吉林省长春市德惠市2017届九年级（上）期末数学试卷（解析版）人教版.doc

‎2016-2017学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．下列运算中错误的是（　　）‎ A． += B．×= C．÷=2 D． =3‎ ‎2．一元二次方程x2+3x+2=0的两个根为（　　）‎ A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1，2 D．1，2‎ ‎3．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0‎ ‎4．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）‎ A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球 ‎5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）‎ A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =‎ ‎6．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（　　）‎ A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（5，1） D．（5，﹣1）‎ ‎7．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（　　）‎ A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm ‎8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎9．计算的结果是　　．‎ ‎10．若+a=0，则a的取值范围为　　．‎ ‎11．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是　　．‎ ‎12．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为　　．‎ ‎13．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行　　海里与钓鱼 岛A的距离最近？‎ ‎14．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共78分）‎ ‎15．计算 ‎（1）﹣（﹣π）0﹣2sin60°．‎ ‎（2）（3﹣2+÷2）．‎ ‎16．如图，在∠ABC中，∠B=30°，AC=，等腰直角△ACD斜边AD在AB边上，求BC的长．‎ ‎17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM、MN、BN．求证：BM=MN．‎ ‎18．如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为52°，测得塔底C的俯角为45°，已知A处距地面98米，求塔高BC．（结果精确到0.1米）‎ ‎【参考数据：sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28】‎ ‎19．如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．‎ ‎（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于　　；‎ ‎（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；‎ ‎（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？‎ ‎（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为　　．‎ ‎20．甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．‎ ‎（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是　　．‎ ‎（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．‎ ‎21．2013年，某市一楼盘以毎平方米5000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2015年的均价为每平方米4050元．‎ ‎（1）求平均每年下调的百分率；‎ ‎（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金45万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）‎ ‎22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．‎ ‎（1）求证：△ADF∽△ACG；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）连接OM，求∠AOM的大小；‎ ‎（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省长春市德惠市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．下列运算中错误的是（　　）‎ A． += B．×= C．÷=2 D． =3‎ ‎【考点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法．‎ ‎【分析】利用二次根式乘除运算法则以及加减运算法则分别判断得出即可．‎ ‎【解答】解：A、+无法计算，故此选项正确；‎ B、×=，正确，不合题意；‎ C、÷=2，正确，不合题意；‎ D、=3，正确，不合题意．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．一元二次方程x2+3x+2=0的两个根为（　　）‎ A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．﹣1，2 D．1，2‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【分析】利用因式分解法解方程．‎ ‎【解答】解：（x+1）（x+2）=0，‎ x+1=0或x+2=0，‎ 所以x1=﹣1，x2=﹣2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后可以求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意知k≠0，△=4+4k＞0‎ 解得k＞﹣1且k≠0．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）‎ A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球 ‎【考点】随机事件．‎ ‎【分析】根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．‎ ‎【解答】解：A．摸出的是3个白球是不可能事件；‎ B．摸出的是3个黑球是随机事件；‎ C．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；‎ D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）‎ A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =‎ ‎【考点】相似三角形的判定．‎ ‎【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．‎ ‎【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；‎ B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；‎ C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；‎ D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（　　）‎ A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（5，1） D．（5，﹣1）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可．‎ ‎【解答】解：如图，A点坐标为（0，2），‎ 将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（　　）‎ A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】根据题意可知：△AEO∽△ABD，从而可求得BD的长，然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 根据题意可知：△AFO∽△ACD，OF=EF=30cm ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴CD=72cm，‎ ‎∵tanα=‎ ‎∴‎ ‎∴AD==180cm．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到为b=2a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到△=b2﹣4ac＞0，则可对②进行判断；利用b=2a可对③进行判断；利用x=﹣1时函数值为正数可对④进行判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，‎ ‎∴b=2a＜0，‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＞0，所以①正确；‎ ‎∵抛物线与x轴有2个交点，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；‎ ‎∵b=2a，‎ ‎∴2a﹣b=0，所以③错误；‎ ‎∵抛物线开口向下，x=﹣1是对称轴，所以x=﹣1对应的y值是最大值，‎ ‎∴a﹣b+c＞2，所以④正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎9．计算的结果是　2　．‎ ‎【考点】二次根式的乘除法．‎ ‎【分析】根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断．‎ ‎【解答】解：原式=2×‎ ‎=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎10．若+a=0，则a的取值范围为　a≤0　．‎ ‎【考点】二次根式的性质与化简．‎ ‎【分析】根据二次根式的性质解答．‎ ‎【解答】解：由+a=0，移项得=﹣a，‎ ‎∴a≤0．‎ ‎　‎ ‎11．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是　　．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．‎ ‎【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎12．将抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为　y=2（x+2）2﹣2　．‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求得即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y=2（x﹣1+3）2+2﹣4=2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y=2（x+2）‎ ‎2﹣2．‎ 故答案为：y=2（x+2）2﹣2．‎ ‎　‎ ‎13．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行　50　海里与钓鱼岛A的距离最近？‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，求出CD，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ABC=30°，∠ACD=60°，‎ ‎∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°，‎ ‎∴CA=CB．‎ ‎∵CB=50×2=100（海里），‎ ‎∴CA=100（海里），‎ 在直角△ADC中，∠ACD=60°，‎ ‎∴CD=AC=×100=50（海里）．‎ 则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近；‎ 故答案为：50．‎ ‎　‎ ‎14．如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=　　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】由题意得出BC=1，BI=4，则=，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得=，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式==，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，‎ ‎∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，‎ ‎∴==， =，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠ABI=∠ABC，‎ ‎∴△ABI∽△CBA；‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AI=BI=4；‎ ‎∵∠ACB=∠FGE，‎ ‎∴AC∥FG，‎ ‎∴==，‎ ‎∴QI=AI=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（共78分）‎ ‎15．计算 ‎（1）﹣（﹣π）0﹣2sin60°．‎ ‎（2）（3﹣2+÷2）．‎ ‎【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】（1）原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；‎ ‎（2）原式化简后，合并即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）原式=4﹣1﹣3=0；‎ ‎（2）原式=6﹣+2=+2．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在∠ABC中，∠B=30°，AC=，等腰直角△ACD斜边AD在AB边上，求BC的长．‎ ‎【考点】含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．‎ ‎【分析】首先过点C作CE⊥AB交AB于点E，由已知等腰直角△ACD，AC=，可求出CE，在直角三角形CEB中，根据含30°角的直角三角形性质可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：过点C作CE⊥AB交AB于点E，‎ 已知等腰直角△ACD，‎ ‎∴△AEC是等腰直角三角形，‎ 设CE=x，‎ 则2x2=，‎ ‎∴x=1，即CE=1，‎ 在直角三角形CEB中，∠B=30°，‎ ‎∴BC=2CE=2．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM、MN、BN．求证：BM=MN．‎ ‎【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，‎ ‎∴MN∥AD，MN=AD，‎ 在Rt△ABC中，∵M是AC中点，‎ ‎∴BM=AC，‎ ‎∵AC=AD，‎ ‎∴BM=MN．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为52°，测得塔底C的俯角为45°，已知A处距地面98米，求塔高BC．（结果精确到0.1米）‎ ‎【参考数据：sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28】‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据∠ACD=∠CAD=45°求出∠ACD=∠CAD=45°，从而得到AD=CD=98，再在Rt△ABD中，求出BC的长．‎ ‎【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．‎ 由题意可知，在Rt△ADC中，‎ ‎∠ADC=90°，∠CAD=45°，CD=98，‎ ‎∴∠ACD=∠CAD=45°．‎ ‎∴AD=CD=98．‎ 在Rt△ABD中，‎ BD=AD×tan∠BAD=98×1.28=125.44．‎ ‎∴BC=BD+CD=125.44+98=223.44≈223.4（米）．‎ 答：塔高BC约为223.4米．‎ ‎　‎ ‎19．如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．‎ ‎（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于　　；‎ ‎（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；‎ ‎（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？‎ ‎（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为　（﹣2x﹣2，2y+2）　．‎ ‎【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．‎ ‎【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；‎ ‎（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；‎ ‎（3）根据△A3B3C3与△A2B2C2的关系过程其变化过程即可；‎ ‎（4）根据三次变换规律得出坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1））△ABC与△A1B1C1的位似比等于=；‎ ‎（2）如图所示 ‎（3）△A3B3C3是由△A2B2C2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到；‎ ‎（4）点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2x﹣2，2y+2）．‎ 故答案为：；（﹣2x﹣2，2y+2）．‎ ‎　‎ ‎20．甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．‎ ‎（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相 同的概率是　　．‎ ‎（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；‎ ‎（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意画图如下：‎ 共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，‎ 则所选的2名教师性别相同的概率是=；‎ 故答案为：；‎ ‎（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：‎ 所以P（两名教师来自同一所学校）==．‎ ‎　‎ ‎21．2013年，某市一楼盘以毎平方米5000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2015年的均价为每平方米4050元．‎ ‎（1）求平均每年下调的百分率；‎ ‎（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金45万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据2013年的房价为5000元以及2015年的房价为4050元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；‎ ‎（2）根据下调相同的百分率求出2016年购买100平方米住房需要的价钱，比较后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，‎ 根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，‎ 解得：x1=10%，x2=190%（舍去）．‎ 答：平均每年下调的百分率为10%．‎ ‎（2）如果下调的百分率相同，2016年的房价每平方米为：4050×（1﹣10%）=3645（元），‎ 买100平方米的住房需3645×100=364500（元）=36.45（万元），‎ ‎∵45万元＞36.45万元，‎ ‎∴张强的愿望能实现．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．‎ ‎（1）求证：△ADF∽△ACG；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．‎ ‎（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，‎ ‎∴∠ADF=∠C，‎ ‎∵=，‎ ‎∴△ADF∽△ACG．‎ ‎（2）解：∵△ADF∽△ACG，‎ ‎∴=，‎ 又∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=1．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式；‎ ‎（2）连接OM，求∠AOM的大小；‎ ‎（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；‎ ‎（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；‎ ‎（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2BA∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，‎ ‎∵AO=OB=2，∠AOB=120°，‎ ‎∴∠AOE=30°，‎ ‎∴OE=，AE=1，‎ ‎∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），‎ 将两点代入y=ax2+bx得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；‎ ‎（2）过点M作MF⊥OB于点F，‎ ‎∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，‎ ‎∴M点坐标为：（1，﹣），‎ ‎∴tan∠FOM==，‎ ‎∴∠FOM=30°，‎ ‎∴∠AOM=30°+120°=150°；‎ ‎（3）当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；‎ 当点C在x轴正半轴上时，‎ ‎∵AO=OB=2，∠AOB=120°，‎ ‎∴∠ABO=∠OAB=30°，‎ ‎∴AB=2EO=2，‎ 当△ABC1∽△AOM，‎ ‎∴=，‎ ‎∵MO==，‎ ‎∴=，‎ 解得：BC1=2，∴OC1=4，‎ ‎∴C1的坐标为：（4，0）；‎ 当△C2BA∽△AOM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：BC2=6，∴OC2=8，‎ ‎∴C2的坐标为：（8，0）．‎ 综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．‎ ‎　‎ ‎2017年2月6日