广东省开平市忠源纪念中学2017届高三数学（文）二轮复习练习：6解析几何.doc

6.解析几何 1. 直线 xcos θ＋y－2＝0 的倾斜角的范围是____________________． 答案 [0， π 6 ]∪[ 5π 6 ，π) 2. 已 知 直 线 过 点 P(1,5) ， 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 ， 则 此 直 线 的 方 程 为 ________________________________________________________________________． 答案 5x－y＝0 或 x＋y－6＝0 3. 设直线 l1：x＋my＋6＝0 和 l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当 m＝________时，l1∥l2；当 m ＝________时，l1⊥l2；当________时 l1 与 l2 相交；当 m＝________时，l1 与 l2 重合． 答案 －1 1 2 m≠3 且 m≠－1 3 4. 两平行直线 3x＋2y－5＝0 与 6x＋4y＋5＝0 间的距离为________． 答案 13 26 5. 若方程 a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0 表示圆，则 a＝________. 答案 －1 6. 已知圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心为抛物线 y2＝4x 的焦点，直线 3x＋4y＋2＝0 与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A．(x－1)2＋y2＝ 64 25 B．x2＋(y－1)2＝ 64 25 C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 答案 C 7. 抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|， △MF O 的面积为 4，则抛物线方程为( ) A．y2 ＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ 15 2 x 答案 B 8. 已知抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点 M(p，p)和抛物线的焦点 F 作直线 l 交抛物线于另一点 N，则|NF|∶|FM|等于( ) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 答案 C 9. 设向量 a＝(a,1)，b＝(1，b)(ab≠0)，若 a⊥b，则直线 b2x＋y＝0 与直线 x－a2y＝0 的位 置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重 合答案 B 10. 过点 P(－，－1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) A. π 6 B. π 3 C. π 6 D. π 3 答案 D 11. 两圆 x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和 x2＋y2－4by－1＋4b2＝0 恰有三条公切线，若 a∈R，b ∈R 且 ab≠0，则 1 a2＋ 1 b2的最小值为( ) A．1 B．3 C. 1 9 D. 4 9 答案 A 12. 点 F1，F2 是椭圆 x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，在此椭圆上存在点 P，使∠F1PF2＝ 60°，且|PF1|＝2|PF2|，则此椭圆的离心率为( ) A. 1 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 6 答案 C[来源:学,科,网] 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，若直线 y＝kx－2 上至少 存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是________． 答案 4 3 14. (2015·课标全国Ⅱ改编)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为 等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为________． 答案 15. 命题 p：“a＝－2”是命题 q：“直线 ax＋3y－1＝0 与直线 6x＋4y－3＝0 垂直”成立的( ) A.充要条件 B．充分非必要条件 C.必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 答案 A 16. 若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内部，则实数 m 的取 值范围是( )A.－1b>0)的离心率为 e＝6 3，过 C1 的左 焦点 F1 的直线 l：x－y＋2＝0 被圆 C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得 的弦长为 2. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设 C1 的右焦点为 F2，在圆 C2 上是否存在点 P，满足|PF1|＝ a2 b2|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存 在，说明理由． 解 (1)∵直线 l 的方程为 x－y＋2＝0， 令 y＝0，得 x＝－2，即 F1(－2,0)， ∴c＝2，又∵e＝c a＝6 3，∴a2＝6，b2＝a2－c2＝2， ∴椭圆 C1 的方程为x2 6 ＋y2 2 ＝1. (2)∵圆心 C2(3,3)到直线 l：x－y＋2＝0 的距离 d＝|3－3＋2| 2 ＝， 又直线 l：x－y＋2＝0 被圆 C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的 弦长为 2， ∴r＝2 2＝＝2， 故圆 C2 的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 设圆 C2 上存在点 P(x，y)，满足|PF1|＝a2 b2|PF2|，即|PF1|＝3|PF2|， 且 F1，F2 的坐标分别为 F1(－2,0)，F2(2,0)， 则＝3， 整理得 5 22＋y2＝9 4，它表示圆心是 C 5 ，0，半径是3 2的圆．