江苏省扬州市2017届九年级（上）期末数学试卷（解析版）苏科版.doc

‎2016-2017学年江苏省扬州市九年级（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．‎ ‎2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（　　）‎ A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7‎ ‎3．二次函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（　　）‎ A．（1，2） B．（1，6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，2）‎ ‎4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=，则cosB的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 ‎6．如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，D是的中点，那么∠DAC的度数是（　　）‎ A．25° B．29° C．30° D．32°‎ ‎7．已知二次函数y=ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎…‎ 在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜‎ ‎4，y1与y2的大小关系正确的是（　　）‎ A．y1≥y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＜y2‎ ‎8．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的大致图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　）‎ A．BD B．AD C．OD D．CD ‎　‎ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．如果，那么锐角A的度数为　　．‎ ‎10．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是　　．‎ ‎11．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为　　．‎ ‎12．将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是　　．‎ ‎13．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则tanB的值为　　．‎ ‎14．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是　　．‎ ‎15．如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为　　．‎ ‎16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为　　．‎ ‎17．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为　　．‎ ‎18．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．计算：‎ ‎（1）sin260°+cos260°；‎ ‎（2）4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．‎ ‎20．解方程：‎ ‎（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0‎ ‎（2）x2+4x﹣896=0．‎ ‎21．化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m﹣1），其中m是方程x2+x﹣1=0的一个根．‎ ‎22．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90‎ 立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．‎ ‎23．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）‎ ‎24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．‎ ‎（1）操作：请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；‎ ‎（2）说理：结合图②，说明你这样画的理由．‎ ‎25．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件．‎ ‎（1）当售价定为12元时，每天可售出　　件；‎ ‎（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？‎ ‎（3）当每件售价定为多少元时，每天获得最大利润？并求出最大利润．‎ ‎26．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD 延长线上的一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=4+，BC=2，求⊙O的半径．‎ ‎27．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：‎ 构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα==，可设BC=x，则AB=3x，…．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）‎ ‎（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=，求sin2β的值．‎ ‎28．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N．点P是线段MN上的一动点，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．‎ ‎（1）直接写出抛物线的顶点M的坐标是　　．‎ ‎（2）当点E与点O（原点）重合时，求点P的坐标．‎ ‎（3）点P从M运动到N的过程中，求动点E的运动的路径长．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省扬州市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，‎ 解得：a=﹣1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（　　）‎ A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】先移项得到x2+8x=﹣9，然后把方程作边利用完全平方公式变形得到（x+4）2=7即可．‎ ‎【解答】解：x2+8x=﹣9，‎ x2+8x+16=7，‎ ‎（x+4）2=7．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．二次函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（　　）‎ A．（1，2） B．（1，6） C．（﹣1，6） D．