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专题 2.1 方程
一、单选题
1．【北京市 2018 年中考数学试卷】方程组 的解为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：根据方程组解的概念，将 4 组解分别代入原方程组，一一进行判断即可.
详解：将 4 组解分别代入原方程组，只有 D 选项同时满足两个方程，
故选 D．
点睛：考查方程组的解的概念,能同时满足方程组中每个方程的未知数的值，叫做方程组的解.
2．【山东省东营市 2018 年中考数学试题】小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类
有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束
（4 个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A． 19 B． 18 C． 16 D． 15
【答案】B
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．【湖南省湘西州 2018 年中考数学试卷】若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有一个解为 x=﹣1，则另一
个解为（ ）2
A． 1 B． ﹣3 C． 3 D． 4
【答案】C
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 是解
题的关键．
4．【云南省昆明市 2018 年中考数学试题】关于 x 的一元二次方程 x2﹣2 x+m=0 有两个不相等的实数根，
则实数 m 的取值范围是（ ）
A． m＜3 B． m＞3 C． m≤3 D． m≥3
【答案】A
【解析】分析：根据关于 x 的一元二次方程 x2-2 x+m=0 有两个不相等的实数根可得△=（-2 ）2-4m＞0，
求出 m 的取值范围即可．
详解：∵关于 x 的一元二次方程 x2-2 x+m=0 有两个不相等的实数根，
∴△=（-2 ）2-4m＞0，
∴m＜3，
故选：A．
点睛：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0 时，
方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程没有实数根．
5．【广西钦州市 2018 年中考数学试卷】某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到
100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）
A． 80（1+x）2=100 B． 100（1﹣x）2=80 C． 80（1+2x）=100 D． 80（1+x2）=100
【答案】A
【解析】【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为 x，根据“从 80
吨增加到 100 吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 x，3
根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为 80（1+x）吨，
2018 年蔬菜产量为 80（1+x）（1+x）吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选 A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到 2017 年
和 2018 年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
6．【四川省眉山市 2018 年中考数学试题】我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院
有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下
调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.
A． 8% B． 9% C． 10% D． 11%
【答案】C
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解
答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
7．【湖南省怀化市 2018 年中考数学试题】一艘轮船在静水中的最大航速为 30km/h，它以最大航速沿江顺流
航行 100km 所用时间，与以最大航速逆流航行 80km 所用时间相等，设江水的流速为 v km/h，则可列方程为
（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】C4
点睛：此题是由实际问题抽象出分式方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．
8．【云南省昆明市 2018 年中考数学试题】甲、乙两船从相距 300km 的 A、B 两地同时出发相向而行，甲船
从 A 地顺流航行 180km 时与从 B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为 6km/h，若甲、乙两船在静水中的速
度均为 xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】A
【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为 xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为： = ．
故选：A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
9．【黑龙江省哈尔滨市 2018 年中考数学试题】方程 的解为（ ）
A． x=﹣1 B． x=0 C． x= D． x=1
【答案】D
【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方
程的解．
详解：去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
经检验 x=1 是分式方程的解，
故选：D．
点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．5
10．【山东省淄博市 2018 年中考数学试题】 “绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了 60 万平方米的荒
山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 30 天完成
了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018 年中考数学试题】施工队要铺设 1000 米的管道，因在中考期
间需停工 2 天，每天要比原计划多施工 30 米才能按时完成任务．设原计划每天施工 x 米，所列方程正确的
是（ ）
A． =2 B． =2
C． =2 D． =2
【答案】A
【解析】分析：设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用
时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程： =2，
故选：A．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
12．【湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题】若关于 的分式方程 的解为 ，则
的值为( )6
