，）或M（﹣（1+），（3+））或M（﹣（1﹣），（3﹣））；
2017年2月6日
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