2016-2017学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A等于（ ）
A．50° B．20° C．30° D．40°
3．将二次函数表达式y=x2﹣2x+3用配方法配成顶点式正确的是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+4 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2
4．如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4
7．已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是（ ）
A． B．π C． D．2π
8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（ ）
A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切
9．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的两点，且y1＜y2．满足条件的m值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．3
10．如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
11．已知sinA=，则锐角A的度数是 ．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为 ．
13．将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 ．
14．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为 ．
15．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九
章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，勾为AC长8步，股为BC长15步，问△ABC的内切圆⊙O直径是多少步？”根据题意可得⊙O的直径为 步．
16．如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把线段BD 绕着点D逆时针旋转α（0＜α＜180）度后，如果点B恰好落在Rt△ABC的边上，那么α= ．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．
18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，
小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果AC=2，且tan∠ACD=2．求AB的长．
20．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣
0
4
4
m
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求m的值．
21．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．
22．一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
23．昌平区南环路大桥位于南环路东段，该桥设计新颖独特，悬索和全钢结构桥体轻盈、通透，恰好与东沙河湿地生态恢复工程及龙山、蟒山等人文、自然景观相呼应；首创的两主塔间和无上横梁的设计，使大桥整体有一种开放、升腾的气势，预示昌平区社会经济的蓬勃发展，绚丽的夜景照明设计更是光耀水天，使得南环路大桥不仅是昌平新城的交通枢纽，更是一座名副其实的景观大桥，今后也将成为北京的一个新的旅游景点，成为昌平地区标志性建筑．
某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在B点测得顶端D的仰角∠DBA=30°，向前走了50米到达C点后，在C点测得顶端D的仰角∠DCA=45°，点A、C、B在同一直线上．求南环大桥的高度AD．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
24．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象过点A（6，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线与反比例函数y=图象的另一个交点为B，与y轴交于点P，若AP=3PB，求点B的坐标．
25．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．
26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．
小文根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．
下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是 ；
（2）表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣
0
﹣
﹣
2
m
…
则m的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）： ．
五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）
27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边
的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标．
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
29．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．
（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．
（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．
请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．
并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．
2016-2017学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A等于（ ）
A．50° B．20° C．30° D．40°
【考点】圆周角定理．
【分析】因为⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，∠ACB=90°，∠A+∠B=90°，又因为∠BOC=80°，OB=OC，所以∠B=∠BCO=50°，所以∠A=40°．
【解答】解：∵⊙O是△ABC外接圆，AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
∵∠BOC=80°，
∴∠B=∠BCO=50°
∴∠A=40°．
故选D．
3．将二次函数表达式y=x2﹣2x+3用配方法配成顶点式正确的是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+4 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2．
故选A．
4．如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，
故选：D．
5．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的
顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正切是对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图，
tan∠CAB==，
故选：C．
6．如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB=2求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△AOB=2，
∴|k|=4，
∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣，
故选A．
7．已知一个扇形的半径是2，圆心角是60°，则这个扇形的面积是（ ）
A． B．π C． D．2π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】把已知数据代入扇形的面积公式S=，计算即可．
【解答】解：扇形的面积==，
故选：A．
8．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（ ）
