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高一数学试题
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.若集合A={0，1}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁RA）∩B=（ ）
A.{0} B.{2} C.{2，4} D.{0，1，2}
2.已知f（x）=log3x，f（a）＞f（2），那么a的取值范围是（ ）
A.{a|a＞2} B.{a|1＜a＜2} C. D.
3.函数f（x）=+的定义域为（ ）
A.{x|x≠2} B.{x|x＜-3或x＞3}
C.{x|-3≤x≤3} D.{x|-3≤x≤3且≠2}
4.设a=log310，b=log37，则3a-b=（ ）
A. B. C. D.
5.以下函数在R上为减函数的是（ ）
A.y=logx B.y=x-1 C.y=（）x D.y=x2
6.已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（ ）
A.0 B.2或-1 C.0或-3 D.-3
7.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（ ）
A. B. C. D.
8.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）
（1）m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β （2）n∥m，n⊥α⇒m⊥α
（3）α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n （4）m⊥α，m⊥n⇒n∥α
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm
- 12 -
．
A.12 B.16 C. D.
10.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.3x-2y+1=0 D.x+2y+3=0
11.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（ ）
A.4π B. C. D.
12.已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A. B.（2，3） C.
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.直线l1：x-y+1=0，l2：x+5=0，则直线l1与l2的相交所成的锐角为 ______ ．
14.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 ______ （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
15.函数f（x）=-log2为奇函数，则实数a= ______ ．
16.已知函数f（x）=，记f（1）+f（2）+f（4）+f（8）+f（16）=m，f（）+f（）+（）+（）=n，则m+n= ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)
17.（Ⅰ）已知集合A={（x，y）|y=x2+2}，B={（x，y）|y=6-x2}，求A∩B；
（Ⅱ）已知集合A={y|y=x2+2}，B={y|y=6-x2}，求A∩B．
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18.如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．
（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；
（2）若AC=BC，求几何体A1-ABC的体积V．
19.在平行四边形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），点M是线段AB的中点线段CM与BD交于点P．
（1）求直线CM的方程；
（2）求点P的坐标．
20.
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《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．
（1）证明：DE⊥平面PBC．
（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．
21.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；
（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益-总成本）；
（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
22.已知函数f（x）=（x2-2ax+3）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（-1）=-3，求f（x）单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）在（-∞，2）上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．
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高一数学
答案和解析
【答案】
1.B 2.A 3.D 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 10.A 11.D 12.B
13.30°
14.③④
15.1
16.18
17.解：（Ⅰ）联立得：，
消去y得：x2+2=6-x2，
解得：x=±，
把x=代入得：y=4；把x=-代入得：y=4，
则A∩B={（，4），（-，4）}；
（Ⅱ）由y=x2+2≥2，得到A={y|y≥2}，
由y=6-x2≤6，得到B={y|y≤6}，
则A∩B={y|2≤x≤6}．
18.（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
所以AC⊥BC．
因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，
而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．
又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）
（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，
得，
所以．…（12分）
19.解：（1）∵，
∴=+==（7，3）+（4，6）-（1，1）=（10，8）．
∴C点坐标C（10，8）．
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由中点坐标公式可得：点M坐标（，），即（4，2）．
kCM==1，
得出直线CM方程y-2=x-4，可得：x-y-2=0．
（2）kBD==-1，
∴BD直线方程y-6=-（x-4），x+y-10=0，
联立方程组，
解得x=6，y=4，
所以点P坐标为（6，4）．
20.证明：（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．…（1分）
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．…（3分）
DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．…（4分）
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC． …（5分）
而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．…（6分）
解：（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，
可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，…（7分）
其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．…（8分）
（3）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，
所以=；…（8分）
由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，…（9分）
所以．
在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE+，…（10分）
于是 ==4．…（12分）
21.解：（1）当0≤x≤400时，
当x＞400时，f（x）=80000-100x-20000=60000-100x
所以…（7分）
（2）当0≤x≤400时
当x=300时，f（x）max=25000，…（10分）
当x＞400时，f（x）=60000-100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）
- 12 -
所以当x=300时，f（x）max=25000
答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元． …（15分）
22.解：（1）∵函数f（x）=（x2-2ax+3）的定义域为R，
∴x2-2ax+3＞0恒成立，△＜0，4a2-12＜0,
即a的取值范围-,
（2）∵f（-1）=-3，∴a=2,
∵f（x）=（x2-4x+3）．x2-4x+3＞0，x＜1或x＞3,
设m（x）=x2-4x+3，对称轴x=2，
∴在（-∞，1）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数,
根据符合函数单调性规律可判断：
f（x）在（-∞，1）上为增函数，在（3，+∞）上为减函数,
（3）函数f（x）=（x2-2ax+3）．
设n（x）=x2-2ax+3，
可知在（-∞，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数,
∵f（x）在（-∞，2）上为增函数,
∴a≥2且4-4a+3≥0，a≥2且a≤，不可能成立．
不存在实数a，使f（x）在（-∞，2）上为增函数．
【解析】
1. 解：根据题意，集合A={0，1}，则B={y|y=2x，x∈A}={0，2}，
则（∁RA）∩B={2}；
故选：B．