A． B． C． D．
【答案】C
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．
13．【台湾省 2018 年中考数学试卷】若二元一次联立方程式 的解为 x=a，y=b，则 a+b 之值为何？
（ ）
A． 24 B． 0 C． ﹣4 D． ﹣8
【答案】A
【解析】分析：利用加减法解二元一次方程组，求得 a、b 的值，再代入计算可得答案．
详解： ，
①﹣②×3，得：﹣2x=﹣16，
解得：x=8，
将 x=8 代入②，得：24﹣y=8，
解得：y=16，
即 a=8、b=16，
则 a+b=24，
故选：A．
点睛：本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的能力．
14．【新疆自治区 2018 年中考数学试题】某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为 3 元，小妮在该店
买了 20 本练习本和 10 支水笔，共花了 36 元．如果设练习本每本为 x 元，水笔每支为 y 元，那么根据题意，
下列方程组中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B7
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的 2 个等量关系是解决本题的
关键．
15．【湖南省常德市 2018 年中考数学试卷】阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号 称为 阶行
列式，并且规定： ，例如： .二元一次方
程 组 的 解 可 以 利 用 阶 行 列 式 表 示 为 ： ； 其 中 ， ，
.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是（ ）
A． B． C． D． 方程组的解为
【答案】C
【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【详解】A、D= =2×（-2）-3×1=﹣7，故 A 选项正确，不符合题意；
B、Dx= =﹣2﹣1×12=﹣14，故 B 选项正确，不符合题意；
C、Dy= =2×12﹣1×3=21，故 C 选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x= =2，y= =﹣3，故 D 选项正确，不符合题意，
故选 C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了 2×2 阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中
提供的方法进行解答是关键. 8
16．【广西壮族自治区桂林市 2018 年中考数学试题】若 ，则 x，y 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的
关键．
17．【浙江省台州市 2018 年中考数学试题】甲、乙两运动员在长为 100m 的直道 AB（A，B 为直道两端点）
上进行匀速往返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转
身跑向 B 点…若甲跑步的速度为 5m/s，乙跑步的速度为 4m/s，则起跑后 100s 内，两人相遇的次数为（ ）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
【答案】B
【解析】分析：可设两人相遇的次数为 x，根据每次相遇的时间 ，总共时间为 100s，列出方程求解
即可．
详解：设两人相遇的次数为 x，依题意有
x=100，
解得 x=4.5，
∵x 为整数，
∴x 取 4．9
故选：B．
点睛：考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量
和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含 x 的式子表示相关的量，找
出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
18．【河北省 2018 年中考数学试卷】有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同一种物体的质
量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
19．【湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷】程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他 60 岁时完成的《直指
算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，大、小和
尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ）
A． 大和尚 25 人，小和尚 75 人 B． 大和尚 75 人，小和尚 25 人10
C． 大和尚 50 人，小和尚 50 人 D． 大、小和尚各 100 人
【答案】A
【详解】设大和尚有 x 人，则小和尚有（100﹣x）人，
根据题意得：3x+ =100，
解得 x=25，
则 100﹣x=100﹣25=75（人），
所以，大和尚 25 人，小和尚 75 人，
故选 A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
20【湖北省恩施州 2018 年中考数学试题】．一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一
件盈利 20%，另一件亏损 20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A． 不盈不亏 B． 盈利 20 元 C． 亏损 10 元 D． 亏损 30 元
【答案】C
【解析】分析：设两件衣服的进价分别为 x、y 元，根据利润=销售收入-进价，即可分别得出关于 x、y 的
一元一次方程，解之即可得出 x、y 的值，再用 240-两件衣服的进价后即可找出结论．
详解：设两件衣服的进价分别为 x、y 元，
根据题意得：120-x=20%x，y-120=20%y，
解得：x=100，y=150，
∴120+120-100-150=-10（元）．
故选：C．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21．【湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷】将正整数 1 至 2018 按一定规律排列如下表：11
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A． 2019 B． 2018 C． 2016 D． 2013
【答案】D
【解析】【分析】设中间数为 x，则另外两个数分别为 x﹣1、x+1，进而可得出三个数之和为 3x，令其分别
等于四个选项中数，解之即可得出 x 的值，由 x 为整数、x 不能为第一列及第八列数，即可确定 x 值，此题
得解．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
二、填空题
22．【上海市 2018 年中考数学试卷】方程组 的解是_____．
【答案】 ，
【解析】【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出 y 即
可．
【详解】 ，
②+①得：x2+x=2，
解得：x=﹣2 或 1，
把 x=﹣2 代入①得：y=﹣2，12
把 x=1 代入①得：y=1，
所以原方程组的解为 ， ，
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现
的消元与转化的数学思想.
