江西省抚州市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）.doc

‎2016-2017学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．如图程序输出的结果是（　　）‎ A．3，4 B．4，4 C．3，3 D．4，3‎ ‎2．命题：“∃x0＞0，使2＞10”，这个命题的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，使2x＞10 B．∀x＞0，使2x≤10 C．∀x≤0，使2x≤10 D．∀x≤0，使2x＞10‎ ‎3．如图所示的流程图，最后输出n的值是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎4．表是某工厂1﹣4月份用电量（单位：万度）的一组数据 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用电量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由表可知，用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是═﹣0.6x+a，则a等于（　　）‎ A．5.1 B．4.8 C．5 D．5.2‎ ‎5．由经验得知，在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则至多2个人排队的概率为（　　）‎ A．0.56 B．0.44 C．0.26 D．0.14‎ ‎6．“0＜m＜3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．设函数f（x）=（x＞0），记f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），fn+1（x）=f[fn（x）]．则f2017（x）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠ASC=90°，∠BSC=60°，SA=SB=SC=2，点G是△ABC的重心，则||等于（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎10．下列命题：‎ ‎①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；‎ ‎②“全等三角形面积相等”的逆命题；‎ ‎③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．③④ B．①③ C．①② D．②④‎ ‎11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1B1BA，且AA1=AB=BC=2，则AC与平面A1BC所成角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（　　）‎ A． B．2 C． D． ‎ ‎　‎ 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知平面β的法向量是（2，3，﹣1），直线l的方向向量是（4，λ，﹣2），若l∥β，则λ的值是　　．‎ ‎14．命题“∃x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎15．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C： +=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于y轴对称的两点，P是椭圆上的左顶点，且直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），则kPM•kPN=．类比上述性质，可以得到双曲线的一个性质，并根据这个性质得：若M，N是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），双曲线的离心率e=，则kPM•kPN等于　　．‎ ‎16．已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且++2=，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC 内的黄豆数大约是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共70分）‎ ‎17．设命题p：m∈{x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（1）若当a=1时，命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．调查某车间20名工人的年龄，第i名工人的年龄为ai，具体数据见表：‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ai ‎29‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎19‎ ‎31‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎29‎ ‎29‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎（1）作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎（2）求这20名工人年龄的众数和极差；‎ ‎（3）执行如图所示的算法流程图（其中是这20名工人年龄的平均数），求输出的S值．‎ ‎19．已知数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N+）．‎ ‎（1）计算a2，a3，a4，并猜测出{an}的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测．‎ ‎20．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB=，BC=CD=‎ ‎，AD=1．‎ ‎（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；‎ ‎（2）点E是线段AB的中点，求二面角E﹣PC﹣D的大小．‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点、上顶点分别为A，B，△OAB的面积为3（点O为坐标原点）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且=λ（λ＜0），求实数λ的取值范围．‎ ‎22．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：﹣=1（a＞0．b＞0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2）．‎ ‎（1）求抛物线C1，双曲线C2的方程；‎ ‎（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．如图程序输出的结果是（　　）‎ A．3，4 B．4，4 C．3，3 D．4，3‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行，最后的a和b就是所求．