2016-2017学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分．请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下．）
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．当分式的值为0时，字母x的取值应为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
3．下列计算正确的是（ ）
A．2﹣3=﹣8 B．20=1 C．a2•a3=a6 D．a2+a3=a5
4．（﹣8）2的立方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
5．若代数式有意义，则x必须满足条件（ ）
A．x≠﹣ B．x＞ C．x＞﹣ D．x≥﹣
6．已知一个等腰三角形的一个内角是50°，则这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是（ ）
A．50°，80° B．65°，65°
C．50°，80°或65°，65° D．无法确定
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等
C．对顶角相等
D．三角形的重心是三角形三条中线的交点
8．下列长度的三根线段，能构成三角形的是（ ）
A．3cm，10cm，5cm B．4cm，8cm，4cm
C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm
9．不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤3 C．1＜x≤3 D．﹣1＜x≤3
10．计算÷×的结果估计在（ ）
A．5至6之间 B．6至7之间 C．7至8之间 D．8至9之间
11．已知关于x的方程﹣=0的增根是1，则字母a的取值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分）
13．最小刻度为0.2nm（1nm=10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为 m．
14．分式方程=﹣4的解是x= ．
15．计算： •= ．
16．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，使∠1=60°，∠2=100°，则∠3= °．
17．如图，已知∠BAC=∠DAC，则再添加一个条件 ，可使△ABC≌△ADC．
18．如图，已知在△ABC中，AB=7，BC=6，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则△BCD的周长为 ．
三、解答题：（19题每小题8分，20题6分，满分14分）
19．（1）计算：﹣
（2）计算：（2﹣5）﹣（﹣）
20．解下列不等式≤﹣1，并将解集在数轴上表示出来．
四、分析与说理：（每小题8分，共2小题，满分16分）
21．已知：如图所示，AB=AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD．求证：DE=DF．
22．已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=2，以AD为一边向左作等边△ADE．
（1）求：△ABC的面积；
（2）判断AB与DE的位置关系是什么？请予以证明．
五、实践与应用（每小题8分，共2小题，满分16分）
23．已知北海到南宁的铁路长210千米．动车投入使用后，其平均速度达到了普通火车的平均速度的3倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.75小时．求普通火车的平均速度是多少？（列方程解答）
24．张华老师揣着200元现金到星光文具店购买学生期末考试的奖品．他看好了一种笔记本和一种钢笔，笔记本的单价为每本5元，钢笔的单价为每支2元．张老师计划购买两种奖品共50份，求他最多能买笔记本多少本？（列不等式解答）
六、阅读与探究（每小题10分，共2小题，满分20分）
25．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：
====|1+|=1+
解决问题：
①在括号内填上适当的数：
====| |=
②根据上述思路，试将予以化简．
26．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为线段BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边向右作正方形ADEF，连接FC，探究：无论点D运动到何处，线段FC、DC、BC三者的长度之间都有怎样的数量关系？请予以证明．
2016-2017学年湖南省娄底市娄星区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分．请把表示正确答案的字母填入下表中对应的题号下．）
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】最简分式．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
B、，不是最简分式；
C、，不是最简分式；
D、，不是最简分式；
故选A
2．当分式的值为0时，字母x的取值应为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】
直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：由题意，得
x+2=0且x﹣1≠0，
解得x=﹣2，
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2﹣3=﹣8 B．20=1 C．a2•a3=a6 D．a2+a3=a5
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法，零次幂，负整数指数幂，可得答案．
【解答】解：A、2﹣3==，故A错误；
B、20=1，故B正确；
C、a2•a3=a2+3=a5，故C错误；
D、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故D错误；
故选：B．
4．（﹣8）2的立方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【考点】立方根．
【分析】先求出（﹣8）2，再利用立方根定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣8）2=64，64的立方根是4，
∴（﹣8）2的立方根是4．
故选：A．
5．若代数式有意义，则x必须满足条件（ ）
A．x≠﹣ B．x＞ C．x＞﹣ D．x≥﹣
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得：2x+1≥0，
解得x≥﹣．
故选：D．
6．已知一个等腰三角形的一个内角是50°，则这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是（ ）
A．50°，80° B．65°，65°
C．50°，80°或65°，65° D．无法确定
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】本题可根据三角形的内角和定理求解．由于50°角可能是顶角，也可能是底角，因此要分类讨论．
【解答】解：当50°是底角时，顶角为180°﹣50°×2=80°，
当50°是顶角时，底角为÷2=65°．
故这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是50°，80°或65°，65°．
故选：C．
7．下列命题是假命题的是（ ）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等
C．对顶角相等
D．三角形的重心是三角形三条中线的交点
【考点】命题与定理．
【分析】根据实数与数轴的关系，绝对值的性质，对顶角相等以及三角形重心的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、实数与数轴上的点一一对应，是真命题，故本选项错误；
B、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等，是假命题，应为如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等或互为相反数，故本选项正确；
C、对顶角相等，是真命题，故本选项错误；
D、三角形的重心是三角形三条中线的交点，是真命题，故本选项错误．
故选B．
8．下列长度的三根线段，能构成三角形的是（ ）
A．3cm，10cm，5cm B．4cm，8cm，4cm
C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、5+3＜10，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、12+5＞13，能够组成三角形，符合题意；
D、2+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：C．
9．不等式组的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x≤3 C．1＜x≤3 D．﹣1＜x≤3
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选D．
10．计算÷×的结果估计在（ ）
A．5至6之间 B．6至7之间 C．7至8之间 D．8至9之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】利用二次根式的乘除法得到原式=，然后根据算术平方根的定义得到＜＜．