A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．
【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，
则有2=2，3＞2，
∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．
故选C．
9．已知点A（2，y1）、B（m，y2）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的两点，且y1＜y2．满足条件的m值可以是（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵k＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
由题意得，0＜m＜2，
故选：C．
10．如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意，分M在OA、、CO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故①③都是线段，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，分3个阶段；
①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，
②P在之间，∠DME保持36°，大小不变，
③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；
又由点P作匀速运动，故①③都是线段；
分析可得：B符合3个阶段的描述；
故选B．
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
11．已知sinA=，则锐角A的度数是 60° ．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由sinA=，得
∠A=60°，
故答案为：60°．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为 70° ．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，∠A=70°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=○A=70°．
故答案为：70°．
13．将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为 y=2（x﹣3）2+2 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【解答】解：将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度
后，得到的抛物线的表达式为y=2（x﹣3）2+2，
故答案为：y=2（x﹣3）2+2．
14．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为 4 ．
【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故答案为4．
15．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，勾为AC长8步，股为BC长15步，问△ABC的内切圆⊙O直径是多少步？”根据题意可得⊙O的直径为 6 步．
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB，根据直角三角形的内接圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=8步，BC=15步，
∴AB==17步，
∴△ABC的内切圆⊙O直径=8+15﹣17=6步，
故答案为：6．
16．如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把线段BD 绕着点D逆时针旋转α（0＜α＜180）度后，如果点B恰好落在Rt△ABC的边上，那么α= 70°或120° ．
【考点】旋转的性质．
【分析】设旋转后点B的对应点为B′，当B′在线段AB上时，连接B′D，由旋转的性质可得BD=B′D，利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求得∠BDB′；当点B′在线段AC上时，连接B′D，在Rt△B′CD中可求得∠CDB′，则可求得旋转角，可求得答案．
【解答】解：
设旋转后点B的对应点为B′，
①当B′在线段AB上时，连接B′D，如图1，
由旋转性质可得BD=B′D，
∴∠DB′B=∠B=55°，
∴α=∠BDB′=180°﹣55°﹣55°=70°；
②当点B′在线段AC上时，连接B′D，如图2，
由旋转性质可得BD=B′D，
∵BD=2CD，
∴B′D=2CD，
∴sin∠CB′D==，
∴∠CB′D=30°，
∴∠BDB′=90°+30°=120°；
综上可知旋转角α为70°或120°，
故答案为：70°或120°．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°
=2×﹣4××+（）2
=1﹣2+3
=2．
18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，
小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率=；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率═=．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果AC=2，且tan∠ACD=2．求AB的长．
【考点】解直角三角形．
【分析】首先根据AC=2，tan∠ACD=2求得BC的长，然后利用勾股定理求得AB的长即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠B=∠ACD，
∵tan∠ACD=2，
∴tan∠B=，
∴，
由勾股定理得AB=5．
20．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣
0
4
4
m
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求m的值．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）将x=1代入解析式求得y的值，即可得答案．
【解答】解：（1）设这个二次函数的表达式为y=a（x﹣h）2+k．
依题意可知，顶点（﹣1，），
∴．
∵（0，4），
∴．
∴．
∴这个二次函数的表达式为．
（2）当x=1时，y=﹣×4+=，
即．
21．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．
【考点】圆周角定理．
【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC的长度即可．
【解答】解：如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD=90°．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD=12．
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=6．
∴AC=．
22．一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．
【分析】作弦AB，AC，再作出线段AB，AC的垂直平分线相交于点O，则O点即为所求．
【解答】解：如图，点O即为所求．
四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
23．昌平区南环路大桥位于南环路东段，该桥设计新颖独特，悬索和全钢结构桥体轻盈、通透，恰好与东沙河湿地生态恢复工程及龙山、蟒山等人文、自然景观相呼应；首创的两主塔间和无上横梁的设计，使大桥整体有一种开放、升腾的气势，预示昌平区社会经济的蓬勃发展，绚丽的夜景照明设计更是光耀水天，使得南环路大桥不仅是昌平新城的交通枢纽，更是一座名副其实的景观大桥，今后也将成为北京的一个新的旅游景点，成为昌平地区标志性建筑．
某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在B点测得顶端D的仰角∠DBA=30°，向前走了50米到达C点后，在C点测得顶端D的仰角∠DCA=45°，点A、C、B在同一直线上．求南环大桥的高度AD．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由题意推知△ACD是等腰直角三角形，故设AC=AD=x，在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质（或者解该直角三角形）得到关于x的方程，通过解方程求得x的值即可．