得到结果．‎ ‎【解答】解：从所给的赋值语句中可以看出：‎ a=3，‎ b=4，‎ a是b赋给的值，a=4‎ 而b又是a赋给的值，b=4‎ ‎∴输出的a，b的值分别是4，4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．命题：“∃x0＞0，使2＞10”，这个命题的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，使2x＞10 B．∀x＞0，使2x≤10 C．∀x≤0，使2x≤10 D．∀x≤0，使2x＞10‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．‎ ‎∴命题p：“∃x0＞0，使2＞10”，的否定是：∀x∈R，∀x＞0，使2x≤10．‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．如图所示的流程图，最后输出n的值是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 n=1，n=2‎ 不满足条件2n＞n2，n=3‎ 不满足条件2n＞n2，n=4‎ 不满足条件2n＞n2，n=5‎ 满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．表是某工厂1﹣4月份用电量（单位：万度）的一组数据 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用电量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由表可知，用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是═﹣0.6x+a，则a等于（　　）‎ A．5.1 B．4.8 C．5 D．5.2‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】由题中表格数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点（，）求出a的值．‎ ‎【解答】解：由题中表格数据，计算 ‎=×（1+2+3+4）=2.5，‎ ‎=×（4.5+4+3+2.5）=3.5，‎ 且回归直线方程═﹣0.6x+a过样本中心点（，），‎ 则a=3.5﹣（﹣0.6）×2.5=5．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．由经验得知，在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下：‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则至多2个人排队的概率为（　　）‎ A．0.56 B．0.44 C．0.26 D．0.14‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】至多2个人排队的概率为p=p（X=0）+P（X=1）+P（X=2），由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率表知：‎ 至多2个人排队的概率为：‎ p=p（X=0）+P（X=1）+P（X=2）‎ ‎=0.1+0.16+0.3=0.56．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．“0＜m＜3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：m＞4时，椭圆的焦点在y轴上，‎ 此时a2=m，b2=4，c2=m﹣4，‎ 故＞，解得：m＞，‎ ‎0＜m＜4时，椭圆的焦点在x轴上，‎ 此时a2=4，b2=m，c2=4﹣m，‎ 故＞，解得：0＜m＜3，‎ 故“0＜m＜3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．‎ ‎【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则 第1组为，第2组为，‎ 第3组为，第4组为，‎ 第5组为，第6组为，‎ 故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设函数f（x）=（x＞0），记f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），fn+1（x）=f[fn（x）]．则f2017（x）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出fn（x）的表达式，即可得出f2017（x）的表达式．‎ ‎【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=，（x＞0），‎ f2（x）=f（f1（x））=，‎ f3（x）=f（f2（x））==，…，‎ fn（x）=f（fn﹣1（x））=，‎ ‎∴f2017（x）=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠ASC=90°，∠BSC=60°，SA=SB=SC=2，点G是△ABC的重心，则||等于（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC．由题意，AS⊥平面SBC，SA=2，SD=，AG=2GD=，cos∠SAD=．利用 余弦定理可得||．‎ ‎【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC．‎ 由题意，AS⊥平面SBC，SA=2，SD=，AG=2GD=，cos∠SAD=．‎ 由余弦定理可得||==，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题：‎ ‎①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；‎ ‎②“全等三角形面积相等”的逆命题；‎ ‎③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的命题是（　　）‎ A．③④ B．①③ C．①② D．②④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；‎ ‎②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；‎ ‎③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，‎ 此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，‎ 故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，‎ 故正确；‎ ‎④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．