2016-2017学年辽宁省铁岭市开原市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分．
1．在RT△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是（ ）
A．a=c•sinB B．a=c•cosB C．a=b•tanB D．b=
2．若△ABC∽△A′B′C′，则相似比k等于（ ）
A．A′B′：AB B．∠A：∠A'
C．S△ABC：S△A′B′C′ D．△ABC周长：△A′B′C′周长
3．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，则AC等于（ ）
A．18 B．2 C． D．
4．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④
5．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
6．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（ ）
A． B． C． D．
7．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
9．如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0
）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（ ）
A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
二、填空题：每小题3分，共24分．
11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为 ．
12．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为 ．
13．已知图中的每个小正方格都是边长为1的小正方形，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在小正方形顶点上，则它们的位似中心的坐标是 ．
14．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
15．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为 ．
16．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC=3，BC=2，则△MCD与△BND的面积比为 ．
17．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．
18．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位．（≈1.4）
三、解答题：19题12分，20题10分，共22分．
19．计算﹣．
20．如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
四、解答题：每题12分，共24分．
21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．
22．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．
五、解答题：12分
23．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度为i=1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．
六、解答题：12分．
24．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
七、解答题：12分．
25．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，
2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
八、解答题：14分．
26．如图，已知直线y=kx+6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
2016-2017学年辽宁省铁岭市开原市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分．
1．在RT△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是（ ）
A．a=c•sinB B．a=c•cosB C．a=b•tanB D．b=
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义代入求解即可．
【解答】解：在RT△ABC中，∠C=90°，
则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=．
因而b=c•cosA=a•tanB，a=c•sinA=c•cosB=b•tanA=，
所以，一定成立的是a=c•cosB．
故本题选B．
2．若△ABC∽△A′B′C′，则相似比k等于（ ）
A．A′B′：AB B．∠A：∠A'
C．S△ABC：S△A′B′C′ D．△ABC周长：△A′B′C′周长
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′，
k2=S△ABC：S△A′B′C′，
故选D．
3．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，则AC等于（ ）
A．18 B．2 C． D．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴cosA=，
∵cosA=，AB=6，
∴AC=AB=2，
故选：B．
4．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④
【考点】相似三角形的判定．
【分析】考查相似三角形的判定问题，对应角相等即为相似三角形．
【解答】解：①中等腰三角形角不确定，所以①错；
②中有一个底角相等即所有角都对应相等，②对；
③中可能是以底角和一顶角相等，所以③错；
④中两个角对应相等，所以相似，④对
故选A．
5．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形
面积的比等于相似比的平方，可以先求出m的值，再求的值即可．
【解答】解：∵两个相似多边形面积之比为5，周长之比为m，
∴由相似三角形的性质可得：5=m2，
解得m=±，
∵m=﹣不符合题意，
∴m=，
∴==．
故选C．
6．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，
由勾股定理，得
AB=AC=，BC=．
由等腰三角形的性质，得
BE=BC=．
由勾股定理，得
AE==，
由三角形的面积，得
AB•CD=BC•AE．
即CD==．
sin∠CAB===，
故选：B．
7．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据反比例函数的图象性质及正比例函数的图象性质可作出判断．
【解答】解：∵k1＜0＜k2，b=﹣1＜0
∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．
故选：A．
8．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例求解．
【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴AB：BF=AD：AB，
∴AD•BF=AB•AB，
又∵BF=AD，
∴AD2=AB2，
∴=．
故选：B．
9．如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H
，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：，
即EF=2（4﹣x）
所以y=×2（4﹣x）x=﹣x2+4x．
故选C．