【解答】解：由题意知，在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠DCA=45°，
∴AC=AD．
设AC=AD=x，
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=90°，∠DBA=30°，
∴BD=2AD=2x，
∴AB=．
∴BC=．
∵BC=50，
∴．
∴x≈68.3．
∴x=68．
∴南环大桥的高度AD约为68米．
24．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象过点A（6，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线与反比例函数y=图象的另一个交点为B，与y轴交于点P，若AP=3PB，求点B的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式；
（2）过A点作AM⊥y轴于点M，AM=6，作BN⊥y轴于点N，则AM∥BN，由平行线的性质结合AP=3PB即可求出BN的长度，从而得出点B的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标．
【解答】解：（1）反比例函数的图象过点A（6，1），
∴m=6×1=6，
∴反比例函数的表达式为．
（2）过A点作AM⊥y轴于点M，AM=6，作BN⊥y轴于点N，则AM∥BN，如图所示．
∵AM∥BN，AP=3PB，
∴，
∵AM=6，
∴BN=2，
∴B点横坐标为2或﹣2，
∴B点坐标为（2，3）或（﹣2，﹣3）．
25．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°．
∴∠BEC=90°．
∵点F为BC的中点，
∴EF=BF=CF．
∴∠FEC=∠FCE．
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE．
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，
∴△AOE是等边三角形．
∴∠AOE=60°．
∴∠COD=∠AOE=60°．
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OC=2
在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，
∴∠ODC=30°．
∴OD=2OC=4，
∴CD=．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=．
∴AD==．
26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．
小文根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．
下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
﹣
﹣
﹣
0
﹣
﹣
2
m
…
则m的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）： 图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）由分式有意义的条件可求得答案；
（2）把x=3代入函数解析式可求得答案；
（3）利用描点法可画出函数图象；
（4）结合函数图象可得出答案．
【解答】解：
（1）由题意可知2x﹣2≠0，解得x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）当x=3时，m==，
故答案为：；
（3）利用描点法可画出函数图象，如图：
（4）由函数图象可知：图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称，
故答案为：图象有两个分支，关于点（1，1）中心对称．
五、解答题（共3道小题，第27，28小题各7分，第29小题8分，共22分）
27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）在图1中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）在图1中画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A3B3C3与△ABC的对应边
的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点A的对应点A3的坐标．
【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-旋转变换．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
（3）把点A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A3、B3、C3的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1为所作；
（2）如图1，△A2B2C2为所作；
（3）如图2，△A3B3C3△ABC为所作，此时点A的对应点A3的坐标是（﹣4，﹣4）．
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，进而利用公式求得对称轴解析式；
（2）求得C的坐标以及二次函数的最大值，求得CB与对称轴的交点即可确定t的范围．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣4），代入得
解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣2x2+4x+2，
对称轴为直线x=1；
（2）由题意得 C（﹣3，4），二次函数y=﹣2x2+4x+2的最大值为4．
由函数图象得出D纵坐标最大值为4．
因为点B与点C关于原点对称，所以设直线BC的表达式为y=kx，
将点B或点C 与的坐标代入得，．
∴直线BC的表达式为．
当 x=1时，．
∴t的范围为．
29．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．
（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P
的对应点分别为点D，A，E，连接CE．
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．
（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．
小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．
请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．
并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．
【考点】几何变换综合题；线段的性质：两点之间线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的判定与性质．
【分析】（1）①连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；
（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN，最后根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值．
【解答】解：（1）①补全图形如图所示；
②如图，连接BD、CD
∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，
∴BC∥AD且BC=AD，
∵∠ACB=90°，
∴四边形BCAD是矩形，
∴CD=AB=6，
∵BP=3，
∴DE=BP=3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，
∴DE⊥CE，
∴在Rt△DCE中，CE====；
（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．
由旋转可得，△AMN≌△ABP，
∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，
∴△PAM、△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，
当AC=BC=4时，AB=4，
当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，
∴AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，
∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=．
2017年2月10日
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