27.1.3 圆周角
知识点 1 圆周角的概念
1．下列图形中的角是圆周角的是( )
图27－1－43
2．如图27－1－44，在图中标出的4个角中，圆周角有________个．
图27－1－44
知识点 2 圆周角定理
3．2018·聊城如图27－1－45，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连结AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
图27－1－45
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
4．2016·绍兴如图27－1－46，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
图27－1－46
A．60° B．45° C．35° D．30°
5．如图27－1－47，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数为( )
图27－1－47
A．25° B．45° C．55° D．65°
6．2017·衡阳如图27－1－48，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，
如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
图27－1－48
A．26° B．30°
C．32° D．64°
7．如图27－1－49，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( )
图27－1－49
A．140° B．70° C．60° D．40°
8．2018·咸宁如图27－1－50，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )
图27－1－50
A．6 B．8 C．5 D．5
9．如图27－1－51，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连结CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
图27－1－51
10．如图27－1－52，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
图27－1－52
知识点 3 圆周角定理的推论
11．2018·邵阳如图27－1－53所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( )
图27－1－53
A．80° B．120° C．100° D．90°
12．从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
图27－1－54
13．如图27－1－55，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD等于( )
图27－1－55
A. B. C. D.
14.如图27－1－56，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是劣弧上一点，则∠ACB等于( )
图27－1－56
A．80° B．90°
C．100° D．无法确定
15．2016·杭州如图27－1－57，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与点A，C重合)，点D在AC的延长线上，连结BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( )
图27－1－57
A．DE＝EB B.DE＝EB
C.DE＝DO D．DE＝OB
16．如图27－1－58，已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是( )
图27－1－58
A．3 B．2
C．1 D．1.2
17．如图27－1－59，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.
图27－1－59
18．如图27－1－60，海边立有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝80°.为了避免触礁，轮船P与A，B两点的张角∠APB的最大值为________．
图27－1－60
19．如图27－1－61，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧上，AB＝8，BC＝3，则DP＝________.
图27－1－61
20．如图27－1－62，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形.
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝AF，求证：CF⊥AB.
图27－1－62
21．如图27－1－63，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t s(0≤t＜6)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．
图27－1－63
详解详析
1．B [解析] 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角．满足条件的是选项B.
2．2
3．D [解析] ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.故选D.
4．D
5．C [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.
∵∠A＝35°，∴∠B＝55°.故选C.
6．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可知∠ACB＝∠AOB＝32°.故选C.
7．B [解析] ∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，
∴∠DOE＝180°－40°＝140°，
∴∠P＝∠DOE＝70°.
8．B [解析] 如图，延长AO交⊙O于点E，连结BE，
则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8.
故选B.
9．证明：∵AB＝BC，∴＝，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC.
10．[解析] 连结OC，先判定△AOC是等边三角形，进而得到AC＝AO＝AD＝3 cm.
解：如图，连接OC，
∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC，
∴OC＝AC.
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝AD＝3 cm.
11．B [解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝120°.
故选B.
12．B
13．C [解析] 连结CD，如图所示，
∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝5.
∵∠OBD＝∠OCD，
∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝＝.故选C.
14．B [解析] ∵∠AOB与∠ACB是所对的圆周角，∴∠AOB＝∠ACB.∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°.故选B.
15．D [解析] 如图，连结EO.
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB.
∵∠OEB＝∠D＋∠DOE，
∠AOB＝3∠D，
∴∠B＋∠D＝∠D＋∠DOE＋∠D＝3∠D，
∴∠DOE＝∠D，
∴DE＝OE＝OB.故选D.
16．C
17．62 [解析] ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠BCD＝28°，∴∠ACD＝62°.
由圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝62°.
18．40° [解析] 如图，当点P在⊙O上的点P′时，∠AP′B的度数最大，∠AP′B＝∠AOB＝40°.
19．5.5 [解析] ∵AB和DE是⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OD＝4，∠C＝90°.
又∵DE⊥AC，∴AP＝CP，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP＝1.5，∴DP＝OD＋OP＝5.5.
20．证明：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°，∴∠B＝30°.
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，
∴∠FDB＝30°＝∠B，
∴△DFB是等腰三角形．
(2)如图，过点A作AM⊥DF于点M，
设AF＝2a.
∵△AEF是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝a.
在Rt△DAM中，
DA＝AF＝2 a，
AM＝a，∴DM＝5a，
∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF＋BF＝8a.
在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝4a.
∵AE＝EF＝AF＝2a，
∴CE＝AC－AE＝2a＝EF，
∴∠ECF＝∠EFC.
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，
∴∠EFC＝30°，
∴∠AFC＝∠EFA＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，
即CF⊥AB.
21．2，， [解析] ∵0≤t＜6，动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，
∴当t＝6时，点E运动的路程是2×6＝12(cm)，
即点E运动的路程小于12 cm，设点E运动的路程是s cm，则0≤s＜12.
∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.
∵F为BC的中点，BC＝4 cm，
∴BF＝CF＝2 cm.
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8 cm.
分为以下三种情况：
(1)当∠EFB＝90°时，如图①.
∵∠C＝90°，∴∠EFB＝∠C，∴AC∥EF.
∵FC＝BF，∴AE＝BE，即点E和点O重合，AE＝4 cm，∴t＝4÷2＝2；
(2)当∠FEB＝90°时，如图②.
∵∠ABC＝60°，∴∠BFE＝30°，
∴BE＝BF＝1 cm，∴AE＝8－1＝7(cm)，
∴t＝7÷2＝；
(3)当点E到达点B后再返回到点O的过程中，∠FEB＝90°，如图③.
此时点E运动的路程是8＋1＝9(cm)，
∴t＝9÷2＝.
综上所述，当△BEF是直角三角形时，t的值为2，，.
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