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普宁英才华侨中学2016-2017学年度第二学期 摸底考试
高三数学（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。
2. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）
1．若集合，则= ( )
A． B． C． D．
2、已知复数,则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
3、命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
6、在中，,若点D满足，则=（ ）
A． B.． C． D．
7、等差数列{an}的前n项和为，若，则等于( ）
A．24 B．21 C．22 D．23
8、若∈（0， ），且，则的值等于( )
A． B． C． D．
9、设,,，则( )
A． B． C． D．
10、已知的部分图象如图所示，且满足则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上是增函数
C.的图像关于直线对称 D．
11、已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围为（ ）
A. B． C. D．
12、函数的定义域为R,对任意,，
则不等式的解集为（ ）
A. B． C. D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．
(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的值为 .
(15)已知函数的图象在点A处的切线与直
线垂直，记数列的前n项和为，则
的值为 .
(16) 已知梯形ABCD中，AD//BC，,AD=2，BC=1，
P是腰AB上的动点，则的最小值为 . 图3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知如图4，△ABC中，AD是BC边的中线，，且
.
(Ⅰ)求△ABC的面积；
(Ⅱ)若，求AD的长. 图4
（18）（本小题满分12分）
某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产
量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中
点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg. 已知当 图5
年产量低于450 kg时，单位售价为12元/ kg，当年产量不低于
450 kg 时，单位售价为10元/ kg.
（Ⅰ）求图中a、b的值；
（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.
（19）（本小题满分12分）
如图6，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且，AB=PC=2，PA=PB=.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求点D到平面APC的距离.
图6
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆与抛物线有公共弦AB（A在B左边），AB=2，的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、N（均异于点A、B）．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知函数（）．
(Ⅰ) 判断函数的单调性；
(Ⅱ)若存在实数，使得对均成立，求的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
O
P ‘
A
B
D
C
E
图7
5
(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲
如图7所示，⊙O和⊙P相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．
(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB的长；
(Ⅱ) 若AC=3，求AE的长．
(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程
已知椭圆的普通方程为：．
(Ⅰ) 设，求椭圆以为参数的参数方程；
(Ⅱ) 设与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中为坐标原点）
(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知，
(Ⅰ) 若的最小值是，求a的值；
(Ⅱ)求的解集．
普宁英才华侨中学2016-2017学年度第二学期 摸底考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题答案：AACBA, CCBAD, CB
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
60
6
3
解析：（15）依题意知函数的图象在点A处的切线斜率
，故，
．
（16）如图以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则，要取最小值，只需取最小值，因E为CD的中点，故当
时，取最小值，这时PE为梯形的
中位线，即,
故.
三、解答题：
（17）解：(Ⅰ)∵，∴,----2分
即，----------------------------------------------------3分
∴.-------5分
(Ⅱ)解法1：由得，
延长AD到E，使AD=DE，连结BE，---------------6分
∵BD=DC,
∴四边形ABEC为平行四边形，∴,且-----------8分
设，则，在△ABE中，由余弦定理得：
,-----------------------10分
解得，即AD的长为.--------------------------------------12分
【解法2：由得，
在△ABC中，由余弦定理得：,
得，----------------------------------------------------------------------------------------------7分
由正弦定理得：，
得，----------------------------------------9分
∵ ∴，--------------10分
在△ADC中，，
解得.------------------------------------------------------12分】
【解法3：由得，
在△ABC中，由余弦定理得：,
得，--------------------------------------------------------------------------------------7分
在△ABC中，,------------9分
在△ADC中，由，
解得.-------------------------------------------------------12分】
（18）解：（Ⅰ）由，
得，-------------------------------------------------2分
由，
得，-----------------------------------------------4分
解得，；----------------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，
当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，
当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，
当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，
当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，-------------------------8分
因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分
而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分
故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分
(19)解：(Ⅰ)取AB得中点O，连结PO、CO，----1分
由PA=PB=，AB=2知△PAB为等腰直角三角形，
∴PO⊥AB，PO=1，------------------------------------------------------------------2分
又AB=BC=2，知△ABC为等边三角形，∴---3分
又由得, ∴PO⊥CO，-----------4分
∴PO⊥平面ABC，-------------------------------------------5分
又∵平面PAB，∴平面平面-----------------------6分
（Ⅱ）设点D到平面APC的距离为h，
由(Ⅰ)知△ADC是边长为2的等边三角形，△PAC为等腰三角形，
由得---------------------------------------------8分
∵，,---------------------10分
∴，即点D到平面APC的距离为.-------12分
（20）解：（Ⅰ）∵抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，
∴，----------------------------------------------------------------------------------------1分
由AB=2知，代入抛物线得，得，----------------------2分
∴=2，的方程为；---------------------------4分
（Ⅱ）依题意知直线l的方程为，-------------------------------5分
联立消去y得：，
则，得，，-------------------------7分
由，得，
由，得，
则，得，，----------------------------9分
∵点A在以MN为直径的圆外，即，----------------------10分
∴，又，
∴，
解得，综上知.-----------------------------12分
（21）解：(Ⅰ) 解法1：， -----------2分
记（），，----------3分
即在上单调递减，∴
从而，∴函数在上的单调递减.----------------------------5分
【解法2：依题意得， --------------------------------------------2分
记（）
则，---------------------------------------------------------3分
∵ ∴，即函数在上单调递减，
∴，从而得，
∴函数在上的单调递减.--------------------------------------------------5分】
(Ⅱ) 解法1：对均成立，
等价于对均成立，-------------------------------------6分
由得，由此可得函数的图象在点（2,0）处的切线
为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分
（1）当时，在上，直线与函数的图象相交，不合题意；---9分
（2）当时，在上，直线在函数的图象的上方，符合题意---------------11分
综上得：要使对均成立，.------------------------------12分
【解法2： 对均成立，
等价于对均成立---------------------------------------5分
记，则-------6分
，令得， ，
（1）当时，对，，即函数在单调递增，
故，即，不符合题意；---------------------------8分
（2）当时，对，，
此时函数在上为增函数，即，不符合题意；-----10分
（3）当时，对，有，函数在单调递减，
因此，符合题意；
综上得：要使对均成立，．------------------------12分】
选做题：
（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得，---------1分
，----------------------------------------------------2分
所以∽，------------------------------------------------------------------3分
得，----------------------------------------------------------------------------4分
，；---------------------------------5分
（Ⅱ）连接EC，∵，-----------------------------------------6分
-------------------------------------------------7分
∵，=,----------------------8分
∴------------------------------------------------9分
∴AE=AC=3
.--------------------------------------------------------------------------------10分
（23）解：(Ⅰ)将代入椭圆的普通方程得，------------1分
于是得，-----------------------------------------------------------------------------2分
∴椭圆的参数方程为（为参数）和（为参数）---4分
(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分
设点P的坐标为，---------------------------------------------6分
则---------------------------8分
，----------------9分
当，即时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为.------10分
（24）解：（Ⅰ）解法1：∵， ∴，--------------2分
当时，，∴当时，，---4分
∴，∴a=1；--------------------------------------------------5分
【解法2：∵，----------------------2分
∴，，---------------------------------------------3分
又已知，
∴a=1；----------------------------------------------------------5分】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（）
当时，，，不等式解集为空集----6分
当时，，不等式解集也为空集；----------------7分
当时，，即
∵，，∴当时，的解为-----9分
综上得所求不等式的解集为----------------------------10分
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