1
第二十七章 相似
一、选择题
1．2018·内江已知△ABC 与△A1B1C1 相似，且相似比为 1∶3，则△ABC 与△A1B1C1 的面积比为
( )
A．1∶1 B．1∶3
C．1∶6 D．1∶9
2．2018·绍兴学校门口的栏杆如图 1 所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 AB
⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD
为( )
图 1
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m
3．2018·临沂如图 2，利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2 m，测得 AB＝1.6
m，BC＝12.4 m，则建筑物 CD 的高是( )
图 2
A．9.3 m B．10.5 m
C．12.4 m D．14 m
4．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把△AOB
放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为( )
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(
1
2m，
1
2n)2
D．(
1
2m，
1
2n)或(－
1
2m，－
1
2n)
5．2018·宜宾如图 3，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC 的
面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA′＝1，则 A′D 等于( )
图 3
A．2 B．3 C.
2
3 D.
3
2
6．2018·泰州如图 4，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(9，6)，AB⊥y 轴，垂足为 B，
点 P 从原点 O 出发向 x 轴正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发向点 B 运动，当点 Q 到达点 B 时，点
P，Q 同时停止运动，若点 P 与点 Q 的速度之比为 1∶2，则下列说法正确的是( )
图 4
A．线段 PQ 始终经过点(2，3)
B．线段 PQ 始终经过点(3，2)
C．线段 PQ 始终经过点(2，2)
D．线段 PQ 不可能始终经过某一定点
二、填空题
7．2018·嘉兴如图 5，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C，直线 DF 分别
交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，已知
AB
AC＝
1
3，则
EF
DE＝________．
图 5
8．2018·南充如图 6，在△ABC 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交 DE 的延长线于点 F，若 AD＝1，
BD＝2，BC＝4，则 EF＝________．
图 6
9．2018·岳阳《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，
问勾中容方几何？”其意思为：“如图 7，今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5 步，股(长直角边)3
长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．
图 7
三、解答题
10．2018·杭州如图 8，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长．
图 8
11．2018·安徽如图 9，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 网格中，已知点 O，
A，B 均为网格线的交点．
(1)在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 A1B1(点 A，B
的对应点分别为 A1，B1)，画出线段 A1B1；
(2)将线段 A1B1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得到线段 A2B1，画出线段 A2B1；
(3)以 A，A1，B1，A2 为顶点的四边形 AA1B1A2 的面积是________个平方单位．
图 9
12．2018·衢州如图 10，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接 BC 交⊙O 于点 F，取BF︵
4
的中点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H.
(1)求证：△HBE∽△ABC；
(2)若 CF＝4，BF＝5，求 AC 和 EH 的长．
图 10
13．2018·宁波若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例
三角形．
(1)已知△ABC 是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长；
(2)如图 11①，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC
是比例三角形；
(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求
BD
AC的值．
图 115
详解详析
1．[解析] D ∵△ABC 与△A1B1C1 相似，且相似比为 1∶3，∴
S △ ABC
S △ A1B1C1＝(
1
3)2＝
1
9.故选 D.
2．[解析] C 由题意可知△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质可得
AO
CO＝
AB
CD，又 AO＝4 m，AB
＝1.6 m，CO＝1 m，∴
4
1＝
1.6
CD ，解得 CD＝0.4(m)．故选 C.
3．[解析] B 由题意知 BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴
BE
CD＝
AB
AC，即
1.2
CD ＝
1.6
1.6＋12.4，解得 CD＝
10.5(m)．故选 B.
4．[解析] B 当放大后的△A′O′B′与△AOB 在原点 O 的同侧时，点 P 的对应点的坐标为
(2m，2n)；当放大后的△A′O′B′与△AOB 在原点 O 的异侧时，点 P 的对应点的坐标为(－2m，－
2n)．故选 B.
5．[解析] A 如图，∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且 AD 为 BC 边上的中线，
∴S△A′DE＝
1
2S△A′EF＝2，S△ABD＝
1
2S△ABC＝
9
2.
∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A′B′C′，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，∴(A′D
AD ) 2
＝
S △ A′DE
S △ ABD ，
即( A′D
A′D＋1) 2
＝
2
9
2
，
解得 A′D＝2 或 A′D＝－
2
5(舍去)．故选 A.
6．[解析] B 解法一：如图，连接 AO 交 PQ 于点 C，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∵AB⊥y 轴，
∴AB∥x 轴，
∴∠A＝∠COP，∠AQC＝∠OPC，
∴△AQC∽△OPC，
∴
AC
OC＝
AQ
OP＝2，
∴
AC
AO＝
2
3.
