www.ks5u.com
普宁英才华侨中学2016-2017学年度第二学期 摸底考试
高三数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。
2. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则
（A）（B） （C） （D）
（2）复数z满足(1＋i)z＝i＋2，则z的虚部为
（A） （B） （C） （D）
（3）已知等差数列的前n项和为，且,则数列的公差为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（4）设D为△ABC所在平面内一点，且,则
（A） （B） （C） （D）
（5）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面、，满足，，，，则
（A） （B） （C） （D）b与d是异面直线
（6）若命题：“”为假命题，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（7）函数的大致图象是
π
-π
-π
π
x
y
O
π
-π
-π
π
x
y
O
π
-π
-π
π
x
y
O
π
-π
-π
π
x
y
O
（A） （B） （C） （D）
（8）已知且，函数满足，，则
（A） （B） （C）3 （D）2
（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是
（A）1234 （B）2017 （C）2258 （D）722
（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中
任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为
（A） （B） （C） （D）
（11）直线与圆交于A、B两点，O为坐标
原点，若直线OA 、OB的倾斜角分别为、，则= 图1
（A） （B） （C） （D）
（12）已知且，若为的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为
（A）29 （B）25 （C）18 （D）16
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
（13）已知菱形的边长为， , 则________．
（14）按照国家规定, 某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布～, 根据检测
结果可知,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利, 若该公司有名职工, 则分发到的大米质量在kg以下的职工数大约为 .
（15）已知满足约束条件若的最大值为4，则 .
（16）在数列中,,,对所有正整数均有，则 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知△的内角,,的对边分别为，，，若，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若, 求.
（18）（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为…，其中为标准，为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙
厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相
应的执行标准.
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
且的数学期望, 求的值;
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等
级系数组成一个样本，数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可
购买性？说明理由.
注: ①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.
(19) （本小题满分12分）
如图, 平面，平面, △是等边三角形，,
是的中点.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，
求二面角的余弦值.
(20) （本小题满分12分）
已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行
线交曲线于两个不同的点, 求△面积的最大值．
(21) （本小题满分12分）
设函数. 若曲线在点处的切线方程为
（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为为参数, 曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（II）设直线与曲线C相交于两点, 当变化时, 求的最小值.
(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集是.
（Ⅰ）求的值；
（II）若存在实数解，求实数的取值范围.
普宁英才华侨中学2016-2017学年度第二学期 摸底考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
B
D
C
B
A
B
D
A
二、填空题
（13） （14） （15） （16）
三、解答题
（17）解：
（Ⅰ）因为，，
由余弦定理得,即. ……………………2分
所以. …………………………………………4分
由于, 所以. …………………………………………6分
（Ⅱ）法1: 由及, 得, ……………………7分
即, ………………………………………………………………8分
解得或(舍去). …………………………………………9分
由正弦定理得, …………………………………………10分
得. ………………………………………12分
法2: 由及正弦定理得, …………………………………………7分
得. …………………………………………8分
由于, 则,
则. …………………………………………9分
由于, 则. ………………………………………10分
所以
………………………………………11分
. ……………………………………………………………12分
(18) 解:
（Ⅰ）, 即, ……………………1分
又由的概率分布列得, ② ……………………2分
由得 …………………………………………………………4分
（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：
………………………………………………………………5分
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：
………………………………………………………………6分
所以. ……………7分
即乙厂产品的等级系数的数学期望为. ……………………………………………8分
（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，
………………………………………………………………………………9分
因为乙厂产品的等级系数的期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，
……………………………………………………………………………10分
据此，乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分
(19) 解:
（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,
所以. …………………………………1分
因为平面, 平面,
所以. …………………………………2分
因为,
所以平面. ……………………3分
因为平面,
所以. ……………………………4分
（Ⅱ）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，
所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，
建立空间直角坐标系.
因为平面,
所以为直线与平面所成角. ……………………………………5分
由题意得, 即,…………………………………6分
从而.
不妨设, 又, 则, .…………………………7分
故,, , . ……………………………8分
于是, ,,,
设平面与平面的法向量分别为,
由 得 令,得,
所以. …………………………………9分
由 得 令,得, .
所以. …………………………………10分
所以. …………………………………11分
所以二面角的余弦值为. …………………………………12分
法2: 因为平面,
所以为直线与平面所成角. …………………………………5分
由题意得, 即,…………………………………6分
从而.
不妨设, 又,
则, , . …………………………………7分
由于平面,平面, 则∥.
取的中点, 连接, 则.
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
取的中点, 连接,, ,
则. …………………………………8分
所以为二面角的平面角. …………………………………9分
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
在Rt△中, ,
因为, …………………………………10分
所以. …………………………………11分
所以二面角的余弦值为. …………………………………12分
(20) 解：
（Ⅰ）设圆的半径为, 圆心的坐标为，
由于动圆与圆相切，且与圆相内切，
所以动圆与圆只能内切. …………………………………1分
所以 …………………………………2分
则. …………………………………3分
所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆,
且, 则.
所以曲线的方程为. …………………………………4分
（Ⅱ）设，直线的方程为，
由 可得，
则. …………………………………5分
所以 …………………………………6分
…………………………………7分
因为，所以△的面积等于△的面积. …………………8分
点到直线的距离. ……………………………9分
所以△的面积.
…………………………………10分
令，则 ，.
设，则.
因为, 所以
所以在上单调递增.
所以当时, 取得最小值, 其值为. …………………………………11分
所以△的面积的最大值为. …………………………………12分
说明: △的面积.
(21) 解:
（Ⅰ）函数的定义域为.
. ………………………………………………………………1分
依题意得，即 ……………………3分
所以. ………………………………………………………………4分
所以，.
当时, ; 当时, .
所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分
（Ⅱ）当时，.
等价于，
也等价于. ………………………………………7分
不妨设，
设（）,
则. …………………………………………………………8分
当时，，所以函数在上为增函数，
即， ……………………9分
故当时，（当且仅当时取等
号）.
令，则， …………………………………………10分
即（当且仅当时取等号），……………11分
综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.
………………………………………………………………12分
(22) 解:
(Ⅰ) 由消去得, ……………………1分
所以直线的普通方程为. ……………………2分
由, 得, ……………………3分
把代入上式, 得,
所以曲线C的直角坐标方程为. …………………………………………5分
(II) 将直线l的参数方程代入, 得, ………………6分
设A、B两点对应的参数分别为,
则, , …………………………………………7分
所以 . ……9分
当时, 的最小值为4. …………………………………………10分
(23) 解：
（Ⅰ）由, 得，即. ……………………1分
当时，. …………………………………………………………2分
因为不等式的解集是
所以 解得…………………………………………………………3分
当时，. …………………………………………………………4分
因为不等式的解集是
所以 无解. …………………………………………………………5分
所以
（II）因为………………7分
所以要使存在实数解，只需. ………………8分
解得或. ………………………………………………………9分
所以实数的取值范围是. …………………………10分
微信/支付宝扫码支付