（﹣1，2）‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣2x+3‎ ‎=x2﹣2x+1﹣1+3‎ ‎=（x﹣1）2+2，‎ ‎∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=，则cosB的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】互余两角三角函数的关系．‎ ‎【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．‎ ‎【解答】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，得 ‎∠B+∠A=90°．‎ cosB=sinA=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．‎ ‎【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；‎ 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．‎ 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，D是的中点，那么∠DAC的度数是（　　）‎ A．25° B．29° C．30° D．32°‎ ‎【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．‎ ‎【分析】连接BC，根据圆周角定理及等边对等角求解即可．‎ ‎【解答】解：连接BC，‎ ‎∵AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，‎ ‎∴∠ACB=90°，∠B=90°﹣32°=58°，‎ ‎∴∠D=180°﹣∠B=122°（圆内接四边形对角互补），‎ ‎∵D是的中点，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA=÷2=29°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．已知二次函数y=ax2+bx+c中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：‎ x ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎…‎ 在该函数的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，y1与y2的大小关系正确的是（　　）‎ A．y1≥y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＜y2‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向上，然后比较点A、点B离直线x=2的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到y1＞y2．‎ ‎【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=2，‎ ‎∵﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，‎ ‎∴点A（x1，y1）到直线x=2的距离比点B（x2，y2）到直线x=2的距离要大，‎ 而抛物线的开口向下，‎ ‎∴y1＜y2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的大致图象如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　）‎ A．BD B．AD C．OD D．CD ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据图象，结合等腰三角形的性质，分点当点D在AB上，当点D在AC上以及勾股定理分析得出答案即可．‎ ‎【解答】解：当点D在AB上，则线段BD表示为y=x，线段AD表示为y=AB﹣x为一次函数，不符合图象；‎ 同理当点D在AC上，也为为一次函数，不符合图象；‎ 如图，‎ 作OE⊥AB，‎ ‎∵点O是BC中点，设AB=AC=a，∠BAC=120°．‎ ‎∴AO=，BO=a，OE=a，BE=a，‎ 设BD=x，OD=y，AB=AC=a，‎ ‎∴DE=a﹣x，‎ 在Rt△ODE中，‎ DE2+OE2=OD2，‎ ‎∴y2=（a﹣x）2+（a）2‎ 整理得：y2=x2﹣ax+a2，‎ 当0＜x≤a时，y2=x2﹣ax+a2，函数的图象呈抛物线并开口向上，‎ 由此得出这条线段可能是图1中的OD．‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．如果，那么锐角A的度数为　30°　．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据30°角的余弦值等于解答．‎ ‎【解答】解：∵cosA=，‎ ‎∴锐角A的度数为30°．‎ 故答案为：30°．‎ ‎　‎ ‎10．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是　m≤1　．‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．‎ ‎【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，‎ ‎∴△≥0，‎ 即4﹣4m≥0，‎ ‎∴﹣4m≥﹣4，‎ ‎∴m≤1．‎ 故答案为：m≤1．‎ ‎　‎ ‎11．某果园2014年水果产量为100吨，2016年水果产量为144吨，则该果园水果产量的年平均增长率为　20%　．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】2016年的水果产量=2014年的水果产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，得 100（1+x）2=144，‎ 解这个方程，得x1=0.2，x2=﹣2.2．‎ 经检验x2=﹣2.2不符合题意，舍去．‎ 故答案为：20%．‎ ‎　‎ ‎12．将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是　y=2（x﹣1）2+2　．‎ ‎【考点】二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案．‎ ‎【解答】解：将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=2（x﹣1）2+2，‎ 故答案为：y=2（x﹣1）2+2．‎ ‎　‎ ‎13．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则tanB的值为　　．‎ ‎【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．‎ ‎【解答】解：如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，‎ 过A作AD⊥BC于D，则BD=3，‎ 在Rt△ABD中，AB=5，BD=3，则 AD=4，‎ 故tanB==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是　105°　．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质．‎ ‎【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠DAB+∠DCB=180°，‎ ‎∵∠BAD=105°，‎ ‎∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，‎ ‎∵∠DCB+∠DCE=180°，‎ ‎∴∠DCE=∠DAB=105°．