【解答】解：原式==，
因为＜＜，
所以6＜＜7．
故选B．
11．已知关于x的方程﹣=0的增根是1，则字母a的取值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【考点】分式方程的增根．
【分析】去分母得出整式方程，把x=1代入整式方程，即可求出答案．
【解答】解：﹣=0，
去分母得：3x﹣（x+a）=0①，
∵关于x的方程﹣=0的增根是1，
∴把x=1代入①得：3﹣（1+a）=0，
解得：a=2，
故选A．
12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【考点】反证法．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分）
13．最小刻度为0.2nm（1nm=10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为 2×10﹣10 m．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法表示这一最小刻度为2×10﹣10m，
故答案为：2×10﹣10．
14．分式方程=﹣4的解是x= ﹣1 ．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣1=﹣4x﹣8，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
故答案为：﹣1
15．计算： •= ．
【考点】分式的乘除法．
【分析】原式变形后，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=•=，
故答案为：
16．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，使∠1=60°，∠2=100°，则∠3= 40 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据三角形的外角性质求解即可．
【解答】解：如图，∵∠2=100°，并且是直尺，
∴∠4=∠2=100°（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=60°，
∴∠3=∠4﹣∠1=100°﹣60°=40°．
故答案为：40．
17．如图，已知∠BAC=∠DAC，则再添加一个条件 AB=AD（答案不唯一） ，可使△ABC≌△ADC．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据SAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：添加AB=AD；理由如下：
在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC；
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
18．如图，已知在△ABC中，AB=7，BC=6，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则△BCD的周长为 13 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线得出AD=CD，推出CD+BD=AB，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵AB=7，
∴AD+BD=7，
∴CD+BD=7，
∵BC=6，
∴△BCD的周长是CD+BD+BC=7+6=13，
故答案为：13
三、解答题：（19题每小题8分，20题6分，满分14分）
19．（1）计算：﹣
（2）计算：（2﹣5）﹣（﹣）
【考点】二次根式的加减法；分式的加减法．
【分析】（1）利用分式的通分、约分法则化简；
（2）根据二次根式的性质吧原式化简，合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）﹣
=﹣
=；
（2）计算：（2﹣5）﹣（﹣）
=4﹣10﹣3+3
=﹣7．
20．解下列不等式≤﹣1，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
【解答】解：去分母，得：4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，
去括号，得：8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项，得：8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项，得：﹣x≤﹣2，
系数化为1，得：x≥2，
解集在数轴上表示为：
四、分析与说理：（每小题8分，共2小题，满分16分）
21．已知：如图所示，AB=AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD．求证：DE=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】欲证明DE=DF，只要证明△ABD≌△ACD（SSS），推出∠B=∠C再证明△BDE≌△CDF即可．
【解答】证明：连接AD．
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B=∠C，
在BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF．
22．已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=2，以AD为一边向左作等边△ADE．
（1）求：△ABC的面积；
（2）判断AB与DE的位置关系是什么？请予以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可知∠DAC=30°，在RtADC中求出DC，再根据BC=2DC，由此即可解决问题．
（2）通过计算只要证明∠AFD=90°即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，且AD为BC边上的中线
∴AD⊥BC（三线合一），∠BAD=∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，∵AD=2，∴CD=BD=2，
∴BC=4，
∴△ABC的面积=×4×2=4
（2）解：AB与DE的位置关系是AB⊥DE，理由如下：
∵△ADE是等边三角形
∴∠ADF=60°
∵△ABC是等边三角形，AD为BC边上的中线
∴AD为∠BAC的平分线（三线合一）
∴∠FAD=∠BAC=×60°=30°
∴∠AFD=180°﹣60°﹣30°=90°
∴AB⊥DE
（说明：或证∠BFD=90°或证∠AFE=90°也可以）
五、实践与应用（每小题8分，共2小题，满分16分）
23．已知北海到南宁的铁路长210千米．动车投入使用后，其平均速度达到了普通火车的平均速度的3倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.75小时．求普通火车的平均速度是多少？（列方程解答）
【考点】分式方程的应用．
【分析】设普通火车的平均速度为x千米/时，则动车的平均速度为3x千米/时，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间缩短了1.75小时，列方程即可．
【解答】解：设普通火车的平均速度为x千米/时，则动车的平均速度为3x千米/时，
列方程得=+1.75，
解得x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，
答：普通火车的平均速度是80千米/时．
24．张华老师揣着200元现金到星光文具店购买学生期末考试的奖品．他看好了一种笔记本和一种钢笔，笔记本的单价为每本5元，钢笔的单价为每支2元．张老师计划购买两种奖品共50份，求他最多能买笔记本多少本？（列不等式解答）
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求出他最多能买笔记本多少本．
【解答】解：设他买笔记本x本，
5x+2（50﹣x）≤200，
解得，x≤，
即他最多能买笔记本33本．
六、阅读与探究（每小题10分，共2小题，满分20分）
25．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：
====|1+|=1+
解决问题：
①在括号内填上适当的数：
====| 3+ |= 3+
②根据上述思路，试将予以化简．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】①根据题目中的例子可以解答本题；
②根据题目中的例子可以解答本题．
【解答】解：①
=
=
=
=|3+|
=3+，
故答案为：3+，3+；
②
=
=
=|5﹣|
=5﹣．
26．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为线段BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边向右作正方形ADEF，连接FC，探究：无论点D运动到何处，线段FC、DC、BC三者的长度之间都有怎样的数量关系？请予以证明．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△BAD≌△FAC，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：无论点D运动到何处，都有BC=FC+DC，
理由如下：
在△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS）
∴BD=FC，
又∵BC=BD+DC，
∴BC=FC+DC．
2017年2月7日
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