23．【湖南省长沙市 2018 年中考数学试题】已知关于 x 方程 x2﹣3x+a=0 有一个根为 1，则方程的另一个根
为_____．
【答案】2
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于- 是解题的关键．
24．【湖南省湘西州 2018 年中考数学试卷】对于任意实数 a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，
2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式 3※x＜2，则不等式的正整数解是_____．
【答案】1
【解析】【分析】根据新定义可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
【详解】∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜ ，
∵x 为正整数，
∴x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出 x＜ 是解题的关键．
25．【山东省聊城市 2018 年中考数学试题】已知关于 x 的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0 有两个相等的实根，
则 k 的值是_____．13
【答案】
点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0 时，方程有两个相等的实数根”是
解题的关键．
26．【湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷】已知关于 x 的方程 x2+3x﹣m=0 的一个解为﹣3，则它的另一个解
是_____．
【答案】0
【解析】【分析】设方程的另一个解是 n，根据根与系数的关系可得出关于 n 的一元一次方程，解之即可得
出方程的另一个解．
【详解】设方程的另一个解是 n，
根据题意得：﹣3+n=﹣3，
解得：n=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟记一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根
之和等于﹣ 、两根之积等于 是解题的关键．
27．【山东省烟台市 2018 年中考数学试卷】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m﹣1=0 的实数根 x1，x2，满
足 3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则 m 的取值范围是_____．
【答案】3＜m≤5． 14
点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于 m 的不等式，注意：一元
二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 为常数，a≠0）①当 b2﹣4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，
②当 b2﹣4ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当 b2﹣4ac＜0 时，一元二次方程没有实数根．
28．【江苏省淮安市 2018 年中考数学试题】若关于 x、y 的二元一次方程 3x﹣ay=1 有一个解是 ，则
a=_____．
【答案】4
【解析】分析：把 x 与 y 的值代入方程计算即可求出 a 的值．
详解：把 代入方程得：9﹣2a=1，
解得：a=4，
故答案为：4．
点睛：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
29．【湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷】我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的
问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出 8 元，则多 3 元；每人出 7 元，则差 4 元．问这
个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_____元．
【答案】53
【解析】【分析】设该商品的价格是 x 元，共同购买该物品的有 y 人，根据“每人出 8 元，则多 3 元；每人
出 7 元，则差 4 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】设该商品的价格是 x 元，共同购买该物品的有 y 人，
根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：53.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键.
30．【四川省内江市 2018 年中考数学试题】已知关于 x 的方程 ax2+bx+1=0 的两根为 x1=1，x2=2，则方程 a15
（x+1）2+b（x+1）+1=0 的两根之和为__________．
【答案】1
点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
31．【四川省内江市 2018 年中考数学试题】关于 x 的一元二次方程 x2+4x﹣k=0 有实数根，则 k 的取值范围
是__________．
【答案】k≥﹣4
【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出
结论．
详解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 有实数根，
∴△=42-4×1×（-k）=16+4k≥0，
解得：k≥-4．
故答案为：k≥-4．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0 时，方程有实数根”是解题的关键．
32．【四川省内江市 2018 年中考数学试卷】已知关于 的方程 的两根为 ， ，则方
程 的两根之和为___________.
【答案】1
【解析】分析：设 t=x+1，则方程 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 化为 at2+at+1=0，利用方程 的
解是 x1=1，x2=2 得到 t1=1，t2=2，然后分别计算对应的 x 的值可确定方程 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 的解．
详解：设 x+1=t，方程 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 的两根分别是 x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，16
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型.
33．【四川省内江市 2018 年中考数学试】关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
__________．
【答案】k≥﹣4．
点睛：此题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两
个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
34．【山东省威海市 2018 年中考数学试题】用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4 个矩形
纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为 12；8 个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影
部分的面积为 8；12 个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为__．
【答案】44﹣16 ．
【解析】分析：图①中阴影部分的边长为 =2 ，图②中，阴影部分的边长为 =2 ；设小矩形的长为
a，宽为 b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出 a，b 的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
【解答】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为 =2 ，图②中，阴影部分的边长为 =2 ；
设小矩形的长为 a，宽为 b，
依题意得： ， 17
解得 ，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2=（4 ﹣2 ﹣6 +6 ）2=44﹣16 ，
故答案为：44﹣16 ．
点睛：本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未
知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
35．【山东省威海市 2018 年中考数学试题】关于 x 的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0 有实根，则 m 的最大
整数解是__．
【答案】m=4．
点睛：考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不
相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
36．【湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题】关于 x 的一元二次方程 有两个相
等的实数根，则 ______.
【答案】
【解析】分析：根据题意可得△=0，进而可得 k2-4=0，再解即可．
详解：由题意得：△=k2-4=0，
解得：k=±2，
故答案为：±2．
点睛：此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下
关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．18
37．【新疆自治区 2018 年中考数学试题】某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购
进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支．则该商店第一次购进
的铅笔，每支的进价是_____元．
【答案】4
详解：设该商店第一次购进铅笔的单价为 x 元/支，则第二次购进铅笔的单价为 x 元/支，
根据题意得： ，
解得：x=4，
经检验，x=4 是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为 4 元/支．
故答案为：4．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
38．【山东省聊城市 2018 年中考数学试卷】若 为实数，则 表示不大于 的最大整数，例如 ， ，
等. 是大于 的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 . ①，利用这个不
等式①，求出满足 的所有解，其所有解为__________．
【答案】 或 1.