‎ 故选：A ‎　‎ ‎11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1B1BA，且AA1=AB=BC=2，则AC与平面A1BC所成角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】证明AD⊥平面A1BC，得出∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，求出AC=，AD=，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图，AB1∩A1B=D，连结CD，‎ ‎∵AA1=AB，∴AD⊥A1B，‎ ‎∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，‎ ‎∴AD⊥平面A1BC，‎ 则CD是AC在平面A1BC内的射影，‎ ‎∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，‎ 又BC⊂平面A1BC，‎ 所以AD⊥BC，‎ 因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 则AA1⊥底面ABC，‎ 所以AA1⊥BC．‎ 又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，‎ 又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC ‎∵AA1=AB=BC=2，∴AC=，AD=‎ ‎∴sin∠ACD=，∴∠ACD=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率e为（　　）‎ A． B．2 C． D． ‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．‎ 则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，‎ ‎∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，‎ ‎∴，解得e=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知平面β的法向量是（2，3，﹣1），直线l的方向向量是（4，λ，﹣2），若l∥β，则λ的值是　﹣　．‎ ‎【考点】平面的法向量．‎ ‎【分析】由l∥β，知平面β的法向量是与直线l的方向向量垂直，由此能示出结果．‎ ‎【解答】解：∵平面β的法向量是（2，3，﹣1），直线l的方向向量是（4，λ，﹣2），l∥β，‎ ‎∴（2，3，﹣1）•（4，λ，﹣2）=8+3λ+2=0，‎ 解得λ=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．命题“∃x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　a≤2　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；特称命题．‎ ‎【分析】若命题“∃x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9≥0”为真命题，即命题“∀x∈（0，+∞），a≤=”为真命题，结合基本不等式可得答案．‎ ‎【解答】解：若命题“∃x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9＜0”为假命题，‎ 则命题“∀x∈（0，+∞），x2﹣3ax+9≥0”为真命题，‎ 即命题“∀x∈（0，+∞），a≤=”为真命题，‎ ‎∵x∈（0，+∞）时，≥=2，‎ 故a≤2，‎ 故答案为：a≤2．‎ ‎　‎ ‎15．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C： +=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于y轴对称的两点，P是椭圆上的左顶点，且直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），则kPM•kPN=．类比上述性质，可以得到双曲线的一个性质，并根据这个性质得：若M，N是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），双曲线的离心率e=，则kPM•kPN等于　﹣4　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（﹣m，n），且，又设点P的坐标为（﹣a，0），表示出直线PM和PN的斜率，求得两直线斜率乘积的表达式即可 ‎【解答】解：M，N是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上关于y轴对称的两点，‎ P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN）‎ 设设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（﹣m，n），则，‎ 即n2=，又设点P的坐标为（﹣a，0），‎ 由kPM=，kPN=，‎ ‎∴kPM•kPN=×=﹣（e2﹣1）（常数）．‎ ‎∴双曲线的离心率e=时，则kPM•kPN等于﹣4．‎ 故答案为：﹣4‎ ‎　‎ ‎16．已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且++2=，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是　1500粒　．‎ ‎【考点】模拟方法估计概率．‎ ‎【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率，即可得到本题的答案．‎ ‎【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则+=，‎ ‎∵++2=，‎ ‎∴+=﹣2，‎ 得： =﹣2，‎ 由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，‎ 点P到BC的距离等于A到BC的距离的．‎ ‎∴S△PBC=S△ABC．‎ 将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=，‎ 将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．‎ 故答案为1500粒．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共70分）‎ ‎17．设命题p：m∈{x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎（1）若当a=1时，命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可；‎ ‎（2）通过讨论a的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=1时，x2+（a﹣8）x﹣8a≤0，‎ 即x2﹣7x﹣8≤0，解得：﹣1≤x≤8，‎ 故p：﹣1≤m≤8，‎ 若方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，‎ 则，解得：m＞5‎ 故q：m＞5；‎ 若命题p∧q假命题，p∨q”为真命题，‎ 则p，q一真一假，‎ 故或，‎ 解得：m∈[﹣1，5]∪（8，+∞）；‎ ‎（2）命题p：m∈{x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}={x|（x﹣8）（x+a）≤0}，‎ ‎﹣a＜8即a＞﹣8时，p：[﹣a，8]，‎ ‎﹣a＞8，即a＜﹣8时，p：[8，﹣a]，‎ q：m＞5，‎ 若命题p是命题q的充分不必要条件，‎ 即[﹣a，8]⊊（5，+∞），或[8，﹣a]⊊（5，+∞），‎ 故﹣a＞5，解得：a＜﹣5．