北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试
数学试卷（文史类） 2017.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合，，则
A. B.
C. D.
2.复数
A. 2i B. 22i C. 1+i D. 1i
3．已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是
A. B. C. D.
4. 已知平面向量，，则与的夹角为
A. B． C. D.
5.已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知双曲线 ，的左、右焦点分别是，，M是双曲线上的一点，且||，||=1，，则该双曲线的离心率是
1
2
俯视图
正视图
侧视图
1
A． B． C． D．或
7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，
则该四棱锥的体积为
A. B.
C. D.
8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9．已知等差数列前n项和为.若，，则=_______， .
开始
是
否
输出
结束
10．圆C：的圆心到直线的距离是 ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为_______.
12．在△中，已知，则 .
13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的最大值是_______，的取值范围是___.
14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
16. （本小题满分13分）
已知等比数列的各项均为正数，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，且是等差数列，
求数列的前项和.
17. （本小题满分13分）
甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：
甲： 82 82 79 95 87
乙： 95 75 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；
（Ⅲ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．
18. （本小题满分14分）
F
A
D
C
B
E
如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，
, ．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
19. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，动点与两定点,连线的斜率乘积为，记点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若曲线上的两点满足,，求证：的面积为定值.
20. （本小题满分14分）
设函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围;
(III)设函数当时，证明.
详细答案部分
1.【考点】集合的运算
【解析】由，，由得，则，故选C.
【答案】C
2.【考点】复数综合运算
【解析】，故选D.
【答案】D
3.【考点】不等式的性质
【解析】令，，A不成立；，B不成立，令，，C不成立；，则，D成立，故选D.
【答案】D
4.【考点】数量积的定义
【解析】，， 与的夹角为，故选B.
【答案】B
5.【考点】充分条件与必要条件函数的单调性与最值
【解析】函数在上是减函数，则，函数在上是增函数，则，解得，所以时满足，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数 ”的充分条件，时，不一定有，故“函数在上是减函数”不是“函数在上是增函数”的必要条件，故答案为A。
【答案】A
6.【考点】双曲线
【解析】||，||=1，，若为直角三角形，，故，，若若为钝角三角形，则有，，，，故答案为D.
【答案】D
7.【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
【解析】还原三视图后放到长方体里如图所示， ，，，为四棱锥的高体积为，故答案为C.
【答案】C
8.【考点】集合的运算
【解析】设跳远和掷实心球测试都合格的为人，则，解得，所以选B.
【答案】B
9.【考点】等差数列
【解析】设等差数列的公差为，则，即，，，，，故答案为4，110.
【答案】4，110
10.【考点】直线与圆的位置关系
【解析】圆C化成标准方程为，圆心为，到直线的距离
，故答案为：3.
【答案】3
11.【考点】算法和程序框图
【解析】执行程序
，判断，是，进入循环；
，判断，是，进入循环；
，判断，是，进入循环；
，判断，否，输出
故答案为：30
【答案】30
12.【考点】解斜三角形
【解析】由正弦定理，所以，解得，则，所以.故答案为105°.
【答案】105°
13.【考点】线性规划
【解析】画出可行域如图所示
令，，当直线过点是有最大值，联立，得，代入；
第二空：
解法一、
由图可知，令，则，，当时，有最小值，代入得，故的取值范围为.
解法二、
如图当点在与平行的直线：上运动时，为（负）定值，故对每一个，这道当落在与的交点时，与原点的距离最小，从而取得最小值；
当变化时，与的交点在上运动，此时，故=，为常数，综上知道，的最小值在线段上取到，最小值为，而最大值在线段上取到，最大值为0，故取值范围为.
解法三：
注意到所求为一次齐次式，可以考虑分子分母同除以，
当时，得到；
当时，得到，这里为原点与点
的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；
当是，得到这里为原点与点的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；
综上所述，知道取值范围为.
解法四：
设，
令，，
由在可行域内，，
故.
【答案】，
14.【考点】合情推理与演绎推理
【解析】若甲获奖，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，满足题意，故答案为:甲.
【答案】甲
15.【考点】三角函数综合
【解析】（Ⅰ）因为
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）因为
当时，取得最大值；
当取得最小值.
【答案】见解析
16.【考点】数列综合应用
【解析】（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，依题意 ．
因为
两式相除得：，
解得，(舍去)．
所以．
所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：由已知可得，，
因为为等差数列，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
所以.
则.
因此数列的前项和：
.
【答案】见解析
17.【考点】概率综合
【解析】（Ⅰ）作出茎叶图如下；
（Ⅱ）记甲被抽到的成绩为，乙被抽到成绩为，用数对表示基本事件：
基本事件总数．
设“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：
事件A包含的基本事件数．
所以，．
（Ⅲ）派甲参赛比较合适，理由如下：
，
因为，
所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
【答案】见解析
18.【考点】立体几何综合
【解析】（Ⅰ）因为平面平面，
平面平面，且，所以平面.
因为平面，所以．
又因为四边形为正方形，所以．
因为，所以平面．
（Ⅱ）设，
因为四边形为正方形，
所以为中点．
设为的中点，连结，
则，且．
由已知，且，
则且
所以四边形为平行四边形.
所以，即．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知平面，
因为，所以平面，
所以．
又因为四边形为正方形，所以，
所以平面．
由（Ⅱ）可知，平面，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以 ．
因为．
所以
．
故三棱锥的体积为．
【答案】见解析
19.【考点】圆锥曲线综合
【解析】（Ⅰ）设，则，
整理得.
（Ⅱ）依题直线的斜率乘积为.
当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程是，由得，.取，则.
所以的面积为.
当直线的斜率存在时，设方程为.
由得，.
因为，在椭圆上，
所以，解得.
设,,则，；
所以
.
设点到直线的距离为，则.
所以的面积为……①.
因为,，直线,的斜率乘积为，所以.
所以
由，得……②.
由①②，得.
【答案】见解析
20.【考点】导数的综合运用
【解析】（Ⅰ）当时，函数，
因为，所以.又
则所求的切线方程为.
化简得：.
（Ⅱ）因为
①当时，函数只有一个零点；
②当，函数当时，；
函数当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
因为，所以，所以，所以
取，显然且
所以，.
由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.
③当时，由，得，或.
若，则.
故当时，，所以函数在在单调递增，所以函数在至多有一个零点.
又当时，，所以函数在上没有零点.
所以函数不存在两个零点.
若，则.
当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在至多有一个零点.
当时，；当时，；
所以函数在上单增，上单调递减，所以函数在上的最大值为，所以函数在上没有零点.
所以不存在两个零点.
综上，的取值范围是
（Ⅲ）证明:当时，.
设，其定义域为，则证明即可.
因为，所以，.
又因为，所以函数在上单调递增.
所以有唯一的实根，且.
当时，；当时，.
所以函数的最小值为.
所以
.
所以.
【答案】见解析
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