【解析】分析: 根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得 x 的取值范围，本题得以解决.
详解: ∵对任意的实数 x 都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x-1，
∴2x-1≤x＜2x-1+1，
解得，0＜x≤1，
∵2x-1 是整数，
∴x=0.5 或 x=1，
故答案为：x=0.5 或 x=1.
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式.
39．【山东省聊城市 2018 年中考数学试卷】已知关于 的方程 有两个相等的实根，19
则 的值是__________．
【答案】
点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0 时，方程有两个相等的实数根”是
解题的关键.
三、解答题
40．【湖南省郴州市 2018 年中考数学试卷】郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢
答赛，欲购买 A、B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，共需 380 元；如果购买 A 种
15 件，B 种 10 件，共需 280 元．
（1）A、B 两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买 A、B 两种奖品共 100 件，总费用不超过 900 元，那么 A 种奖品最多购买多少件？
【答案】（1）A 种奖品每件 16 元，B 种奖品每件 4 元．（2）A 种奖品最多购买 41 件．
【解析】【分析】（1）设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元，根据“如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，
共需 380 元；如果购买 A 种 15 件，B 种 10 件，共需 280 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过 900
元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．20
（2）设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，
解得：a≤ ，
∵a 为整数，
∴a≤41，
答：A 种奖品最多购买 41 件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式.
41．【北京市 2018 年中考数学试卷】关于 的一元二次方程 ．
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 ， 的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）原方程有两个不相等的实数根．（2） ， ， ．
【解析】分析：（1）求出根的判别式 ，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则 ，写出一组满足条件的 ， 的值即可.
详解：（1）解：由题意： ．
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足 （ ）即可，例如：
解：令 ， ，则原方程为 ，
解得： ．
点睛：考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
42．【湖北省随州市 2018 年中考数学试卷】己知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+3）x+k2=0 有两个不相等的21
实数根 x1，x2．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 =﹣1，求 k 的值．
【答案】（1）k＞﹣ ；（2）k=3．
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可
得出 k 的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合 =﹣1 即可得出关于 k 的分式方程，
解之经检验即可得出结论．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0 时，方程有两
个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 =﹣1 找出关于 k 的分式方程．
43．【湖北省孝感市 2018 年中考数学试题】已知关于 的一元二次方程 .
（1）试证明：无论 取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根 ， 满足 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）-2.
【解析】分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）22
2≥0，由此即可证出：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合 x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出 p 值．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有两个
实数根”；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22-x1x2=3p2+1，求出 p 值．
44．【山东省东营市 2018 年中考数学试题】关于 x 的方程 2x2﹣5xsinA+2=0 有两个相等的实数根，其中∠A
是锐角三角形 ABC 的一个内角．
（1）求 sinA 的值；
（2）若关于 y 的方程 y2﹣10y+k2﹣4k+29=0 的两个根恰好是△ABC 的两边长，求△ABC 的周长．
【答案】（1）sinA= ；（2）△ABC 的周长为 或 16．
【解析】分析：（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0，解得 sinA= ；
（2）利用判别式的意义得到 100-4（k2-4k+29）≥0，则-（k-2）2≥0，所以 k=2，把 k=2 代入方程后解方
程得到 y1=y2=5，则△ABC 是等腰三角形，且腰长为 5．
分两种情况：当∠A 是顶角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，利用三角形函数求出 AD=3，BD=4，再利用
勾股定理求出 BC 即得到△ABC 的周长；
当∠A 是底角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=5，利用三角函数求出 AD 得到 AC 的
长，从而得到△ABC 的周长．
详解：（1）根据题意得△=25sin2A-16=0，23
∴sin2A= ，
∴sinA=± ，
∵∠A 为锐角，
∴sinA= ；
分两种情况：
当∠A 是顶角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，在 Rt△ABD 中，AB=AC=5，
∵sinA= ，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC=2 ．
∴△ABC 的周长为 10+2 ；
当∠A 是底角时：如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D，
在 Rt△ABD 中，AB=5，24
∵sinA= ，
∴AD=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC 的周长为 16，
综合以上讨论可知：△ABC 的周长为 10+2 或 16．
点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根．也
考查了解直角三角形．
45．【湖北省黄石市 2018 年中考数学试卷】已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 的值．
【答案】（1）m＜1；（2）0.