‎ ‎　‎ ‎18．调查某车间20名工人的年龄，第i名工人的年龄为ai，具体数据见表：‎ i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ai ‎29‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎19‎ ‎31‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎29‎ ‎29‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎（1）作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎（2）求这20名工人年龄的众数和极差；‎ ‎（3）执行如图所示的算法流程图（其中是这20名工人年龄的平均数），求输出的S值．‎ ‎【考点】程序框图；茎叶图．‎ ‎【分析】（1）根据画茎叶图的步骤，画图即可；‎ ‎（2）根据众数和极差的定义，即可得出；‎ ‎（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）茎叶图如下：‎ ‎（2）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；‎ ‎（3）年龄的平均数为： ==30．‎ 模拟执行程序，可得：S= [（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）2+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N+）．‎ ‎（1）计算a2，a3，a4，并猜测出{an}的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测．‎ ‎【考点】数学归纳法；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由an+1=，分别令n=1，2，3，能求出a2，a3，a4的值，根据 前四项的值，总结规律能猜想出an的表达式．‎ ‎（2）当n=1时，验证猜相成立；再假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时猜想成立，由此利用数学归纳法能证明猜想成立．‎ ‎【解答】解：（1）a1=2，an+1=，‎ 当n=1时，a2==，‎ 当n=2时，a3==0，‎ 当n=4时，a4==﹣，‎ ‎∴猜想an=，（n∈N+）．‎ ‎（2）①当n=1时，a1==2，等式成立，‎ ‎②假设n=k时，猜想成立，即ak=，‎ 那么当n=k+1时，ak+1===，等式成立，‎ 由①②可知，an=，（n∈N+）．‎ ‎　‎ ‎20．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB=，BC=CD=，AD=1．‎ ‎（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；‎ ‎（2）点E是线段AB的中点，求二面角E﹣PC﹣D的大小．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的 余弦值．‎ ‎（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小．‎ ‎【解答】解：（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ A（，，0），B（0，，0），C（0，0，0），‎ P（），‎ ‎=（﹣，0，0），=（﹣），‎ 设异面直线AB、PC所成角为θ，‎ 则cosθ===，‎ ‎∴异面直线AB、PC所成角的余弦值为．‎ ‎（2）E（，，0），=（，，0），=（），=（0，），‎ 设平面PCE的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=，得，‎ 设平面PCB的法向量=（a，b，c），‎ 则，取a=，得=（），‎ 设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ，‎ 则cosθ===．‎ θ=arccos．‎ ‎∴二面角E﹣PC﹣D的大小为arccos．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点、上顶点分别为A，B，△OAB的面积为3（点O为坐标原点）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且=λ（λ＜0），求实数λ的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由e=，s△OAB==3，a2﹣b2=c2，求得a2，b2即可．‎ ‎（2）由（1）得直线AB的方程为：2x﹣3y+6=0．‎ 由得P（，y1）．由得Q（，y2）‎ 由=λ（λ＜0）得λ==﹣=﹣即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵e=，s△OAB==3，a2﹣b2=c2∴a2=9，b2=4．‎ 椭圆C的方程为：．‎ ‎（2）由（1）得A（﹣3，0），B（0.2），∴直线AB的方程为：2x﹣3y+6=0．‎ ‎∵P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且=λ（λ＜0），∴P、O、Q三点共线，‎ 设直线PQ的方程为：y=kx （k＜0）‎ 由得P（，y1）．‎ 由得Q（，y2）‎ 由=λ（λ＜0）得 λ==﹣‎ ‎=﹣‎ ‎∵k＜0∴9k+，∴﹣1＜λ＜≤﹣，‎ 当直线PQ的斜率为0或不存在时，λ=﹣1，‎ 综上：实数λ的取值范围：[﹣1，﹣]‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：﹣=1（a＞0．b＞0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2）．‎ ‎（1）求抛物线C1，双曲线C2的方程；‎ ‎（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p，求出抛物线方程．焦点F（2，0），则，求出a，b，可得双曲线C2的方程；‎ ‎（2）欲证明直线GH过定点，只需求出含参数的直线GH的方程，观察是否过定点即可．设出A，B，G，H的坐标，用A，B坐标表示G，H坐标，求出直 线GH方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0）．‎ ‎【解答】解：（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p=4，∴抛物线C1：y2=8x；‎ 焦点F（2，0），则，∴a=1，b=，∴双曲线C2的方程=1；‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）‎ 把直线AB：y=k（x﹣2）代入y2=8x，得：‎ k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x3=2+，y3=k（x3﹣2）=，‎ 同理可得，x4=2+4k2，y4=﹣4k，‎ ‎∴kGH=，‎ ‎∴直线GH为y﹣=（x﹣2﹣），即y=（x﹣3），过定点P（3，0）．‎ ‎2017年2月10日