根据题意，由集合B={y|y=2x，x∈A}，结合A的元素可得集合B，分析可得（∁RA）∩B中的元素为属于B不属于A的元素，即可得答案．
本题考查集合的混合运算，关键是求出集合B，正确理解（∁RA）∩B的含义．
2. 解：由题意，f（x）=log3x，函数单调递增，
∵f（a）＞f（2），∴a＞2，
故选A．
由题意，f（x）=log3x，函数单调递增，即可得出结论．
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本题考查对数函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．
3. 解：由题意得：
，
解得：-3≤x≤3或x≠2，
故函数的定义域是{x|-3≤x≤3且≠2}，
故选：D．
根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
4. 解：∵a=log310，b=log37，
∴3a=10，3b=7，
∴3a-b==．
故选：D
由已知得3a=10，3b=7，从而3a-b=．
本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质的合理运用．
5. 解：的定义域为（0，+∞），不能说在R上为减函数；
y=x-1，y=x2在R上都没有单调性；
指数函数在R上为减函数．
故选：C．
根据对数函数的定义域，反比例函数、指数函数和二次函数的单调性便可找出正确选项．
考查对数函数的定义域及单调性，反比例函数、指数函数和二次函数的单调性．
6. 解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1⊥l2，
∴a+a（a+2）=0，解得a=0或a=-3故选：C
由垂直可得a+a（a+2）=0，解方程可得．
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
7. 解：如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．
侧面ACBD为直角梯形，
PA⊥AB．
该几何体的体积V==．
故选：D．
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如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD⊥底面PAB．侧面ACBD为直角梯形，PA⊥AB．
本题考查了四棱锥的三视图、等边三角形与直角梯形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8. 解：对于（1），m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β，错误，当m∥n时，α与β可能相交；
对于（2），n∥m，n⊥α⇒m⊥α，正确，原因是：n⊥α，则n垂直α内的两条相交直线，又m∥n，则m也垂直α内的这两条相交直线，则m⊥α；
对于（3），α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n，错误，m与n可能异面；
对于（4），m⊥α，m⊥n⇒n∥α，错误，也可能是n⊂α．
∴正确命题的个数是1个．
故选：B．
由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
9. 解：由直观图可得原图如图所示，且OA=2，，
所以AB=6，所以周长为16，
故选：B．
根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．
本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．
10. 解：由 可得反射点A（-1，-1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），
则点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上．
根据点A（-1，-1）和点C（1，0）的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是
，化简可得x-2y-1=0．
故选：A．
由 可得反射点A（-1，-1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），根据点B（0，1）关于y=x 的对称点
C（1，0）在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．
本题主要考查反射定律的应用，利用了入射光线上的任意一点关于反射轴的对称点在反射光线上．
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11. 解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，
则由等面积法得，
所以（AC+AB+BC）r=6×8，又AB=6，BC=8，
所以AC=10，所以r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，
若r增大，则无法保证球在三棱柱内，
故球的最大半径为2，所以．
故选：D．
先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，由等面积法得（AC+AB+BC）r=6×8，解得r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．
本题考查球的最大体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12. 解：根据已知画出函数图象：
不妨设a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴-log2a=log2b=-c2+4c-3，
∴log2（ab）=0，
解得ab=1，2＜c＜3，
∴2＜abc＜3．
故选：B
利用分段函数的定义作出函数f（x）的图象，然后可令f（a）=f（b）=f（c）=k则可得a，b，c即为函数y=f（x）与y=k的交点的横坐标根据图象可得出a，b，c的范围同时a，b还满足-log2a=log2b，即可得答案．
本题考查了利用分段函数的图象结合数形结合的思想求方程根的积得取值范围，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．
13. 解：∵直线l1：x-y+1=0的斜率为，倾斜角为60°，
而l2：x+5=0的斜率不存在，故它的倾斜角为90°，
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直线l1与l2的相交所成的锐角为30°，
故答案为：30°．
求出每条直线的直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题．
14. 解：∵A、M、C、C1四点不共面
∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；
同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．
同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；
同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确；
故答案为：③④
根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．
本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系判断，其中判断两条线段的四个顶点是否共面，进而得到答案，是解答本题的关键．
15. 解：由题意，f（-x）=-f（x），可得--log2=-+log2
∴a=1，
故答案为1由题意，f（-x）=-f（x），可得--log2=-+log2，即可求出a的值．
本题考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
16. 解：f（x）+f（）=+=+==4，f（1）==2，
则m+n=f（1）+{+++}=2+4×4=18，
故答案为：18先计算可找规律：f（x）+f（ ）=4，然后利用该结论可求答案．
本题考查函数的性质及函数求值，属基础题，正确寻找规律是解决本题的关键．
17.
（Ⅰ）联立A与B中两函数解析式，求出解即可确定出两集合的交集；
（Ⅱ）求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
18.
（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；
（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．
本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1
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-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19.
（1）由，可得=+=．利用中点坐标公式可得：点M坐标（4，2）．利用斜率计算公式与中点坐标公式即可得出．
（2）利用斜率计算公式可得kBD=-1，利用点斜式可得BD直线方程，联立解出即可得出．
本题考查了平行四边形的性质、向量的坐标运算性质、点斜式、直线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.
（1）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能证明DE⊥平面PBC．
（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
（3）由PD是阳马P-ABCD的高，得到=；由DE是鳖臑D-BCE的高，得到．由此能求出的值．
本题考查线面垂直的证明，考查四面体EBCD是否为鳖臑的判断，考查两个几何体的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
21.
（1）利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．
本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
22. （1）x2-2ax+3＞0恒成立，△＜0;
（2）求出a转化为二次函数问题;
（3）根据符合函数单调性求解．
本题综合考察了函数的性质，结合不等式求解，对函数理解的比较透彻才能做这道题．
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