同理可得 CD＝
2
3BO＝4，AD＝
2
3AB＝6.
∵点 A 的坐标为(9，6)，
∴点 C 的坐标为(3，2)．
即线段 PQ 始终经过点(3，2)．故选 B.
解法二：当 OP＝t 时，点 P 的坐标为(t，0)，点 Q 的坐标为(9－2t，6)．6
设直线 PQ 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
将 P(t，0)，Q(9－2t，6)代入 y＝kx＋b，
得{kt＋b＝0，
（9－2t）k＋b＝6，解得{k＝
2
3－t，
b＝
2t
t－3，
∴直线 PQ 的解析式为 y＝
2
3－tx＋
2t
t－3.
当 x＝3 时，y＝2，
∴直线 PQ 始终经过点(3，2)．
故选 B.
7．[答案] 2
[解析] 由
AB
AC＝
1
3得
AB
BC＝
1
3－1＝
1
2，则
BC
AB＝2.
因为直线 l1∥l2∥l3，所以
EF
DE＝
BC
AB＝2.
故答案为 2.
8．[答案]
2
3
[解析] ∵DE∥BC，AD＝1，BD＝2，BC＝4，∴
AD
AB＝
DE
BC，即
1
3＝
DE
4 ，解得 DE＝
4
3.∵BF 平分∠ABC，∴∠
ABF＝∠FBC.又∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴BD＝DF＝2.∵DF＝DE＋EF，∴EF＝2－
4
3
＝
2
3.故答案为：
2
3.
9．[答案]
60
17
[解析] 如图．
设该直角三角形能容纳的正方形边长为 x，则 AD＝12－x，FC＝5－x.
根据题意，得△ADE∽△EFC，
∴
AD
EF＝
DE
FC，
即
12－x
x ＝
x
5－x，解得 x＝
60
17.
故答案为
60
17.
10．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∴BD＝CD，AD⊥BC.
又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD.
(2)∵BC＝10，∴BD＝
1
2BC＝5.
在 Rt△ABD 中，有 AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝ 132－52＝12.7
∵△BDE∽△CAD，∴
BD
CA＝
DE
AD，即
5
13＝
DE
12，∴DE＝
60
13.
11．解：(1)如图所示，线段 A1B1 即为所求．
(2)如图所示，线段 A2B1 即为所求．
(3)由图可得，四边形 AA1B1A2 为正方形，
∴四边形 AA1B1A2 的面积是( 22＋42)2＝( 20)2＝20.
故答案为：20.
12．[解析] (1)根据切线的性质可证明∠CAB＝∠EHB，由此即可解决问题；
(2)连接 AF.由△CAF∽△CBA，推出 AC2＝CF·CB＝36，可得 AC＝6，AB＝ BC2－AC2＝3 5，AF
＝ AB2－BF2＝2 5，由 Rt△AEF≌Rt△AEH，推出 AF＝AH＝2 5.设 EF＝EH＝x.在 Rt△EHB 中，可
得(5－x)2＝x2＋( 5)2，解方程即可解决问题．
解：(1)证明：∵AC 是⊙O 的切线，∴CA⊥AB.
∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB.
又∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC.
(2)如图，连接 AF.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB＝90°.
∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC，
∴△CAF∽△CBA，∴
AC
CB＝
CF
AC，
∴AC2＝CF·CB＝36，
∴AC＝6，AB＝ BC2－AC2＝3 5，AF＝ AB2－BF2＝2 5.
∵DF︵
＝BD︵
，∴∠EAF＝∠EAH.
∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH.
又∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，
∴AF＝AH＝2 5.设 EF＝EH＝x.
在 Rt△EHB 中，(5－x)2＝x2＋( 5)2，
∴x＝2，∴EH＝2.
13．解：(1)AC 的长为
4
3或
9
2或 6.
(2)证明：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD.
又∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴
BC
CA＝
CA
AD，即 CA2＝BC·AD.
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD 平分∠ABC，8
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC·AB，
∴△ABC 是比例三角形．
(3)如图，过点 A 作 AH⊥BD 于点 H.
∵AB＝AD，
∴BH＝
1
2BD.
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHA＝∠BCD＝90°.
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴
AB
BD＝
BH
BC，
∴AB·BC＝DB·BH，
∴AB·BC＝
1
2BD2.
又∵AB·BC＝AC2，
∴
1
2BD2＝AC2，
∴
BD
AC＝ 2.
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