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即 ，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
点睛：本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根
的判别式的内容是解此题的关键．
46．【江苏省盐城市 2018 年中考数学试题】一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.
为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，
发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件.
（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？25
【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元.
详解：（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2×3=26 件．
（2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得 x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于 25 元，
∴x2=20 应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销
售的利润是解题关键．
47．【湖北省宜昌市 2018 年中考数学试卷】某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染
源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”
（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当
年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q
值降低了 12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．
（1）求 n 的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理
的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相同的数值 a．在
（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等，第
三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5．求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值．
【答案】（1）0.3；（2）60 家；（3）Q=20.5；a=9.5.
【解析】分析：（1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案26
治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案；
（3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案．
详解：
（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
点睛：考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
48．【云南省昆明市 2018 年中考数学试题】（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每
户每月用水量不超过 10 立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水
价+污水处理费）；若每户每月用水量超过 10 立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价 100%，每
立方米污水处理费不变．甲用户 4 月份用水 8 立方米，缴水费 27.6 元；乙用户 4 月份用水 12 立方米，缴
水费 46.3 元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水多少立方米？
【答案】（1）每立方米的基本水价是 2.45 元，每立方米的污水处理费是 1 元；（2）如果某用户 7 月份生
活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水 15 立方米27
【解析】分析：（1）设每立方米的基本水价是 x 元，每立方米的污水处理费是 y 元，然后根据等量关系即
可列出方程求出答案．
（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t＞10），根据题意列出不等式即可求出答案．
（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t＞10）
10×2.45+（t-10）×4.9+t≤64
解得：t≤15
答：如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水 15 立方米.
点睛：本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式.
49．【广西钦州市 2018 年中考数学试卷】某公司在甲、乙仓库共存放某种原料 450 吨，如果运出甲仓库所
存原料的 60%，乙仓库所存原料的 40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多 30 吨．
（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？
（2）现公司需将 300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为 120 元/吨和 100 元/吨．经
协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠 a 元吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运 m
吨原料到工厂，请求出总运费 W 关于 m 的函数解析式（不要求写出 m 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着 m 的增大，W 的变化情况．
【答案】（1）甲仓库存放原料 240 吨，乙仓库存放原料 210 吨；（2）总运费 W=（20﹣a）m+30000；（3）①
当 10≤a＜20 时， W 随 m 的增大而增大，②当 a=20 时，W 随 m 的增大没变化；③当 20≤a≤30 时， W 随 m
的增大而减小．
【解析】【分析】（1）根据甲乙两仓库原料间的关系，可得方程组；
（2）根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式；
（3）根据一次函数的性质，要分类讨论，可得答案．
【详解】（1）设甲仓库存放原料 x 吨，乙仓库存放原料 y 吨，由题意，得28
，
解得 ，
甲仓库存放原料 240 吨，乙仓库存放原料 210 吨；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解（1）的关键是利用等量关系列出二元一
次方程组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式；解（3）的关键是利用一次函数的性质，
要分类讨论．
50．【山东省烟台市 2018 年中考数学试卷】为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计
划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为 A，B 两种不同款型，其中 A 型车单价 400 元，B 型车单价 320
元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放 A，B 两种款型的单车共 100 辆，
总价值 36800 元．试问本次试点投放的 A 型车与 B 型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放
中 A，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于 184 万元．请问城区 10 万人口平均每 100 人至少
享有 A 型车与 B 型车各多少辆？
【答案】（1）本次试点投放的 A 型车 60 辆、B 型车 40 辆；（2）3 辆；2 辆
【解析】分析：（1）设本次试点投放的 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆，根据“两种款型的单车共 100 辆，总价
值 36800 元”列方程组求解可得；
（2）由（1）知 A、B 型车辆的数量比为 3：2，据此设整个城区全面铺开时投放的 A 型车 3a 辆、B 型车 2a
辆，根据“投资总价值不低于 184 万元”列出关于 a 的不等式，解之求得 a 的范围，进一步求解可得．
详解：（1）设本次试点投放的 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：本次试点投放的 A 型车 60 辆、B 型车 40 辆；29
点睛：本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相
等（或不等）关系，并据此列出方程组．
51．【四川省内江市 2018 年中考数学试卷】某商场计划购进 、 两种型号的手机，已知每部 型号手机的进
价比每部 型号手机的
多 500 元，每部 型号手机的售价是 2500 元，每部 型号手机的售价是 2100 元.