10．彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（ ）
A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n） C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
【考点】相似多边形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据矩形的性质求出点A1、A2的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出k、b，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出A3的坐标，然后求出B3的坐标，…，最后根据点的坐标特征的变化规律写出Bn的坐标即可．
【解答】解：∵B1（1，2），
∴相似矩形的长是宽的2倍，
∵点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），
∴A1（0，2），A2（1，4），
∵点A1，A2在直线y=kx+b上，
∴，
解得，
∴y=2x+2，
∵点A3在直线y=2x+2上，
∴y=2×3+2=8，
∴点A3的坐标为（3，8），
∴点B3的横坐标为3+×8=7，
∴点B3（7，8），
…，
Bn的坐标为（2n﹣1，2n）．
故选A．
二、填空题：每小题3分，共24分．
11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为 ．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．
【解答】解：
∵sinA=，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC==12x，
故tan∠B==．
故答案为：．
12．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为 （4，4）或（5，2） ．
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【解答】解：根据题意得：OA=2，OB=1，AB=，
∴当AB与AC对应时，有或者，
∴AC=或AC=5，
∵C在格点上，
∴AC=（不合题意），则AC=5，
∴C点坐标为（5，2），
同理当AB与BC对应时，可求得BC=或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4）
∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．
故答案为：（4，4）或（5，2）．
13．已知图中的每个小正方格都是边长为1的小正方形，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在小正方形顶点上，则它们的位似中心的坐标是 （9，0） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案．
【解答】解：如图所示：点O即为所求，坐标为；（9，0）．
14．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E= ．
【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．
【分析】连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MN，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF
，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MN，
∵EF∥MN，
∴MC⊥EF，
∴CE=CF，
∴ME=MF，
而ME=EF，
∴ME=EF=MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴cos∠E=cos60°=．
故答案为：．
15．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为 ﹣32 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【分析】根据题意得出AO的长，进而得出B点坐标进而得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥y轴于点D，
∵菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），
∴AD=3，DO=4，
∴AO=5，
∴AB=5，
则B（﹣8，4），
故k=4×（﹣8）=﹣32．
故答案为：32．
16．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC=3，BC=2，则△MCD与△BND的面积比为 9：4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】利用△ACM、△CBN都是等边三角形，则也是相似三角形，相似比是3：2，再证得△MCD∽△BND，则面积比可求．
【解答】解：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，
∴△ACM∽△CBN，
∴CM：BN=AC：BC=3：2；
∵△ACM、△CBN都是等边三角形，
∴∠MCA=∠NDB=∠BND=60°，
∴∠MCN=60°=∠BND，
∴∠CMD=∠NBD（三角形内角和定理）
∴△MCD∽△BND
∴△MCD与△BND的面积比为（）2=（）2=．
17．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．
【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．
【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，
可以得知△ABC是等腰三角形，
由面积相等可得， BC•AD=AB•CE，
即CE==，
sinA===，
故答案为：．
18．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位．（≈1.4）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
【解答】解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×≈1.54米，
CE=5×sin45°=5×≈3.5米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，
（56﹣5.04）÷3.1+1
=50.96÷3.1+1
≈16.4+1
=17.4（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
故答案为：17．
三、解答题：19题12分，20题10分，共22分．
19．计算﹣．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=﹣=2﹣．
20．如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
【考点】作图-位似变换．
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，再根据O为原点，写出新图形各点的坐标即可．
【解答】解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，
新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
四、解答题：每题12分，共24分．
21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．
【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB=；
（2）∵sinB=，
