波峰中学2016-2017学年度第一学期期末模拟卷（六）
高三数学试题（理科）
命题人：张彦东 审题人:高三数学组 2016.12.
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）
A． B． C． D．
2.若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
3.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）
A．5 B．6 C．4 D．3
4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．4 B．9 C.7 D．5
6.已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
C.函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④存在三个点，使得为等边三角形.
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C.2 D．1
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．10 B．20 C.40 D．60
9.已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C. D．
10.在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）
A．36 B． C. D．
11.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点（在轴上方），满足，，则以为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若、满足约束条件，则的最大值为 ．
14.在中，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为 ．
15.已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则 ．
16.过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若，则抛物线的方程为 ．
三、解答题：
17、（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB=bcos C=3.
(I)求b ( II)若△ABC的面积为，求c．
18、已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，都有2，an，Sn为等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的通项公式是bn=，试比较{bn}的前n项和Tn与的大小．
19、（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，
PA =AB=AC．
(I)求证：AC⊥CD;
( II)点E在棱PC上，满足∠DAE＝60°，求二面甬B-AE -D的余弦值．
20、（本小题满分12分）
某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数．东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天．假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率．
(I)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；
( II)设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求的分布列及数学期望.
21、（本小题满分12分）已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.
求证：为定值.
22、（本小题满分12分）
己知函数，直线与曲线切于点且与曲线y=g（x）切于点(1，g(1))．
(I)求a，b的值和直线的方程．
( II)证明：
2016-2017学年度高三上学期期末考试模拟卷6
理科答案
一、选择题
1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC
二、填空题
13.2 14.8 15.120 16.
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由正弦定理得sinCsinB＝sinBcosC，
又sinB≠0，所以sinC＝cosC，C＝45°．
因为bcosC＝3，所以b＝3． …6分
（Ⅱ）因为S＝acsinB＝，csinB＝3，所以a＝7．
据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，所以c＝5． …12分
（18）解：解：（1）由已知得：，
故Sn+1﹣Sn﹣=an+1=2（an+1﹣an），
即an+1=2an，
当n=1时，a1=2a1﹣2，则a1=2．
故数列{an}是以2为首项，公比q=2的等边数列，
所以an=2×2n﹣1=2n；
（2）由（1）知，an=2n．
则bn===（﹣），
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+）＜．
P
A
D
E
B
y
z
x
C
19、（Ⅰ）证明：
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
因为∠PCD＝90°，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥AC． …4分
（Ⅱ）
因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直．
如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以||为单位长度，建立空间直角坐标系．
则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)．
设＝λ＝λ(0，1，－1)，则＝＋＝ (0，λ，1－λ)，
又∠DAE＝60°，则cosá，ñ＝，
即＝，解得λ＝． …8分
则＝(0，，)，＝－＝(－1，，－)，
所以cosá，ñ＝＝－．
因为·＝0，所以⊥．又⊥，
故二面角B-AE-D的余弦值为－． …12分
20、解：
（Ⅰ）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件A，B，C，D．
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝．
设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M，则
M＝BCD＋ACD＋ABD＋ABC．
则P(M)＝×××＋×××＋×××＋×××
＝＝． …5分
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝．
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
p
E(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝． …12分
21、⑴由已知，，又，
解得
∴椭圆的方程为.
⑵设椭圆上一点，则.
直线：,令，得.
∴
直线：,令，得.
∴
将代入上式得故为定值.
22、解：
（Ⅰ）f¢(x)＝aex＋2x，g¢(x)＝cos＋b，
f(0)＝a，f¢(0)＝a，g(1)＝1＋b，g¢(1)＝b，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，
曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线为
y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1．
依题意，有a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1． …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin＋x． …5分
设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，则F¢(x)＝ex＋2x－1，
当x∈(－∞，0)时，F¢(x)＜F¢(0)＝0；
当x∈(0，＋∞)时，F¢(x)＞F¢(0)＝0．
F(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，
故F(x)≥F(0)＝0． …8分
设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin，
则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1（k∈Z）时等号成立． …10分
由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，
因此f(x)＞g(x)． …12分
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