∵|CC2| ＝错误!＝37 2 ， 故有 2－3 20)的一条渐近线为 y＝x，右 焦点 F 到直线 x＝a2 c 的距离为3 2. (1)求双曲线 C 的方程； (2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B、D 两点，已知 A(1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切． 解 (1)依题意有b a＝，c－a2 c ＝3 2， ∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3， ∴双曲线 C 的方程为 x2－y2 3 ＝1. (2)证明：设直线 l 的方程为 y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2， x2＋m)，BD 的中点为 M， 由 y2 ＝1，得 2x2－2mx－m2－3＝0， ∴x1＋x2＝m，x1x2＝－m2＋3 2 ， ∵DF →·BF →＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1， ∴m＝0(舍)或 m＝2， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝－7 2，M 点的横坐标为x1＋x2 2 ＝1， ∵DA →·BA →＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－ 7＋2＝0， ∴AD⊥AB， ∴过 A、B、D 三点的圆以点 M 为圆心，BD 为直径， ∵M 点的横坐标为 1，∴MA⊥x 轴， ∵|MA|＝1 2|BD|， ∴过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 27．已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点 F1、F2，其 离心率 e＝1 2，点 P 为椭圆上的一个动点，△PF1F2 内切圆面积的最大 值为4π 3 . (1)求 a、b 的值； (2)若 A、B、C、D 是椭圆上不重合的四个点，且满足F1A → ∥F1C → ，F1B → ∥F1D → ，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围． 解 (1)由题意得，当点 P 是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2 内切 圆面积取最大值，设此时△PF1F2 内切圆半径为 r，则πr2＝4π 3 ，r＝3 3. 此时 S△PF1F2 ＝1 2·|F1F2|·|OP|＝bc， 又∵S△PF1F2＝1 2·(|F1F2|＋|F1P|＋|F2P|)·r＝3 3(a＋c)， ∴bc＝3 3(a＋c)，∵e＝1 2，∴a＝2c， ∴b＝2，a＝4. (2)∵F1A → ∥F1C → ，F1B → ∥F1D → ，AC →·BD →＝0，∴直线 AC 与 BD 垂直 相交于 点 F1，由(1)得椭圆的方程为x2 16＋y2 12＝1，则 F1 的坐标为(－2,0)， ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →| ＝6＋8＝14， ②当直线 AC 的斜率 k 存在且 k≠0 时，其方程为 y＝k(x＋2)， 设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立 y2 ＝1， 消去 y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，∴16k2－48 3＋4k2 ， ∴|AC →|＝|x1－x2|＝错误!， 此时直线 BD 的方程为 y＝－1 k(x＋2)． 同理，由 y2 ＝1，可得|BD →|＝错误!， ∴|AC →|＋|BD →|＝错误!＋错误! ＝错误!， 令 t＝k2＋1(k≠0)，则 t>1，∴|AC →|＋|BD →|＝t－1 t2 ， ∵t>1，∴0b>0)的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16，求|AF2|； (2)若 cos∠AF2B＝ 3 5，求椭圆 E的离心率． 解 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2 的周长为 16， 所以由椭圆定义可得 4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则 k>0 且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2 中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－ 6 5(2a－3k)·(2a－k)， 化简得(a＋k)(a－3k)＝0.而 a＋k>0，所以 a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得 F1A⊥F2A，故△AF1F2 为等腰直角三角形．从而 c＝ 2 2a， 所以椭圆 E 的离心率 e＝ c a＝ 2 2. 29. 如图，椭圆 E： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)经过点 A(0，－1)，且离心率为 2 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q(均异于点 A)，证明：直 线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. (1)解 由题设知 c a＝ 2 2，b＝1， 结合 a2＝b2＋c2，解得 a＝. 所以椭圆的方程为 x2 2 ＋y2＝1. (2)证明 由题设知， 直线 PQ 的方程为 y＝k(x－1)＋1(k≠2)， 代入 x2 2 ＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0. 由已知Δ>0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 则 x1＋x2＝ k－1 1＋2k2，x1x2＝ k－2 1＋2k2. 从而直线 AP，AQ 的斜率之和 kAP＋kAQ ＝ y1＋1 x1 ＋ y2＋1 x2 ＝ kx1＋2－k x1 ＋ kx2＋2－k x2 ＝2k＋(2－k)( 1 x1＋ 1 x2) ＝2k＋(2－k) x1＋x2 x1x2 ＝2k＋(2－k) k－1 k－2 ＝2k－2(k－1)＝2. 所以直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.