‎ 故答案为：105°‎ ‎　‎ ‎15．如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为　　．‎ ‎【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；正方形的性质．‎ ‎【分析】设AD=x，根据正方形的性质得AF=AB=EF=1，则FD=x﹣1，在根据相似多边形的性质，得到DF：AB=EF：AD，即（x﹣1）：1=1：x，然后解方程，即可得到AD的长．‎ ‎【解答】解：设AD=x，‎ ‎∵四边形ABEF为正方形，‎ ‎∴AF=AB=EF=1，‎ ‎∴FD=x﹣1，‎ ‎∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，‎ ‎∴DF：AB=EF：AD，‎ 即（x﹣1）：1=1：x，‎ 整理得x2﹣x﹣1=0，‎ 解得x1=，x2=（舍去），‎ ‎∴AD的长为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2‎ ‎，则阴影部分的面积为　　．‎ ‎【考点】扇形面积的计算；垂径定理．‎ ‎【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．‎ ‎【解答】解：连接OD．‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴CE=DE=CD=（垂径定理），‎ 故S△OCE=S△ODE，‎ 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，‎ 又∵∠CDB=30°，‎ ‎∴∠COB=60°（圆周角定理），‎ ‎∴OC=2，‎ 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为　（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．‎ ‎【分析】设竿长为x尺，根据题意可得，则房门的宽为x﹣4，高为x﹣2，对角线长为x，然后根据勾股定理列出方程．‎ ‎【解答】解：设竿长为x尺，‎ 由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．‎ 故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．‎ ‎　‎ ‎18．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　x3=0，x4=﹣3　．‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），‎ ‎∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，‎ 解得x=0或x=﹣3．‎ 故答案为：x3=0，x4=﹣3．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．计算：‎ ‎（1）sin260°+cos260°；‎ ‎（2）4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．‎ ‎【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案；‎ ‎（2）直接利用特殊角的三角函数值代入化简求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）原式=（）2+（）2‎ ‎=1．‎ ‎（2）原式=4×+﹣2﹣1‎ ‎=﹣1．‎ ‎　‎ ‎20．解方程：‎ ‎（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0‎ ‎（2）x2+4x﹣896=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】（1）先把方程变形得到x（x﹣3）+4（x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程；‎ ‎（2）利用配方法得到（x+2）2=900，然后根据直接开平方法求解．‎ ‎【解答】解：（1）x（x﹣3）+4（x﹣3）=0，‎ ‎（x﹣3）（x+4）=0，‎ x﹣3=0或x+4=0，‎ 所以x1=3，x2=﹣4；‎ ‎（2）x2+4x=896，‎ x2+4x+4=900，‎ ‎（x+2）2=900，‎ x+2=±30，‎ 所以x1=28，x2=﹣32．‎ ‎　‎ ‎21．化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m﹣1），其中m是方程x2+x﹣1=0的一个根．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值；一元二次方程的解．‎ ‎【分析】求出m2+m=1，算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的一个根，‎ ‎∴m2+m=1． …‎ ‎∴原式=m2+2m+1+m2﹣1‎ ‎=2m2+2m ‎=2．‎ ‎　‎ ‎22．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x﹣4）米，无盖长方体箱子的底面长为（x﹣4）米，底面宽为（x﹣4﹣4）米，根据运输箱的容积为90立方米建立方程求出其解即可．‎ ‎【解答】解：设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x﹣4）米，由题意，得 ‎（x﹣4）（x﹣8）×2=90，‎ 解得：x1=13，x2=﹣12（舍去），‎ 所以矩形铁皮的宽为：13﹣4=9米，‎ 矩形铁皮的面积是：13×9=117（平方米）．‎ 答：矩形铁皮的面积是117平方米．‎ ‎　‎ ‎23．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H，则∠AHE=90°．先求出∠‎ AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．‎ ‎【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠GEF=∠BGE=90°‎ ‎∵∠AEF=143°，‎ ‎∴∠AEH=53°．‎ ‎∴∠EAH=37°． ‎ 在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90°，‎ ‎∴sin∠EAH=sin 37°‎ ‎∴‎ ‎∴EH=1.2×0.6=0.72． ‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴四边形ABGH为矩形．‎ ‎∵GH=AB=1.2，‎ ‎∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9．‎ 答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米．‎ ‎　‎ ‎24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．‎ ‎（1）操作：请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；‎ ‎（2）说理：结合图②，说明你这样画的理由．‎ ‎【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；圆周角定理．