2016-2017学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．）
1．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4
2．已知双曲线y=经过点（﹣2，1），则k的值等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）
A．6 B．10 C．3 D．5
4．我市5月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：19，20，24，22，24，26，27，则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A．23，24 B．24，22 C．24，24 D．22，24
5．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
7．以下命题：①同位角相等；②长度相等弧是等弧；③对角线相等的平行四边形是矩形；④抛物线y=（x+2）2+1的对称轴是直线x=﹣2．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A．y=2（x﹣3）2+2 B．y=2（x+3）2+2 C．y=2（x﹣3）2﹣2 D．y=2（x+3）2﹣2
9．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
10．如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A．2π B．π C．4 D．6
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答卷上相应的位置）
11．3的相反数为 ．
12．分解因式：x2﹣4= ．
13．正六边形的一个内角是 ．
14．据国网江苏电力公司分析，我省预计今夏统调最高用电负荷将达到86000000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为 千瓦．
15．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 ．
16．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数均为9.3环，方差（单位：环2）依次分别为0.026、0.015、0.032．则射击成绩最稳定的选手是 （填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）．
17．如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y=﹣（x+1）（x﹣7）．铅球落在A点处，则OA长= 米．
18．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）|﹣|﹣（π﹣）0+tan45°
（2）a（a﹣3）+（2﹣a）（2+a）
20．（1）解不等式 ﹣1＞
（2）解方程：x2+4x+3=0．
21．方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．解答问题：
（1）请按要求对△ABO作如下变换：
①将△OAB向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到△O1A1B1；
②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA2B2．
（2）写出点A1，A2的坐标： ， ；
（3）△OA2B2的面积为 ．
22．近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2016年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”（用D表示）实行每辆3万元的补助，小刘对该省2016年上半年“纯电动乘用车”（有三种类型分别用A、B、C表示）和“插电式混合动力汽车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？
23．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．
如图2，正方形ABCD
顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…
设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
24．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
25．无锡市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．
（1）求该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润可以达到180元？
（2）当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
26．如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm
，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm． sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73
（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC．
（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF为24cm，点P为眼睛所在位置，当点P在EF 的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm）时，称点P为“最佳视点”．请通过计算说明最佳视点P在不在灯光照射范围内？
27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．
（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 ；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）在运动过程中，当直线MN与⊙O相切时，求t的值．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是3个，请直接写出a的值．
2016-2017学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的．）
1．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣4≥0，可求x的范围．
【解答】解：x﹣4≥0
解得x≥4，
故选：B．
2．已知双曲线y=经过点（﹣2，1），则k的值等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据点在双曲线上，将点的横纵坐标，代入反比例函数解析式中，即可求的k值．
【解答】解：将点（﹣2，1）代入y=中，
得：1=，解得k=﹣2，
故选D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O
的半径为（ ）
A．6 B．10 C．3 D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理求出OC的长即可．
【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，CD=8，
∴PC=CD=4，
∴OC===5．
故选D．
