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普宁侨中2017届高三级第二学期 摸底考试 试卷·文科数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的考号、班别、姓名写在答卷密封线内。
2、答案填写在答卷上，必须在指定区域内、用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效。
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）设集合,为自然数集，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数满足：（是虚数单位），则对应的点在复平面的（ ）
（A）第一象限角 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）设，，则是成立的（ ）
（A）充分必要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）不充分不必要条件
（4）实数，满足,则使得取得最小值的最优解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）已知，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）若一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）已知是定义在上的偶函数,且当时, ，
则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）运行如图所示的流程图，则输出的结果是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）已知的内角所对应的边分别为，且面积为6，
周长为12，，则边为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（11）已知数列为等差数列，为前项和,公差为，
若，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
(12) 定义在R上的可导函数满足，且，当时，
不等式的解集为( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知实数满足，则的最小值为 .
14.已知函数，且函数在点（2，）处的切线的斜率是，则= .
15.已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的半径为_______
16. 已知满足 .
三、解答题（本大题共70分.解答要有文字说明或推理过程）
17. （本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，若成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若时，数列满足，求数列的前n项和．
18. （本小题满分12分）
某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n（单位:件,n∈N）的函数解析式；
（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量（单位:件）,整理得下表:
日需求量n
8
9
10
11
12
频数
10
10
15
10
5
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润（单位:元）的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,记“当天的利润在区间”为事件A，求P（A）的估计值.
19.（本小题满分12分）
如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ， 设.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当时，求点C到平面APQB的距离.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C的两个焦点分别为，且椭圆C过点P(3，2)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，求△PAB面积的最大值．
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若恒成立，证明：当时，．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知圆是的外接圆, ,是边上的高,是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求的长.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的方程为.
(Ⅰ)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
(Ⅱ)若点的直角坐标为，圆与直线交于两点，求的值.
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)当时，求不等式 的解集；
(Ⅱ)证明：
摸底考试 试卷·文科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
D
C
A
A
C
B
C
C
C
B
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡题号相应的横线上.）
13. -5 . 14. . 15. . 16. .
三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分.解答要有文字说明或推理过程）
17【解答】解：（1）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列，
∴.................2
解得或，......................4
当时，an=3；.........................5
当时，an=2+（n﹣1）=n+1．..............6
（2）∵an≠a1，∴an=n+1，∴bn=2=2n+1，.........7
∴， =2，...........................9
∴{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列，.......................10
∴Tn===2n+2﹣4．............12
18【解答】
解：(Ⅰ)当日需求量时,利润为；.......2
当需求量时，利润.....................4
所以利润与日需求量的函数关系式为：...................5
（Ⅱ）50天内有10天获得的利润380元，有10天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元................8
① ....................................10
② 事件A发生当且仅当日需求量n为9或10或11时.由所给数据知，n=9或10或11的频率为，
故P(A)的估计值为0.7...................................12
19【解答】 （Ⅰ）证明：∵ 是正三棱柱，
∴平面//平面……2分
∵平面平面=，平面平面=
∴ ……………………4分
∵， ∴……………………6分
（Ⅱ）连结，点到平面的距离等于三棱锥的高，设其值为 …………………7分
当时，，四边形是等腰梯形，经计算得梯形的高为 ……8分
∴， …………9分
∵ 是正三棱柱，∴……10分
得到…………11分
所以点到平面的距离为.…………12分
20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为， .................1
由题意可得.........................................................................................3
解得，......................................................4
故椭圆的方程为． …5分
（Ⅱ）直线方程为，设直线方程为．............................................6
将直线的方程代入椭圆的方程并整理得．............7
设．
当，即时，
有．............................................8
所以
...........................................................................................9
到直线的距离........................................................................................10
面积的最大值为6..........................................12分
21.【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．......................2
若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；.......................3
若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；..............4
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．.....................5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立......6
若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．.,...7
若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意....8
若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
f（x）≤f（1）=0，合题意．.............................................9
故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．
当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）
＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），......................11
∴＜2（﹣1）．.................................12
22．（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：连结，由题意知为直角三角形 ………1分
因为，，………2分
所以 ………3分
即 ………4分
又，所以 ………5分
（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，………6分
又，所以，………7分
因为，所以 ………8分
所以，得, ……9分
所以………10分
23. （本小题满分10分）
（Ⅰ）消去参数得直线的普通方程为， ………2分
由得圆的直角坐标方程. ………5分
（Ⅱ）由直线的参数方程可知直线过点， ……6分
把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，
得， …………7分
化简得,，故设是上述方程的两个实数根，所以，……8分
两点对应的参数分别为， ………………9分
所以. ………………10分
24. （本小题满分10分）
（Ⅰ） 当时，，原不等式等价于
………………3分
解得 ………………4分
不等式的解集为 ……………………5分
（Ⅱ） ……………6分
…………8分
，当且仅当时等号成立。………10分
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