江苏省苏州市2017中考数学专题训练（五）圆的有关计算、证明与探究.doc

‎2017中考数学专题训练(五)圆的有关计算、证明与探究 圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．‎ 类型1　与圆的有关性质 ‎【例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C.‎ ‎(1)求证：CB∥PD；‎ ‎(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径．‎ ‎【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．‎ ‎【学生解答】解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD；(2)连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴＝.∴∠P＝∠CAB.∴sin∠CAB＝sinP＝，即＝.又∵BC＝3，∴AB＝5.∴⊙O的直径为5.‎ 针对练习 ‎1．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．‎ ‎(1)求证：AB平分∠OAC；‎ ‎(2)延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．‎ 解：(1)连接OC，∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝‎ OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA＝AC.同理OB＝BC.∴OA＝AC＝BC＝OB.∴四边形AOBC是菱形．∴AB平分∠OAC；(2)∵C为中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°.∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形．∴OA＝AC，∵OA＝AP，∴AP＝AC.∴∠APC＝30°.∴△OPC是直角三角形，PC＝OC＝.‎ 类型2　圆的切线的性质与判定 ‎【例2】如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)‎ ‎【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解．‎ ‎【学生解答】解：(1)连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD.∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；(2)在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝.∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S阴影＝S扇形OBD－S△BOD＝－×2×1＝π－.‎ 针对练习 ‎2．(2016南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心OC为半径作半圆．‎ ‎(1)求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎(2)如果tan∠CAO＝，求cosB的值．‎ 解：(1)如图，作OM⊥AB于M，∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，∴OC＝OM，∴AB是⊙O的切线；(2)设BM＝x，OB＝y，则y2－x2＝1　①，∵cosB＝＝，∴＝ ‎，∴x2＋3x＝y2＋y　②，由①②可以得到：y＝3x－1，∴(3x－1)2－x2＝1，∴x＝，y＝，∴cosB＝＝.‎ ‎3．(2016常德中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.‎ ‎(1)求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若BC＝，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．‎ 解：(1)如图， 连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线；(2)如图，设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴＝，∴＝，∵R>0，∴R＝3，∵BE是⊙O的切线，∴BE＝＝＝.‎ ‎4．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.‎ ‎(1)求证：AD平分∠BAC；‎ ‎(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)‎ 解：(1)∵⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；(2)设EO与AD交于点M，连接ED.∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由(1)知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DOM，∠EOD＝60°，∴S△AEM＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝.‎ 类型3　圆与相似及三角函数综合 ‎【例3】如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.‎ ‎(1)求证：△CDE∽△CAD；‎ ‎(2)若AB＝2，AC＝2，求AE的长．‎ ‎【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．‎ ‎【学生解答】解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE.又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2)2＝OC2，∴OC＝3，∴CD＝2.又由△CDE∽△CAD，得＝，即＝，∴CE＝.∴AE＝AC－CE＝2－＝.‎ 针对练习 ‎5．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF＝2，AF＝3.‎ ‎(1)求证：△ADF∽△AED；‎ ‎(2)求FG的长；‎ ‎(3)求证：tanE＝.‎ 解：(1)∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG＝CG，∴＝，∴∠ADF＝∠AED，∵∠FAD＝∠DAE(公共角)，∴△ADF∽△AED；(2)∵＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF＋CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴FG＝CG－CF＝2；(3)∵AF＝3，FG＝2，∴AG＝＝，∴tanE＝tan∠ADG＝＝.‎