4．我市5月的某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：19，20，24，22，24，26，27，则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A．23，24 B．24，22 C．24，24 D．22，24
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数，即可得出答案．
【解答】解：24出现了2次，出现的次数最多，
则众数是24；
把这组数据从小到大排列19，20，22，24，24，26，27，最中间的数是24，
则中位数是24；
故选：C．
5．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形，是轴对称图形但也是中心对称图形；
第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形，不是轴对称图形，是中心对称图形；
第四个图形，是轴对称图形，也是中心对称图形．
所以只有第二个图形是轴对称图形但不是中心对称图形．
故选：A．
6．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，得
∠A+∠B=90°，
cosB=sinA=，
故选：D．
7．以下命题：①同位角相等；②长度相等弧是等弧；③对角线相等的平行四边形是矩形；④抛物线y=（x+2）2+1的对称轴是直线x=﹣2．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理．
【分析】利用平行线的性质、等弧的定义、矩形的判定及抛物线的对称轴的确定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；
②长度相等弧是等弧，错误，是假命题；
③对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；
④抛物线y=（x+2）2+1的对称轴是直线x=﹣2，正确，是真命题，
正确的有2个，
故选B．
8．把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A．y=2（x﹣3）2+2 B．y=2（x+3）2+2 C．y=2（x﹣3）2﹣2 D．y=2（x+3）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是：y=2（x﹣3）2+2．
故选A．
9．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】利用A、B、C的坐标得到AB=6，BC=3，∠ABC=90°，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解答】解：∵点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），
∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
当E点坐标为（4，2），而D（6，1），则CE=1，CD=2，∠ECD=90°，
∵==3，∠ABC=∠ECD，
∴△ABC∽△DCE；
当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED=1，CD=2，∠EDC=90°，
∵==3，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC；
当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED=2，CD=2，∠EDC=90°，
∵≠，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC与△ECD不相似；
当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED=4，CD=2，∠EDC=90°，
∵==，∠ABC=∠EDC，
∴△ABC∽△EDC．
故选C．
10．如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A．2π B．π C．4 D．6
【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质．
【分析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH，只要证明∠EGF=90°，求出GE的长即可解决问题．
【解答】解：如图，
点P运动的路径是以G为圆心的弧，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=4，
∴的长==2π．
故选：A．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，
只需把答案直接填写在答卷上相应的位置）
11．3的相反数为 ﹣3 ．
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：3的相反数为﹣3，
故答案为：﹣3．
12．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
13．正六边形的一个内角是 120° ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的内角和公式180°（n﹣2）计算出六边形的内角和，然后再除以6即可．
【解答】解：由题意得：180°（6﹣2）÷6=120°，
故答案为：120°．
14．据国网江苏电力公司分析，我省预计今夏统调最高用电负荷将达到86000000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为 8.6×107 千瓦．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将86000000用科学记数法表示为：8.6×107．
故答案为：8.6×107．
15．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 20πcm2 ．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这个圆锥的侧面积=•2π•4•5=20π（cm2）．
故答案为20πcm2．
16．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数均为9.3环，方差（单位：环2）依次分别为0.026、0.015、0.032．则射击成绩最稳定的选手是 乙 （填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）．
【考点】方差．
【分析】从统计表可以看出甲、乙、丙三位选手的平均数相同，进一步比较方差，方差小的数据的比较稳定，由此解决问题即可．
【解答】解：∵0.015＜0.026＜0.032，
∴乙的方差＜甲的方差＜丙的方差，
∴射击成绩最稳定的选手是乙．
故答案为：乙．
17．如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y=﹣（x+1）（x﹣7）．铅球落在A点处，则OA长= 7 米．
【考点】二次函数的应用．
【分析】当y=0时代入解析式y=﹣（x+1）（x﹣7）．求出x的值即可．
【解答】解：由题意，得
当y=0时，0=﹣（x+1）（x﹣7），
解得：x1=﹣1（舍去），x2=7．
故答案为：7．
18．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是 3 ．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．
【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．
【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=3，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=3．
