考点强化练17 直角三角形与锐角三角函数
基础达标
一、选择题
1.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
答案C
2.(2018湖北孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于( )
A. B.
C. D.
答案A
解析在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8,
∴BC==6,
∴sin A=,故选A.
二、填空
3.
9
(2018浙江湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan ∠BAC=,AC=6,则BD的长是 .
答案2
解析∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,OA=AC=3,BD=2OB.
在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,
∴tan ∠BAC=,
∴OB=1,
∴BD=2.
4.
(2018浙江宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为 米(结果保留根号).
答案1 200(-1)
解析由于CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°,
在Rt△ACH中,∵∠CAH=45°
∴AH=CH=1 200米,
在Rt△HCB中,∵tan B=,
∴HB=
==1 200(米).
9
∴AB=HB-HA
=1 200-1 200
=1 200(-1)米.
三、解答题
5.
(2018江苏徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽.(精确到0.1 m)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
解如图所示,过点A,D分别作BC的垂线AE,DF交BC于点E,F,
所以△ABE,△CDF均为直角三角形,又因为CD=14 m,∠DCF=30°,所以DF=7(m)=AE,且FC=7(m)≈12.1(m)
所以BC=7+6+12.1=25.1(m).
6.(2018四川南充)计算:-1-0+sin 45°+.
解原式=-1-1++2=.
7.
小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈,cos 35°≈,tan 35°≈)
9
解作AD⊥BC交CB的延长线于点D,设AD为x m,
由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,
在Rt△ADB中,∵∠ABD=45°,∴DB=x.
在Rt△ADC中,∵∠ACD=35°,
∴tan ∠ACD=.
∴,解得,x≈233.
答:热气球离地面的高度约为233 m.
能力提升
一、选择题
1.已知α为锐角,且2cos (α-10°)=1,则α等于( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
答案C
2.(2018贵州贵阳)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan ∠BAC的值为( )
A. B.1 C. D.
答案B
解析连接BC,
9
由网格可得AB=BC=,AC=,
即AB2+BC2=AC2,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
则tan ∠BAC=1.
3.(2018四川绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,则海岛B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位)(参考数据:≈1.732,≈1.414)
A.4.64海里 B.5.49海里
C.6.12海里 D.6.21海里
答案B
解析如图所示,
由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,
作BD⊥AC于点D,以点B为顶点、BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°,
则∠BED=30°,BE=CE,
设BD=x,
则AB=BE=CE=2x,AD=DE=x,
9
∴AC=AD+DE+CE=2x+2x,
∵AC=30,
∴2x+2x=30,
解得:x=≈5.49,
故选B.
二、填空题
4.(2018山东滨州)在△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则sin B= .
答案
解析如图所示,
∵∠C=90°,tan A=,
∴设BC=x,则AC=2x,故AB=x,
则sin B=.
5.(2018山东泰安)如图,在△ABC中,AC=6,BC=10,tan C=,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过点D作DE⊥BC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,△DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为 .
答案S=-x2+x
解析(1)在Rt△CDE中,tan C=,CD=x
∴DE=x,CE=x,
∴BE=10-x,
9
∴S△BED=x
=-x2+3x.
∵DF=BF,
∴S=S△BED=-x2+x.
6.(2018江苏无锡)已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,则△ABC的面积等于 .
答案15或10
解析作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D,
①如图1,当AB,AC位于AD异侧时,
图1
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,
∴AD=ABsin B=5,BD=ABcos B=5,
在Rt△ACD中,∵AC=2,
∴CD=,
则BC=BD+CD=6,
∴S△ABC=·BC·AD=×6×5=15;
②如图2,当AB,AC在AD的同侧时,
图2
由①知,BD=5,CD=,
则BC=BD-CD=4,
9
∴S△ABC=·BC·AD=×4×5=10.
综上,△ABC的面积是15或10.
三、解答题
7.(2018山东临沂)如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2(+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门?
解工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.
理由是:过点B作BD⊥AC于点D,
∵AB>BD,BC>BD,AC>AB,
∴求出DB长和2.1 m比较即可,
设BD=x m,
∵∠A=30°,∠C=45°,
∴DC=BD=x m,AD=BD=x m,
∵AC=2(+1)m,
∴x+x=2(+1),
∴x=2,
即BD=2 m
微信/支付宝扫码支付