（1）若商场用 500000 元共购进 型号手机 10 部， 型号手机 20 部.求 、 两种型号的手机每部进价各是
多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过 7.5 万元采购 、 两种型号的手机共 40 部，且 型号手机的数
量不少于 型号手机数量的 2 倍.
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
【答案】（1）A、B 两种型号的手机每部进价各是 2000 元、1500 元；（2）①有 4 种购机方案：方案一：A
种型号的手机购进 27 部，则 B 种型号的手机购进 13 部；方案二：A 种型号的手机购进 28 部，则 B 种型号
的手机购进 12 部；方案三：A 种型号的手机购进 29 部，则 B 种型号的手机购进 11 部；方案四：A 种型号
的手机购进 30 部，则 B 种型号的手机购进 10 部；②购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13
部时获利最大．
【解析】分析：（1）A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据每部 型号手机的进价比每部 型
号手机的进价多 500 元以及商场用 500000 元共购进 型号手机 10 部， 型号手机 20 部列方程组，求出方程
组的解即可得到结果；
（2）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据话费的钱数不超过 7.5 万元以及 型号手机的
数量不少于 型号手机数量的 2 倍，据此列不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方
案．
详解：（1）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，30
根据题意得： ，
解得： ，
答：A、B 两种型号的手机每部进价各是 2000 元、1500 元；
（2）①设 A 种型号的手机购进 a 部，则 B 种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得： ，
解得： ≤a≤30，
∵a 为解集内的正整数，
∴a=27，28，29，30，
∴有 4 种购机方案：
②设 A 种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元．
根据题意，得 w=500a+600（40﹣a）=﹣100a+24000，
∵﹣10＜0，
∴w 随 a 的增大而减小，
∴当 a=27 时，能获得最大利润．此时 w=﹣100×27+24000=21700（元）．
因此，购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时，获利最大．
答：购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时获利最大．
点睛：此题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用， 二元一次方程组的应用，找出满足题意的等
量关系与不等关系是解本题的关键.
52．【湖北省宜昌市 2018 年中考数学试卷】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今
有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已
知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛（斛，是古代的一种容量单位），1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2
斛．1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．
【答案】1 个大桶可以盛酒 斛，1 个小桶可以盛酒 斛．31
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
53．【山东省聊城市 2018 年中考数学试卷】建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建
的一段路基工程的施工土方量为 120 万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施
工 150 天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工 40 天后甲队返回，两队又
共同施工了 110 天，这时甲乙两队共完成土方量 103.2 万立方.
（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证 150 天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，
那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？
【答案】（1）甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为 0.42 万立方和 0.38 万立方.（2）乙队平均
每天的施工土方量至少要比原来提高 0.112 万立方才能保证按时完成任务.
【解析】分析: （1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为 x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量
为 y 万立方，根据“甲乙两队合作 150 天完成土方量 120 万立方，甲队施工 110 天、乙队施工 150 天完成
土方量 103.2 万立方”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高 a 万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作的总量=甲
队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结
论.
详解:
（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为 x 万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为 y 万立方.根
据题意，得
32
解之，得
答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为 0.42 万立方和 0.38 万立方.
（2）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高 z 万立方.根据题意，得
40（0.38+z）+110(0.38+z+0.42≥120，
解之，得 z≥0.112，
答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高 0.112 万立方才能保证按时完成任务.
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于 a 的一元一次不等式.
54．【山东省东营市 2018 年中考数学试题】小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离
剧院 1200m 和 2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是 3：4，结果小明比小刚提前
4min 到达剧院．求两人的速度．
【答案】小明的速度是 75 米/分，小刚的速度是 100 米/分．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
55．【江苏省徐州巿 2018 年中考数学试卷】从徐州到南京可乘列车 A 与列车 B，已知徐州至南京里程约为
350km，A 与 B 车的平均速度之比为 10：7，A 车的行驶时间比 B 车的少 1h，那么两车的平均速度分别为多
少？
【答案】A 车的平均速度为 150km/h，B 车的平均速度为 105km/h．
【解析】【分析】设 A 车的平均速度为 10xkm/h，则 B 车的平均速度为 7xkm/h，根据时间=路程÷速度结合 A
车的行驶时间比 B 车的少 1h，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得答案．33
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
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