故答案为3．
三、解答题：（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）|﹣|﹣（π﹣）0+tan45°
（2）a（a﹣3）+（2﹣a）（2+a）
【考点】平方差公式；实数的运算；单项式乘多项式；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）依据实数的运算性质计算即可；
（2）先依据单项式乘多项式法则、平方差公式进行计算，然后再合并即可．
【解答】解：（1）原式=﹣1+1=
（2）a（a﹣3）+（2﹣a）（2+a）
=a2﹣3a+4﹣a2
=﹣3a+4．
20．（1）解不等式 ﹣1＞
（2）解方程：x2+4x+3=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣3）﹣6＞2（x﹣5），
3x﹣9﹣6＞2x﹣10，
3x﹣2x＞﹣10+9+6，
x＞5；
（2）x2+4x+3=0，
△=42﹣4×1×3=4，
x=，
x1=﹣1，x2=﹣3．
21．方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．解答问题：
（1）请按要求对△ABO作如下变换：
①将△OAB向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到△O1A1B1；
②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA2B2．
（2）写出点A1，A2的坐标： （0，﹣1） ， （﹣6，﹣2） ；
（3）△OA2B2的面积为 10 ．
【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）根据平移的方向和距离作出△O1A1B1；根据位似中心的位置以及位似比的大小作出△OA2B2；
（2）根据三角形的位置得出点A1，A2的坐标即可；
（3）根据△OA2B2的位置，运用割补法求得△OA2B2的面积即可．
【解答】解：（1）①如图所示，△O1A1B1即为所求；
②如图所示，△OA2B2即为所求；
（2）由图可得，点A1，A2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣6，﹣2）；
故答案为：（0，﹣1），（﹣6，﹣2）；
（3）若以x轴为分割线，则△OA2B2的面积为：×5×（2+2）=10．
故答案为：10．
22．近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策，2016年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”（用D表示）实行每辆3万元的补助，小刘对该省2016年上半年“纯电动乘用车”（有三种类型分别用A、B、C表示）和“插电式混合动力汽车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
（1）补全条形统计图；
（2）求出“D”所在扇形的圆心角的度数；
（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助4.5千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【分析】（1）首先由A的数目和其所占的百分比可求出总数，进而可求出D的数目，问题得解；
（2）由D的数目先求出它所占的百分比，再用百分比乘以360°，即可解答；
（3）计算出补贴D类产品的总金额，再除以每辆车的补助可得车的数量．
【解答】解：（1）补贴总金额为：4÷20%=20（千万元），
则D类产品补贴金额为：20﹣4﹣4.5﹣5.5=6（千万元），补全条形图如图：
（2）360°×=108°，
答：“D”所在扇形的圆心角的度数为108°；
（3）根据题意，16年补贴D类“插电式混合动力汽车”金额为：6+4.5×=7.35（千万元），
则7350÷3=2450（辆），
答：预测该省16年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”2450辆．
23．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．
如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…
设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2
，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）由共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，
∴落回到圈A的概率P1=；
（2）列表得：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有（1，3），（2，2）（3，1），（4，4），
∴最后落回到圈A的概率P2==，
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
【分析】（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．
（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．
【解答】解：（1）MN是⊙O切线．
理由：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=OC=2，BC=2
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4．
25．无锡市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．
（1）求该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润可以达到180元？
（2）当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据利润=销售量×每只计算器的利润，列出方程即可解决问题．
（2）设利润为y元，构建二次函数即可解决问题．
【解答】解：（1）∵20﹣0.1（x﹣10）≥16，
解得：x≤50．当x＞50时，利润50×4＞200元
∴x＜50，
[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=180
x1=30，x2=60（舍去），
∴x1=30，
答：求该文具店一次销售30只时，所获利润可以达到180元．
（2）设利润为y元
y=[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x=﹣0.1x2+9x=﹣0.1（x﹣45）2+202.5，
∵10＜x≤50，
∴当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．
答：为了获得最大利润，店家一次应卖45只，这时的售价为16.5元．
26．如图1为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平桌面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°．（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm． sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73
（1）求该台灯照亮水平桌面的宽度BC．
（2）人在此台灯下看书，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若书与水平桌面的夹角∠EFC为60°，书的长度EF为24cm，点P为眼睛所在位置，当点P在EF 的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm（人的正确看书姿势是眼睛离书距离约1尺≈34cm）时，称点P为“最佳视点”．请通过计算说明最佳视点P在不在灯光照射范围内？