‎ ‎【分析】（1）图①中，连接AP即为∠P的平分线；图②中，连接AO交⊙O于点E，连接PE即为∠P的平分线；‎ ‎（2）根据等弧所对的圆周角相等即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，AP即为∠P的平分线；图②中，连接PE即为∠P的平分线；‎ ‎（2）如图②，∵AB=AC，‎ ‎∴AE是BA的垂直平分线，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠BPE=∠CPE，即PE即为∠P的平分线．‎ ‎　‎ ‎25．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件．‎ ‎（1）当售价定为12元时，每天可售出　160　件；‎ ‎（2）要使每天利润达到640元，则每件售价应定为多少元？‎ ‎（3）当每件售价定为多少元时，每天获得最大利润？并求出最大利润．‎ ‎【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】（1）由原来的销量﹣减少的销量就可以得出现在的销量而得出结论；‎ ‎（2）由利润=每件利润×销售数量建立方程求出其解即可；‎ ‎（3）设每天获得的利润为W元，由利润=每件利润×销售数量建立W与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得 ‎200﹣20×（12﹣10）=160．‎ 故答案为：160；‎ ‎（2）设每件售价定为x元，由题意，得 ‎（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]=640，‎ 解得x1=16，x2=12．‎ 答：要使每天利润达到640元，则每件售价应定为16或12元；‎ ‎（3）设售价为x元，每天的利润为W元，由题意，得 W=（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]‎ W=﹣20x2+560x﹣3200，‎ W=﹣20（x﹣14）2+720．‎ ‎∵a=﹣20＜0，‎ ‎∴x=14时，W最大=720．‎ 答：当每件售价定为14元时，每天获得最大利润，为720元．‎ ‎　‎ ‎26．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=4+，BC=2，求⊙O的半径．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；‎ ‎（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2，于是得到BE=BC=，CE=3，根据勾股定理得到AC==5，于是得到AP=AC=5．解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OA，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴∠AOC=2∠B=120°，‎ 又∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA=30°，‎ 又∵AP=AC，‎ ‎∴∠P=∠ACP=30°，‎ ‎∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．‎ 在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2，‎ ‎∴BE=BC=，CE=3，‎ ‎∵AB=4+，‎ ‎∴AE=AB﹣BE=4，‎ ‎∴在Rt△ACE中，AC==5，‎ ‎∴AP=AC=5．‎ ‎∴在Rt△PAO中，OA=，‎ ‎∴⊙O的半径为．‎ ‎　‎ ‎27．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：‎ 构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα==，可设BC=x，则AB=3x，…．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）‎ ‎（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=，求sin2β的值．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα==，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD，在Rt△COD中，根据sin2α=，计算即可．‎ ‎（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．首先证明∠MON=2∠Q=2β，‎ 在Rt△QMN中，由sinβ=，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=，可得MQ=，由•MN•MQ=•NQ•MR，求出在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα==，可设BC=x，则AB=3x．‎ ‎∴AC===2x，‎ ‎∵•AC•BC=•AB•CD，‎ ‎∴CD=x，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA=α，‎ ‎∴∠COB=2α，‎ ‎∴sin2α==．　‎ ‎（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．‎ 在⊙O中，∠NMQ=90°，‎ ‎∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，‎ 在Rt△QMN中，∵sinβ=，‎ ‎∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=，‎ ‎∴MQ=，‎ ‎∵，‎ ‎∴3k•4k=5k•MR ‎∴MR=，‎ 在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=．‎ ‎　‎ ‎28．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N．点P是线段MN上的一动点，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．‎ ‎（1）直接写出抛物线的顶点M的坐标是　（1，4）　．‎ ‎（2）当点E与点O（原点）重合时，求点P的坐标．‎ ‎（3）点P从M运动到N的过程中，求动点E的运动的路径长．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）将解析式配成顶点式即可．‎ ‎（2）当点E与O重合时，设PN=m，过点C作CF⊥MN于F，由△ENP∽△PFC用相似比例建立方程解之即可．‎ ‎（3）找到左右两个极端位置即可．P在M点时，E在右边最运处，这个时候求出EN为对称轴右边的路径长度；E点在左侧时，设EN=y，PN=x，由△ENP∽△PFC列出比例方程，得到y关于x的二次函数，配方求出最大值，再加上右边路径长度即为总路径长度．‎ ‎【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴M（1，4）；‎ ‎（2）当点E与O重合时，EN=1，设PN=m，‎ 过点C作CF⊥MN，垂足为F，如图1，‎ ‎∵∠EPC=90°，‎ ‎∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，‎ ‎∴∠CPF=∠PEN，‎ ‎∴△ENP∽△PFC ‎∴，即：，‎ 解得：m=‎ ‎∴点P的坐标为：（1，）或（1，）‎ ‎（3）①当点P与M重合时，如图2，‎ 由△ENM∽△MFC可知，，‎ ‎∴EN=4，‎ 即当点P从M运动到F时，点E运动的路径长EN为4；‎ ‎②当点P从F运动到N时，点E从点N向左运动到某最远点后，回到点N结束．如图3，‎ 设EN=y，PN=x，‎ 由△ENP∽△PFC可知，，即：，‎ ‎∴，‎ 当x=时，y有最大值，为；‎ ‎∴E的运动的路径长为：．‎ ‎　‎ ‎2017年2月6日