∴AC：AB=1：，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB==，
设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵AB=2CD=2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．
22．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；
（2）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，
∴∠CBA=∠ODC，
又∵∠CFD=∠BFO，
∴∠DCB=∠BOF，
∵CO=BO，
∴∠OCF=∠B，
∵∠B+∠BOF=90°，
∴∠OCF+∠DCB=90°，
∴直线CD为⊙O的切线；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCO=∠ACB，
又∵∠D=∠B
∴△OCD∽△ACB，
∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=3，
∴=，
即=，
解得；DC=．
五、解答题：12分
23．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度为i=1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．构建直角△DEF和直角△CDF．通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度即可．
【解答】解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．
∵i=tan∠DCF==，
∴∠DCF=30°．
又∵∠DAC=15°，
∴∠ADC=15°．
∴CD=AC=10．
在Rt△DCF中，DF=CD•sin30°=10×=5（米），
CF=CD•cos30°=10×=5，∠CDF=60°．
∴∠BDF=45°+15°+60°=120°，
∴∠E=120°﹣90°=30°，
在Rt△DFE中，EF===15
∴AE=10+15+15=30+10．
在Rt△BAE中，BA=AE•tanE=（30+10）×=30+≈36（米）．
答：旗杆AB的高度约为36米．
六、解答题：12分．
24．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80
元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一次函数的应用；反比例函数的应用．
【分析】（1）由图象知，当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），运用待定系数法求解析式即可；
（2）根据销售产品的纯利润=销售量×单个利润，分30≤x≤60和60＜x≤80列函数表达式；
（3）当30≤x≤60时，运用二次函数性质解决，当60＜x≤80时，运用反比例函数性质解答．
【解答】解：（1）当x=60时，y==2，
∴当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），
设y=kx+b，则
，
解得：，
∴y=﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50=﹣0.1x2+10x﹣210，
当60＜x≤80时，W=（x﹣20）y﹣50=（x﹣20）•﹣50=﹣+70，
综上所述：W=；
（3）当30≤x≤60时，W=﹣0.1x2+10x﹣210=﹣0.1（x﹣50）2+40，
当x=50时，W最大=40（万元）；
当60＜x≤80时，W=﹣+70，
∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x=80时，W最大=﹣+70=40（万元），
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
七、解答题：12分．
25．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；
（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，由∠BPQ=45°，P′B=2，求出PE=BE=2，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AB，再由cos∠EAB=cos∠EBQ，求出BQ，则CQ=BC﹣BQ．
【解答】解：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，
∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，
∵∠PAD+∠PAB=90°，
∴∠P′AB+∠PAB=90°，
即∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，
∴PP′=，
∵P′B=PD=，PB=2，
∴P′B2=PP′2+PB2，
∴∠P′PB=90°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′=45°，
∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°；
（3）作BE⊥AQ，垂足为E，
∵∠BPQ=45°，PB=2，
∴PE=BE=2，
∴AE=2+1=3，
∴AB==，BE==2，
∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB=，
∴cos∠EBQ=，
∴，
∴BQ=，
∴CQ=﹣=．
八、解答题：14分．
26．如图，已知直线y=kx+6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由待定系数法确定函数解析式；
（2）先确定出点C坐标，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，
（3）分三种情况计算，分别判断△DAQ1∽△DOB，△BOQ2∽△DOB，△BOQ3∽△Q3EA，列出比例式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，
∴k=﹣2，
∴y=﹣2x+6，
由y=﹣2x+6=0，得x=3
∴B（3，0）．
∵A为顶点
∴设抛物线的解析为y=a（x﹣1）2+4，
∴a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3
（2）存在．
当x=0时y=﹣x2+2x+3=3，
∴C（0，3）
∵OB=OC=3，OP=OP，
∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
∴∠POM=∠PON=45°．
∴PM=PN
∴设P（m，m），则m=﹣m2+2m+3，
∴m=，
∵点P在第三象限，
∴P（，）．
（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，作AE⊥y轴于E，
∴E（0，4）
∵∠DA Q1=∠DOB=90°，∠AD Q1=∠BDO
∴△DAQ1∽△DOB，
∴，即，
∴DQ1=，
∴OQ1=，
∴Q1（0，）；
②如图，
当∠Q2BA=90°时，∠DBO+∠OBQ2=∠OBQ2+∠O Q2B=90°
∴∠DBO=∠O Q2B
∵∠DOB=∠B O Q2=90°
∴△BOQ2∽△DOB，
∴，
∴，
∴OQ2=，
∴Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B=90°时，∠AEQ3=∠BOQ3=90°，
∴∠AQ3E+∠E AQ3=∠AQ3E+∠B Q3O=90°
∴∠E AQ3=∠B Q3O
∴△BOQ3∽△Q3EA，
∴，即，
∴OQ32﹣4OQ3+3=0，
∴OQ3=1或3，
∴Q3（0，1）或（0，3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．
2017年2月6日
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