【考点】解直角三角形的应用；线段垂直平分线的性质；视点、视角和盲区．
【分析】（1）在直角三角形ACO中，根据sin75°=，求出OC，在直角三角形BCO中，tan30°=，求出BC即可．
（2）如图，过点P作PH⊥AB于H，交OB于M，过点D作DG⊥PH于G，DQ⊥AB于Q，则四边形DGHQ为矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°，求出PH，MH的长即可判断．
【解答】解：（1）在直角三角形ACO中，sin75°=，
解得OC=50×0.97≈48.5，
在直角三角形BCO中，tan30°=，
解得BC=1.73×48.5≈83.9．
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是83.9cm，
（2）如图，过点P作PH⊥AB于H，交OB于M，过点D作DG⊥PH于G，DQ
⊥AB于Q，则四边形DGHQ为矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°
由题意DE=DF=12，DP=34，
∴PG=17，QH=DG=17，QF=6，GH=DQ=6，
∴PH=PH+GH=17+6≈27.38，
又∵CH=6+17≈35.41
∴HB=CB﹣CH=83.9﹣35.41≈48.49，
∵∠OBC=30°，tan∠OBC=1：，
∴MH=HB÷=48.49÷≈28.03，
∵27.38＜28.03，
∴最佳视点P在灯光照射范围内．
27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．
（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 1 ；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）在运动过程中，当直线MN与⊙O相切时，求t的值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据速度和时间表示PB=4t，利用同角的三角函数列式为：tan∠DBC==，得PQ=3t；则BQ=5t，根据角平分线的性质得：CQ=PQ，列方程可得结果；
（2）如图2中，作MT⊥BC于T，由等腰三角形三线合一得：TQ=（8﹣5t），证明△QTM∽△BCD，列比例式得，代入可得方程，解方程即可；
（3）由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB，则sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，
分两种情况：①若点O在正方形外MN与⊙O相切，如图3所示，根据同角的三角函数列式可得结果；
②若点O在正方形内MN与⊙O相切，如图4所示，同理列式： =，解出即可．
【解答】解：（1）由题意得：PB=4t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°
∵PQ⊥BC
∴∠BPQ=90°
∵BC=AD=8，CD=6
∴tan∠DBC==
∴=
∴PQ=3t
由勾股定理得：BQ=5t
∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t，
∵DQ平分∠BDC，DC⊥BC，
∴CQ=PQ，
则8﹣5t=3t，
t=1；
故答案为：1；
（2）如图2中，作MT⊥BC于T，
∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=PQ=3t，
∵四边形PQMN为正方形，
∴MQ∥PN，
∴∠MQT=∠DBC，
∴△QTM∽△BCD，
∴，
∴=，
∴t=（s）；
∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形；
（3）设MN与⊙O相切于点F，与CD交于点E，则OF=0.8，
由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB，
∴sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，
∴，
∴，
∴OE=，
①若点O在正方形外MN与⊙O相切，如图3所示，
∵OD=3t，
∴DE=3t+，
∵BP=4t，NP=PQ=3t，
∴DN=10﹣7t，
∴=，
∴t=；
②若点O在正方形内MN与⊙O相切，如图4所示，
∵OD=3t∴DE=3t﹣，
∵BP=4t，NP=PQ=3t，
∴DN=10﹣7t，
∴=，
∴t=，
综上所述，当直线MN与⊙O相切时，t的值是s或s．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是3个，请直接写出a的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣ x2+x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是3个，根据tan∠QOB=tan∠BAO==，得到直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有一个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个相等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+=0，解得a=，．
【解答】解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1，
∴b=，
∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，
设P的坐标为（x，﹣ x2+x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB=tan∠BAO，即=，
∴=，解得x1=0（舍去），x2=，
∴﹣x2+x=，
∴P点的坐标为（，）；
（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB=tan∠BAO，即=，
∴=，解得x1=0（舍去），x2=，
∴﹣x2+x=﹣，
∴P点的坐标为（，﹣）；
综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，﹣），使得∠POB与∠BCD互余．
（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，
所以y=ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数不可能是3个
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c必有两个交点，符合条件的点Q必定有2个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c只有1个交点，才能使符合条件的点Q共3个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的解析式为y=﹣x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有一个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有两个相
等的实数根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）=0，即4a2﹣8a+=0，解得a=，
∵抛物线的顶点在x轴下方
∴＜0，
∴a＞1，
∴a=舍去
综上所述，a的值为a=．
2017年2月6日
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